Matemáticas Financieras. Conceptos básicos

Transcripción

1 Matemáticas Financieras Lección 2 Conceptos básicos Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 14

2 Capital Financiero Capital financiero: Medida de un activo expresada por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad. Representación: dos coordenadas (C,t) donde: C mide la cuantía del capital expresada en unidades monetarias t es el momento de disponibilidad del capital o vencimiento. Representación gráfica M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 14

3 Capital Financiero - continuación Otra representación perspectiva objetiva perspectiva subjetiva Espacio financiero E E = {(C; t) C, t R} M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 14

4 Leyes Financieras Comparación de Capitales = Leyes Financieras Dos capitales (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) y dado un momento del tiempo p = valor equivalente V i Relación de la forma (C 1, t 1 ) (V 1, p) y (C 2, t 2 ) (V 2, p) Preferencia por el capital con valor equivalente mayor: Ley que M. permite León encontrar V i Matemáticas : Empresariales I 4 / 14

5 Tipos de Leyes Financieras En función de si el valor p es anterior o posterior a t: Leyes de capitalización. Si p > t y se denota por L(t, p) Leyes de descuento. Si p < t y se denota por A(t, p) Figura: Descuento M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 14

6 Leyes Financieras - Ejemplo Indicar el orden de preferencia de los capitales siguientes: ( ;2013), ( ;2015) y ( ;2016) si la ley utilizada es A(t, p) = 1 0,05(t p) y se utiliza p = Para determinar el orden de preferencia hay que encontrar las cuantías equivalentes en p = Así para el primero Para el segundo y para el tercero V 1 = 100,000 [1 0,05( )] = 95,000 V 2 = 110,000 [1 0,05( )] = 93,500 V 3 = 120,000 [1 0,05( )] = 96,000 (120,000; 2016) (100,000; 2013) (110,000; 2015) M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 14

7 Leyes Financieras - Ejercicio Dados dos capitales (100;2016) y (200,2018). Se puede decir que hoy son equivalentes si se utiliza la ley financiera F (C, t, p) = Ce p t? M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 14

8 Leyes Financieras: Propiedades 1 V = F (C, t, p) > 0 C, t y p. 2 Debe ser homogénea de grado 1 respecto a la cuantía F (λc, t, p) = λf (C, t, p). Implicación: F (C, t, p) = C F (1, t, p) = C F (t, p). La ley F (t, p) se le denomina ley financiera unitaria. 3 Debe cumplir que si p = t, entonces F (C, t, t) = F (C, p, p) = C (Propiedad reflexiva). 4 Propiedad de subestimación de capitales futuros respecto a los actuales a igualdad de cuantía = creciente con p y decreciente con t. Además, si la ley es de descuento = A(t, p) < 1 si la ley es de capitalización = L(t, p) > 1 5 Debe ser continua en p y en t M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 14

9 Leyes Financieras: Ejemplo Comprobar que la función matemática F (C, t, p) = C a b + d (t p) con t p Puede ser utilizada como ley de descuento para los valores positivos de a, b, d. 1) función positiva = Con t > p entonces t p > 0 = denominador positivo. Como C, a > 0 numerador = positivo = cociente positivo. 2) Homogénea de grado 1 respecto a C: F (λc, t, p) = λc a b + d (t p) = λ C a = λ F (C, t, p) b + d (t p) M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 14

10 Leyes Financieras: Ejemplo (cont.) 2 ) Homogénea de grado 1 respecto a C (Implicación): C a F (C, t, p) = b + d (t p) = C a b + d (t p) 3) propiedad reflexiva: = C F (1, t, p) = C F (t, p) C a F (C, t, t) = b + d (t t) = C a b + d 0 = C a b Que será igual a C si a = b 4) subestimación de capitales futuros (creciente en p y decreciente en t): F (C, t, p) p F (C, t, p) t = a d [a + d (t p)] 2 > 0 a d > 0 a d = [a + d (t p)] 2 < 0 a d > 0 M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 14

11 Leyes Financieras: Ejemplo (cont.) 5) Para que sea ley de descuento (F (C, t, p) < 1: Con t > p = d (t p) > 0 = a a+>0 < 1 6) Continua en todo el dominio. Denominador 0 ya que (t p) 0 = Denominador > a M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 14

12 Leyes Financieras: Ejercicio Comprobar que la expresión matemática F (C, t, p) = C[a + b (p t)] puede ser utilizada como ley financiera, indicando en cualquier caso que propiedades se cumplen y cuales no. M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 14

13 Leyes Financieras: Clasificación Leyes estacionarias (diferencia del tiempo entre el que ocurre cada operación, z = p t)= F (z) o también F (t). Leyes sumativas, cuando en el intervalo considerado no se acumulan los intereses para generar nuevos intereses (Ejemplos: capitalización simple y el descuento comercial). Leyes multiplicativas, cuando en el intervalo se acumulan los intereses. (Ejemplos: capitalización y el descuento compuestos). M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 14

14 Magnitudes Derivadas A partir de C y t surgen otros conceptos derivados: Factor: número por el que hay que multiplicar a la cuantía en t 1 para obtener la cuantía en t 2 o viceversa(función de t 1, t 2 y p). Caso capitalización 1 Factor de capitalización: Obtiene C 2 multiplicando a C 1 por dicho factor 2 Factor de contracapitalización: Obtiene C 1 conocido C 2 3 montante Es la cuantía del final de la operación (M = C 2) Caso descuento 1 Factor de descuento: Obtiene C 1 multiplicando a C 2 por dicho factor 2 Factor de contradescuento: Obtiene C 2 multiplicando a C 1 por dicho factor 3 valor descontado Es la cuantía del inicio de la operación (C 1) Rédito es el incremento o disminución por unidad monetaria al pasar de t 1 a t 2. Capitalización = C2 C1 C 1 Descuento = C2 C1 C 2 Tanto o tipo de interés Rédito por unidad de tiempo (dividido entre la amplitud del intervalo (t 1 ; t 2 )) Tanto M. León instantáneo es el ĺımite Matemáticas del Empresariales tanto cuando I el intervalo (t ; t ) 14 / 14