UNIDAD 3: ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR

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1 UNIDAD 3: ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR Señor estudiante, es un gusto iniciar nuevamente con usted el desarrollo de esta tercera unidad. En esta ocasión, haremos una explicación más detallada de la representación de la información en el computador, revisando temas relacionados con la aritmética binaria, que no es más que aquella aritmética que se da en el sistema de numeración de base 2, y que es justamente la utilizada para construir los códigos del computador. Como se pudo observar en lecturas anteriores, una unidad individual de información se representa en el computador por una secuencia de dígitos binarios (llamados bits). Tales sucesiones de bits pueden ser consideradas como números binarios, y muchos computadores usan el sistema numérico binario no sólo para representar cantidades, si no para efectuar cálculos, es decir, operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, que son realizadas por el computador en códigos expresados bajo este sistema. Aunque los temas tratados en esta unidad no se encuentran en el texto básico hemos creído conveniente considerarla por su importancia y relevancia dentro esta asignatura. Si bien es cierto la unidad tres trata especialmente del sistema numérico binario y su aritmética, comenzaremos recordando el sistema decimal, ya que tal repaso simplificará los tópicos análogos del sistema binario. 3.1 Sistemas de numeración Partiremos entonces describiendo a un sistema de numeración como un conjunto de símbolos usados para representar información numérica. Tenga en cuenta que el número de símbolos de este conjunto depende de la base del sistema de numeración. Ahora sí, nos permitimos darle a conocer los siguientes sistemas de numeración: Binario {0,1} Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Octal {0,1,2,3,4,5,6,7} Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 1

2 El más conocido y usado comúnmente es el sistema de numeración decimal, pero en computación los más utilizados son: el binario para efectuar operaciones aritméticas, el octal y hexadecimal para efectuar códigos intermedios que resultan más favorables que convertir decimales a binarios o al contrario. Esto lo comprobará usted mismo con las explicaciones dadas más adelante. Sistema decimal Si revisa nuevamente el conjunto que representa al sistema decimal, podrá observar que en él se combinan de una manera sistemática diez símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Algo importante por conocer es la forma general utilizada para representar cualquier número de base b, la cual es:...s 2 S 1 S 0.S- 1 S Si tomamos como referencia el sistema decimal, S representaría un símbolo cualquiera de los 10 dígitos de este sistema y el subíndice indicaría la posición del símbolo con relación al punto decimal. Ejemplo: N= 8253 se lo puede expresar en notación expandida como: N 10 = 8 * * * * 10 0 En donde 10 3 representa al 1000, y 8 * 1000 es igual a Así mismo, podemos observar como las potencias de la base 10 van decreciendo hacia la derecha al igual que los subíndices de cada símbolo (S). Por lo que, haciendo uso de la notación anterior obtendríamos: 8253= Cualquier valor fraccionario representado en el sistema decimal por una cadena de dígitos decimales junto con un punto decimal intercalado, puede expresarse también en notación expandida usando potencias negativas de 10. Específicamente el valor posicional de los dígitos a la derecha del punto decimal es respectivamente: 2

3 10-1 = 1/ = 1/ = 1/ Verdad que no es complicado?, revise el ejemplo propuesto y compruebe usted mismo lo fácil que es este proceso. Ejemplo: Expresar el número en notación expandida. Solución: Haciendo uso de la forma general y la notación expandida obtenemos. S 2 S 1 S 0.S- 1 S- 2 S = 8 * * * * * * = /10 + 2/ /1000 Ahora practiquemos con la siguiente actividad. Escriba en notación expandida los números: a) 2468 b) Sistema binario Para dar mayor énfasis y comprender mejor este tema, recordemos que el sistema de base 2 utiliza dos dígitos: 0 y 1, en el cual cada uno representa un bit de información. Entonces, podemos decir que cualquier número binario está formado por una sucesión 3

4 de bits, donde aquellos que no tienen parte fraccionaria, es decir aquellos que no tienen un punto binario, se llaman enteros binarios. Los valores de posición en el sistema binario son las potencias de la base 2, así como los valores de posición en el sistema decimal son las potencias de diez. Específicamente, los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias no negativas de dos, es decir: Los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas Es necesario aclarar que en computación los números binarios no siempre representan una cantidad numérica. A veces son cierto tipo de código que representa información no numérica. Barco y Aristizábal (1998:7) señalan que: las computadoras pueden reconocer en un número binario cinco funciones: 1- Datos numéricos reales. 2- Números correspondientes a una dirección en la memoria. 3- Un código de instrucción. 4- Un código que representa caracteres alfanuméricos. 5- Información sobre las condiciones de dispositivos internos o externos a la computadora. Considerando estas funciones, lo invitamos a realizar lo siguiente: 4

5 Investigar en qué consiste el proceso de reconocer en un número binario funciones como: a) Números correspondientes a una dirección en la memoria b) Un código de instrucción c) Un código que representa caracteres alfanuméricos 3.2 Conversión entre sistemas de numeración Hemos llegado a otro interesante subtema de esta tercera unidad, por lo que revisemos de lo que trata. Conversión de decimal a binario Es posible transformar un número decimal a binario considerando los pasos indicados por Barco y Aristizábal (1998:8), descritos a continuación: 1. Separar la parte entera de la parte fraccionaria. 2. Dividir la parte entera para 2 hasta que el último cociente sea 1. Este último cociente, seguidos de los sucesivos residuos leídos de derecha a izquierda, dan la forma convencional del número entero equivalente en binario. 3. Multiplicar la fracción decimal por 2 y la parte entera de este producto será la primera cifra de la fracción binaria. La parte fraccionaria del producto se multiplica nuevamente por 2 y la parte entera de este producto es la segunda cifra de la fracción binaria y así sucesivamente hasta que suceda una de las siguientes situaciones: a) Que la parte fraccionara del algún producto por 2 sea 0, en cuyo caso la fracción binaria es exacta, es decir tiene un número limitado de cifras. b) Que la parte fraccionaria del producto por 2 comience a repetirse individualmente o por grupos, en cuyo caso dará una fracción binaria periódica pura o mixta, donde las cifras se repitan indefinidamente. c) Que la parte fraccionaria de los productos por 2 se presente sin ningún orden, lo que da origen a una fracción binaria inexacta no periódica, es decir un número binario irracional. 5

6 Ahora pongamos en práctica este algoritmo a través del siguiente ejemplo. Ejemplo Convertir el número decimal a base 2. Solución: 1. Separar la parte entera de la fraccionaria: Dividir la parte entera sucesivamente por S 0= S 1= S 2=0 5 2 S 3 =1 2 2 S 4 =0 1 De esta operación obtenemos que: = Multiplicar la parte fraccionaria por 2: * 2 * S -1 =1 S -2 =1 S -3 =0... Luego hacemos que: = La conversión completa quedaría: = Es el momento de que practique usted mismo realizando la actividad que a continuación le proponemos. 6

7 Convierta los siguientes números decimales a sus equivalentes en base 2. a) 219 b) Conversión de binario a decimal Para convertir un número binario al equivalente decimal, Barco y Aristizábal (1998:9) proponen representar el número en su forma expandida y simplificar utilizando la aritmética decimal, para obtener el número en la forma convencional. Por ejemplo: a base =1 * * * * * * * 2-3 = = Luego: = Cómo usted puede apreciar es un tema de fácil comprensión, sólo hay que poner en práctica las explicaciones dadas. Comprobemos hasta aquí lo aprendido, realizando la actividad indicada. Convierta de binario a decimal los números: a) b) Operaciones binarias Estamos seguras que estará ansioso por conocer a que se refiere cada una de estas operaciones, pues bien adentrémonos en el fascinante estudio de la aritmética binaria revisando las operaciones de: suma, resta, multiplicación y división que son 7

8 procesadas en la ALU (Unidad Aritmético Lógica) del computador y realizadas en códigos expresados en sistema binario. Veamos a continuación una explicación de cada una. Adición binaria En una expresión intervienen elementos o números y el operador que especifica el procedimiento a seguir con aquéllos. En la adición los elementos reciben el nombre de sumando y el operador es el signo (+). La tabla de la adición binaria se representa así: = = = = 0, Llevando = 1, Llevando 1 La adición es conmutativa, es decir 1 + 0=1 y 0 + 1=1 Observe que, la operación se realiza exactamente igual que en el sistema de numeración decimal teniendo en cuenta que si se excede la base se lleva como acarreo una unidad en la siguiente cifra de orden superior, en la tabla se indica que =10 y debe entenderse 10 en base binaria (10 2 ) que es el equivalente del 2 en el sistema decimal. Para una mejor comprensión se presentan dos ejemplos: Ejemplo 1: Pasos a seguir: Sume la primera columna (la que está más a la derecha), en este caso: = 0, con uno que se lleva. 8

9 1 Lo que se lleva El siguiente paso consiste en sumar: = 0, con uno que se lleva. - Sumamos = 1, con 1 que se lleva. - Luego 1 + 0= 1 Aquí terminamos el proceso. 1 1 Lo que se lleva Lo que se lleva Lo que se lleva Ejemplo 2: Queremos ahora que ponga en práctica lo explicado hasta aquí, desarrollando la actividad propuesta. Realizar las operaciones siguientes. a) b)

10 Sustracción binaria En esta ocasión revisaremos otra interesante operación: La resta binaria. Recuerde que la resta no es conmutativa y por tanto deben distinguirse los elementos que intervienen en la misma. El minuendo es el elemento del cual se resta el sustraendo. Al igual que en el sistema de numeración decimal se tiene en cuenta que si se excede la base se lleva en la siguiente cifra una unidad de orden superior. La tabla de la sustracción se representa así. 0-0 = = = 0 0 1= 1, prestando un 1 de la siguiente columna. En la operación 0 1 = -1 se toma un 1 del número de la izquierda, es decir de la columna de orden inmediato superior para conformar la operación 10 1= 1. Si el minuendo es negativo, la operación se convierte en una adición con el resultado negativo. Para comprender mejor esta explicación veamos los ejemplos: Ejemplo 1: Observe que prestamos un 1 de la tercera columna debido a la diferencia de 0 1 en la segunda columna. Ejemplo 2: _

11 En este momento practique usted mismo esta operación. Desarrolle las sustracciones: c) d) Nos parece que vamos bien, por favor continúe, por ningún motivo se desanime que aún nos faltan dos operaciones más. Multiplicación binaria Cómo se realiza la multiplicación en el sistema binario? Pues la multiplicación se realiza en forma similar a como lo realizamos comúnmente en el sistema decimal, lo único que hay que recordar que en la multiplicación los elementos se llaman multiplicando y multiplicador, y que el operador es el signo (*). La multiplicación binaria es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma. La tabla de la multiplicación binaria se representa así 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Ahora, para multiplicar números que tienen parte entera y parte fraccionaria se opera igualmente como en el sistema decimal. Donde, para colocar el punto binario se cuenta la cantidad de cifras fraccionarias tanto en el multiplicando como en el multiplicador, y esta cantidad se separa en el producto o resultado. A continuación citaremos algunos ejemplos en relación a lo descrito. 11

12 Ejemplos: * 1_ * 10 * 11 * _ 111_ Es momento de poner en práctica esta operación, para ello desarrolle la actividad. Efectuar las multiplicaciones indicadas: a) * 101 b) * 1.01 División binaria Listo! hemos llegado a la última operación: La división binaria. En esta operación binaria los elementos son el dividendo y divisor. Como en la división decimal de enteros, un residuo es posible cuando un entero binario se divide por otro. El procedimiento a seguir es el siguiente: Se toma el mismo número de cifras en el dividendo que las que tiene el divisor, si no alcanza se toma una más. Se resta, se baja la siguiente cifra y se sigue el mismo procedimiento. Hmmmm, parecido a las divisiones que yo hago? 12

13 Pues sí, tiene razón, el proceso es similar que cuando realizamos una división normal. Veamos un ejemplo: Así mismo, la división de fracciones binarias se maneja de la misma manera que la división de fracciones decimales; comprobémoslo revisando para ello el algoritmo presentado por Barco y Aristizábal (1998:13), que consiste en: Desplazar el punto binario, tanto en el dividendo como en el divisor, hasta que el divisor sea un número entero. Cuando el número de cifras fraccionarias del divisor es mayor que las del dividendo, es necesario agregar a este último los ceros que se precisen. Luego, se determina si el número de cifras del divisor es igual o menor que el número de dígitos de la izquierda del dividendo. Si así sucede, se escribe un (1) en el cociente y el divisor se resta de esos dígitos, y a este residuo se le agrega la cifra siguiente del dividendo. Si, por el contrario, el divisor es superior a los dígitos del dividendo con los que se compara, se colocará un cero (0) en la posición del cociente y se toma la siguiente cifra del dividendo. Ejemplo: Por lo que = , realizando la operación se tiene:

14 Una vez revisada esta última operación desarrolle la actividad que a continuación le proponemos. Efectuar las divisiones siguientes: c) d) Complementos binarios De lo estudiado hasta el momento, surge la pregunta Cómo se representa el signo de un número en el computador?, pues mientras que los seres humanos usamos los signos + y para denotar números positivos y negativos, el computador puede procesar datos solamente en términos de bits. Es posible reservar un bit para denotar el signo de un número, 0 para números positivos (+) y 1 para números negativos (-). El sistema más empleado para representar números binarios con signo es el de complemento a 2. Para considerar este último sistema es necesario tener en cuenta el complemento a 1, el cual se obtiene cambiando cada bit del número por su complemento. El complemento a 2 de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1 y sumándole una unidad al bit menos significativo. Por ejemplo: para introducir el signo al número se agrega un bit 0 adelante del número binario puro, así: 43 = = En cambio para obtener el número negativo se encuentra el complemento a 2 del número positivo, así: Número binario positivo Complemento a

15 +1 Complemento a Por lo que: = -43 El complemento a 2 de un número con signo cambiará un número positivo por uno negativo y viceversa, es decir, que el complemento a dos cambia la polaridad del número. Por tanto el complemento a 2 permite representar números binarios con signo, pues permite transformar sustracciones en adiciones. Le comentamos que al utilizar el complemento a 2 se pueden presentar cuatro casos: 1. Sumar dos números positivos: Ejemplo: Para sumar +28 con +13 se procede así: Vamos a utilizar 7 bits para los números: A un número positivo sumar un número negativo, o lo que es lo mismo efectuar la sustracción entre dos números positivos en donde el minuendo es mayor que el sustraendo. Ejemplo: sumar +28 con -13: bit de acarreo El bit de acarreo se desprecia y la respuesta es +15=

16 3. Aun número positivo sumar un número negativo mayor, es decir efectuar la diferencia entre dos números positivos en donde el minuendo es menor que el sustraendo. Ejemplo: sumar +13 con -28: = + 15 (Complemento a 2) 4. Sumar dos números negativos. Ejemplo: sumar +13 con -15: = + 28 (Complemento a 2) El bit de acarreo se desprecia. Bien, ahora le toca a usted poner en práctica esta explicación. Realizar las siguientes operaciones en binario. a) b)

17 3.5 Códigos del computador Hasta ahora hemos visto cómo se representan los números en el computador, en esta sección en cambio se presentará una descripción de algunos de los códigos que utiliza el computador para la representación de texto, entre estos están: EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), código alfanumerico de 8 bits, utilizado en grandes sistemas de computación. ASCII (American Standard Code for Information Interchange, utiliza 7 bits y permite representar números, letras mayúsculas y caracteres de puntuación. Aparte de los indicados existen otros códigos que pueden ser utilizados para la representación de texto en el computador, para lo cual lo invitamos a completar esta sección realizando la siguiente actividad. Investigue dos códigos más que utilice el computador para la representación de texto. Señor estudiante, como usted puede apreciar, la aritmética del computador es un tema de gran interés que necesita ser complementado, para ello revise: La lectura del anexo 2: Representación de la información en los computadores, donde podrá encontrar otros sistemas de numeración, y reforzar mejor lo estudiado Muy bien, parece que hemos terminado el estudio de los contenidos del primer bimestre Cómo van esos ánimos?, los invitamos a que juntos nos sigamos adentrando en el campo de la informática, y aprovechemos las ventajas que nos brinda. 17

18 Recuerde que: Su preparación redundará en beneficio personal y social. Es hora de comprobar los conocimientos adquiridos en esta unidad, para lo cual le proponemos resuelva las preguntas indicadas a continuación. 18