Curso y ejercicios de matemáticas para la Selectividad y su fase específica Eric Dubon

Transcripción

1 Curso y ejercicios de matemáticas para la Selectividad y su fase específica Eric Dubon Profesor de matemáticas del Liceo Francés de Alicante Pierre Deschamps. Doctorando del departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Alicante. Miembro de la red de docencia sobre las matemáticas de la Universidad de Alicante Titular de la Maîtrise de matemáticas de la Universidad de Montpellier 2 (Francia). Titular del DEA de matemáticas de la Universidad de Montpellier 2 (Francia). Titular del grado de Máster Francés. Titular de la Licenciatura de Matemáticas española. Titular del DEA de matemáticas (programa de doctorado) de la Universidad de Alicante. Titular del grado de Máster de la Universidad de Alicante.

2 Curso y ejercicios de matemáticas para la Selectividad y su fase específica Eric Dubon ISBN: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Universitario Telf.: C/ Decano, n.º San Vicente (Alicante) ecu@ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: C/ Cottolengo, n.º San Vicente (Alicante) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3 Índice general 1. Divisibilidad y factorización de polinomios, fracciones algebraicas y resolución de ecuaciones Divisibilidad de polinomios División de polinomios Regla de Ruffini Factorización de polinomios Fracciones algebraicas Matrices. Teoría general Introducción Principales definiciones y propiedades Aritmética de las matrices Suma de matrices Producto de un número por una matriz Producto de matrices Matriz inversa Matrices: rango y cálculos de determinante Espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal Introducción Espacios vectoriales Dependencia e independencia lineal Rango de una matriz Los determinantes de matrices. Métodos de cálculo y matriz inversa Los determinantes de matrices cuadradas de dimensión 2 o 3. Regla de Sarrus Menor Complementario y adjunto Cálculo del determinante de una matriz de cualquier orden y principales propiedades Matriz inversa utilizando los menores

4 4. Sistemas de ecuaciones Introducción Los sistemas de ecuaciones a través de las matrices. El teorema de Rouché Resolución con el método de Gauss-Jordan Resolución con el método de Cramer Resolución con la matriz inversa Los vectores en el espacio Introducción Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Rectas, planos y problemas métricos en el espacio Introducción Rectas en el espacio Generalización al espacio Posiciones de dos rectas Planos en el espacio Posiciones relativas de dos planos Posiciones relativas de una recta y un plano Recta dada por su ecuación paramétrica y el plano dado por su ecuación implícita Recta dada por dos planos y plano dado por su ecuación implícita Análisis: teoría de las funciones reales Límites: cálculo y aplicaciones Introducción Límite de una función en un punto Cálculos de límites: reglas y ejemplos La regla de L Hôpital Continuidad y derivabilidad La continuidad La discontinuidad La derivabilidad Integrales: métodos de cálculo y aplicaciones Introducción Un poco de historia Los tipos de primitivas usuales Primitivas de derivadas de función compuesta Integración por sustitución Integración de funciones racionales

5 8. Simulacro de pruebas Solución de los ejercicios 99 3

6 Introducción Las matemáticas son universales, es la manera de verlas, que puede ser distinta según el país donde se estudien. Nadie tiene la correcta forma de hacerlo y es, en parte, eso lo que da la riqueza y la originalidad a las matemáticas. Hay dos formas de ver a las matemáticas: como un lenguaje inventado por el ser humano para servir de herramienta a las otras ciencias como la física, química... o como la escuela de Pitágoras, que veía a los números como conceptos que el hombre podía comprender y descubrir con mucho esfuerzo intelectual. Es un poco como si la naturaleza tuviera a los conceptos matemáticos escondidos y nosotros tuvieramos que mostrarnos a la altura para verlos. Cuál es la buena forma? Nadie lo sabe y nadie tiene razón. Cada uno puede hacer matemáticas por muchas razones diferentes. Eso es parte de la belleza de las matemáticas. En este libro se trata de poner en relieve las nociones más importantes de los primeros y segundos años de Bachillerato. Se debe utilizar como una herramienta de trabajo para preparar la Selectividad o la fase específica de la Selectividad. Lo he escrito con dos metas: 1. Completar la formación dada a los alumnos de los liceos franceses en España. 2. Ayudar a todos los alumnos a repasar sus cursos y preparar el examen de acceso a la Universidad española. Espero que los ejercicios propuestos os ayudarán a comprender y perfeccionar sus practicas. 4

7 Capítulo 1 Divisibilidad y factorización de polinomios, fracciones algebraicas y resolución de ecuaciones 1.1. Divisibilidad de polinomios Se trata de aplicar a polinomios la famosa división euclidienne. No daré la definición de polinomio y confundiré el polinomio P con la función polinomialp (x). Definición 1 (División de polinomios) Consideramos P (x) y D(x) dos polinomios cuyos grados sond o P yd o D verificandod o D<d o P. Se dice que se hace la división dep (x) pord(x) si existen los polinomios Q(x) yr(x) tal que P (x) =Q(x) D(x) +R(x) con la condiciónd o R<d o D. Observación: 1. SiR(x) = 0 se dirá quep (x) es un múltiplo ded(x) es decir P (x) =Q(x) D(x). 2. Un polinomio es irreductible si no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. 5

8 Ejemplos: Los polinomios siguientes son irreductibles:x 2,x 2 + 6,x 2 2x

9 Comentario: Podemos considerar los polinomios irreductibles como los números primos en aritmética, es decir, un polinomio se puede escribir como producto de polinomios irreductibles División de polinomios ConsideramosP (x) = 8x 4 + 6x 2 + 5x + 40,D(x) = 2x 2 2x x 4 + 6x 2 + 5x x 2 2x + 3 8x 4 + 8x 3 12x 2 4x 2 + 4x + 1 8x 3 6x 2 + 5x x 3 + 8x 2 12x 2x 2 7x x 2 + 2x 3 5x Entonces tenemos: 8x 4 + 6x 2 + 5x + 40 = (4x 2 + 4x + 1)(2x 2 2x + 3) 5x

10 Aplicaciones: Dividir P (x) por D(x) en los diferentes casos: 1)P (x) =x 5 5x 4 +x 3 10,D(x) =x 2 + 4x + 1 2)P (x) = 2x x 4 8x 3 8x 2 + 8x 6,D(x) = 2x 2 + 5x 3 8

11 3)P (x) = 3x 4 + 2x 3 x,d(x) = 3x Regla de Ruffini Se aplica esta regla cuando se trata de dividir un polinomio por un polinomio de la formax a (a R). Podemos obtener directamente los coeficientes del cociente y el resto de la división. Tendremos asíp (x) = (x a) Q(x) +R(x) cond o Q =d o P 1. La pregunta entonces es como hallar a? Proposición 1 Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible porx a es necesario que su término independiente sea múltiplo dea. Ejemplo: Encontrar algún divisorx a del polinomiop (x) = 2x 3 6x 2 + 8x+16. Tenemos que hallar los divisores de 16. Por ejemplo intentamos con 4 y lo presentamos así: