Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES

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1 Números Reales INECUACIONES o DESIGUALDADES DESIGUALDADES Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos cantidades. Las relaciones de orden son: <, >,, Ejemplos: DESIGUALDADES 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8 Solución de desigualdades Por resolver una desigualdad se entiende determinar los intervalos o combinación de intervalos de números reales que satisfacen la desigualdad. Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales.

2 Propiedades de orden: RECORDATORIO Al sumar un número se conserva la relación de orden. Al multiplicar por un número positivo, se conserva la relación de orden. Al multiplicar por un número negativo, se invierte la relación de orden. EJEMPLO 0 Ejemplo 0: Resolver las desigualdades 5x > 12 2x < 12 Tarea: Realizar los ejercicios de Khan Academy: desigualdades de un paso. EJEMPLO 1 Ejemplo 1: resolver la desigualdad 2x + 4 < 6x +1 Solución: una técnica es utilizar los axiomas de los números reales para transformar la desigualdad a la forma: x Δ r, o r Δ x donde Δ es alguno de las relaciones de orden y es un número real. r 2x + 4 < 6x +1 EJEMPLO 1

3 EJEMPLO 2 Ejemplo 2: resolver la desigualdad Solución: 6x + 3 8x 7 Ejercicios 1: Resolver: EJERCICIOS x + 2 < 3x +1 7x + 4 9x 8 Realizar los ejercicios de Khan Academy: Desigualdades de dos pasos Desigualdades lineales de varios pasos EJEMPLO Ejemplo 4: resolver la desigualdad 3 < 5x Solución: observar que la variable solo ocurre en la parte central de la desigualdad. Para resolver la desigualdad, se usan los axiomas de manera de aislar la variable x Δ r Solución: 3 < 5x 7 2 EJEMPLO 4 10

4 y además EJEMPLO 4 Solución como intervalo x 13 5, 27 5 EJERCICIO Ejercicio 2: resolver la desigualdad 2 < 6 2x 4 5 EJEMPLO Ejemplo 4: resolver la desigualdad x 8 x x 8 x+ 4 5 Solución: Se tienen dos posibles casos, según el signo del denominador, observar que el denominador no puede ser cero.

5 EJEMPLO 4 Caso 1: si el denominador es positivo, esto es, x + 4 > 0, o sea, x > 4 se multiplica por x + 4 y se obtiene la desigualdad x 8 5(x + 4) Al reducir se obtiene x 7 La solución al caso 1 es: todos los números x que cumple las desigualdades: (x 7) y (x > 4) EJEMPLO 4 El intervalo solución es la intersección de estos intervalos, que es un conjunto vacío EJEMPLO 4 Caso 2: el denominador es negativo, esto es, x + 4 < 0, o sea, x < 4 se multiplica por x + 4 y se tiene la desigualdad x 8 5(x + 4) Ejemplo 3 La solución a la desigualdad es la unión de las soluciones de los casos 1 y 2 O sea: [-7,4) = [-7,4) x [-7,4)

6 que se cumpla ésta desigualdad o ésta desigualdad EJEMPLO 5 Ejemplo 5: resolver la desigualdad x 2 > 3x 2 Solución: se procede a expresar la desigualdad como un producto de binomios: x 2 3x + 2 > 0 0 (x 1)(x 2) > 0 EJEMPLO 5 La desigualdad indica que el producto de los binomios (x 1)(x 2), debe ser positivo. Entonces se tienen dos posibilidades (casos): a) Ambos binomios son positivos x 1 > 0 y x 2 > 0 b) ambos son negativos x 1 < 0 y x 2 < 0 EJEMPLO 5 Caso 1: ambos binomios son positivos: x 1 > 0 y x 2 > 0 o sea: x > 1 y x > 2 que tiene como solución : (1, ) (2, ) x (2, )

7 EJEMPLO 5 Caso 2: ambos binomios son negativos: x 1 < 0 y x 2 < 0 o sea: x < 1 y x < 2 que tiene como solución : (,1) (,2) x (,1) EJEMPLO 5 La solución de la desigualdad se obtiene con la unión de las soluciones a cada caso (se cumpla un caso, o se cumpla el otro) la solución: (,1) (2, ) x (,1) (2, ) EJERCICIO 2 Ejercicio 2: Resolver la desigualdad x 2 + 2x 8 0 Solución: EJERCICIOS Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 2, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 23, 27, 31, 35, 41, 49

8 VALOR ABSOLUTO Definición: x si x 0 x = x si x < 0 Algunos ejemplos de números VALOR ABSOLUTO Con ecuaciones de una variable, el resultado depende del valor de la variable Ejemplo 6: x + x = x + x = 2x, si x 0 x + x = 0,si x < 0 EJEMPLO 7 Ejemplo 7: x 2 + x para x 2 0 para x 2 < 0 EJEMPLO 7 En resumen x 2 + x = 2x 2, si x 2 2, si x < 2

9 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO De la definición se desprende: 1. x 0 2. x = 0 si y solo si x = 0 3. x = x 4. x y = x y 5. x y = x y, para y 0 DESIGUALDADES Y EL VALOR ABSOLUTO Propiedades del valor absoluto 1. x < a si y solo si a < x < a 2. x > a si y solo si x < a o x > a 3. x + y x + y 4. x x y x x 5. Si y 0, entonces x = y si y solo si x = y para x 0 x = y para x < 0 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Ejemplo 8. Resolver la desigualdad x 4 < 30 Solución: Recordar la propiedad x < a si y solo si a < x < a que aplicada al ejemplo (a=30): 30 < x 4 < 30 Al simplificar tenemos 26 < x < 34 Ejemplo 8 la solución en forma de intervalo x ( 26,34)

10 EJEMPLO 9 Ejemplo 9: Resolver la desigualdad 3x + 5 > 20 Solución: Recordar la propiedad (a=20) x > a si y solo si x < a o x > a Que aplicada al ejemplo 3x + 5 < 20 o 3x + 5 > 20 EJEMPLO 9 Al resolver las desigualdades x < 25 3 o x > 5 La solución como intervalo x (, 25 3 ) ( 5, ) EJERCICIO 3 Ejercicio 3: Resolver la desigualdad 5x Solución: Recordar la propiedad x < a si y solo si a x a 10 5x EJERCICIO 4 Ejercicio 4: Resolver la desigualdad 2x Solución: Aplicar la propiedad x > a si y solo si x a o x a 2x o -2x+17 10

11 EJERCICIOS Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 53, 54, 55, 57, 61, 65, 66