Transcripción

1 APLIICACIIÓN DE DERIIVADAS:: PROBLEMAS DE OPTIIMIIZACIIÓN CON 1 VARIIABLE Los costes de fabricación C(x) en euros de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada (x en Kg) de acuerdo con la siguiente expresión: C(x) x El fabricante estima que el precio de venta de cada Kg. de galletas viene dado por: 5x P(x) en euros (a) El precio de venta disminuye con la cantidad? (b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoge todas sus ganancias. (c) Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias? (d) En la situación óptima, cuál es el precio de venta? Qué ganancia se obtiene? MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS RESOLUCIÓN apartado (a) Para comprobar cómo se comporta el crecimiento de la función "Precio de venta" con respecto a la cantidad de Kg. estudiamos dicho crecimiento: Para que P(x) sea estrictamente creciente P'(x) > 0 Para que P(x) sea estrictamente decreciente P'(x) < 0 P(x) 00 5x P' (x) 0 5 x P' (x) 50x x Estudiamos el signo de la derivada primera de la función: x x 0 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determina este valor R Creciente Decreciente Como el dominio de la función es para x 0 podemos determinar que la función es estrictamente decreciente en todo su dominio. RESOLUCIÓN apartado (b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoge todas sus ganancias. Ganancias G(x) Ingresos I(x) x P (x) Costes C(x) Ganancia Ingresos Costes G(x) x P (x) C (x) Abel Martín 1

2 Derivadas. Aplicaciones. RESOLUCIÓN apartado (c) G(x) x (00 G(x) 00x 5x G(x) 30x 5x 3 ) ( x) 5x x 10 Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias? x 1 x 40 Máximo o mínimo? 40 Máximo o mínimo? 75 G''( ) Para que G(x) alcance un máximo G'(x) 0 G' (x) x 75x 75x x 3000 x 40 x 40 ± Estudiamos la derivada segunda: x G''(x) < 0 MÁXIMO 75 ( 40) G''( ) > 0 MÍNIMO La ganancia máxima se alcanzará cuando se produzcan 6.3 Kg. de galletas. RESOLUCIÓN apartado (d) En la situación óptima, cuál es el precio de venta? Qué ganancia se obtiene? P(x) 00 5x Para x P( 40 ) 00 P( 40 ) 190 Su ganancia correspondiente será: 3 5 ( 40) G(x) G(x) euros Aplicación de derivadas: Problemas de optimización con 1 variable.

3 El precio de venta para la obtener una ganancia máxima será de 190 euros/kg, ascendiendo dicha ganancia a euros COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA 05. PAU Universidad de Oviedo Junio 1994 Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) en cientos de euros viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en cientos de euros, por medio de la expresión siguiente: R(x) x x +.5 (a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. (b) Qué rentabilidad obtendría en ese momento? MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS RESOLUCIÓN apartado (a) x "cientos de euros invertidos" R(x) "Rentabilidad en cientos de euros" R(x) x x +.5 Para buscar qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan habrá que observar cuándo la función R(x) alcanza un máximo. Matemáticamente, esto sucede cuando R '(x) 0 R'(x) 0.00x R'(x) 0.00x x 0.5 x 50 Máximo o mínimo? OJO! Son cientos Estudiamos la derivada segunda para conocer dónde se encuentra el máximo y el mínimo: R''(x) 0.00 < 0 MÁXIMO Abel Martín 3

4 Derivadas. Aplicaciones. Para obtener la máxima rentabilidad han de invertirse euros RESOLUCIÓN apartado (b) Qué rentabilidad obtendría en ese momento? Rentabilidad para x 50 R(x) x x +.5 R(50) R(50) 65 (Son cientos de euros) Para obtener la máxima rentabilidad han de invertirse euros, momento en el que dicha rentabilidad asciende a euros. COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente, de forma fácil y rápida, las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función mediante derivadas: 07. PAU Universidad de Oviedo Septiembre 1998 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en euros) vienen dados por la siguiente expresión [C(x) representa el coste si el volumen de agua (en millones de metros cúbicos) es x]: C(x) x 3 + x 8x + 73 (a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes. (b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua, cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo? MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS RESOLUCIÓN apartado (a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes. 4 Aplicación de derivadas: Problemas de optimización con 1 variable.

5 x "Volumen de agua en millones de metros cúbicos" C(x) "euros gastados diariamente en mantenimiento" C(x) x 3 + x 8x + 73 Para minimizar los costes buscaremos cuándo C(x) alcanza un mínimo: x C'(x) 0 C'(x) + x 8 + x 8 0 ± ( 8) 3 ± 10 6 x 1 ; x 4/ x 1 Máximo o mínimo? x 4/3 Máximo o mínimo? Estudiamos la derivada segunda para conocer dónde se encuentra el máximo y el mínimo: C''( ) 6 ( ) + 10 < 0 MÁXIMO C''(4/3) 6 (4/3) + 10 > 0 MÍNIMO C''(x) 6x + x 4/ millones de m m 3 El volumen diario de agua óptimo que ha de mantenerse para que los costes sean mínimos ha de ser de aproximadamente m 3 RESOLUCIÓN apartado (b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua, cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo? El Coste para x 4/3 C(x) x 3 + x 8x + 73 C(4/3) (4/3) 3 + (4/3) 8(4/3) + 73 C(x) euros El volumen diario de agua óptimo que ha de mantenerse para que los costes sean mínimos ha de ser de aproximadamente m 3, momento en el que los costes ascienden a 66 euros. El coste diario de mantenimiento para 3 millones de metros cúbicos de agua almacenados se verificará para x 3: C(3) C(3) C(1.33) Se han gastado 19 euros de más, respecto al coste mínimo COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función mediante derivadas: Abel Martín 5

6 Derivadas. Aplicaciones. NOTA: Los resultados son un poco extraños, no muy acordes con el contexto del problema. 08. PAU Universidad de Oviedo Septiembre 1999 Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles) viene dado por la siguiente expresión (x en años): F(x) (x ) (1 x) + 5x x 10 (a) Determinar los intervalos de tiempo en que el valor de la cartera creció y aquellos en que decreció. (b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. Cuál hubiera sido realmente el mejor momento para haberlo hecho? Cuánto pierde por no haberlo retirado en el momento óptimo? MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS RESOLUCIÓN apartado (a) F(x) "Valor de la cartera (Inversión + beneficios) en miles" x "Tiempo, en años, que el individuo tiene invertido su dinero" F(x) (x ) (1 x) + 5x Simplificamos la expresión: F(x) (x + 4 4x) (1 x) + 5x F(x) x + 4 4x x 3 8x + 8x + 5x F(x) x 3 + 9x + 40x + 10 (0 x 10) Si al aumentar el número de años que permanece invertida la cartera, aumenta el valor de dicha cartera, diremos que la función es creciente; así pues, vamos a comprobar el crecimiento en todo su dominio. Para que F(x) sea estrictamente creciente F'(x) > 0 Para que F(x) sea estrictamente decreciente F'(x) < 0 F'(x) 6x + 18x + 40 Estudiamos el signo de esta nueva función, para lo que, previamente, factorizamos la expresión: 6 Aplicación de derivadas: Problemas de optimización con 1 variable.

7 18 ± 18 4 ( 6) ± ± 78 x ( 6) 1 1 x 1 5 x 8 Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: 6 (x + 5) (x 8) Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente Creciente Decreciente Del análisis de la función mediante derivadas, y a la vista de su dominio, vemos que el valor de la cartera crece hasta el año 8, momento a partir del cual el valor empieza a decrecer hasta llegado el décimo año. NOTA: No se consideran los valores de x < 0 ni los valores x > 10 ya que no pertenecen al dominio de la función. RESOLUCIÓN apartado (b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. Cuál hubiera sido realmente el mejor momento para haberlo hecho? Cuánto pierde por no haberlo retirado en el momento óptimo? Basándonos en el estudio del crecimiento de la función podemos decir que hay un máximo relativo en x 8 A los 10 años el valor de la cartera es: F(10) F(10) 140 A los 8 años el valor de la cartera es: F(8) F(8) 159 F(8) F(10) F(8) F(10) 17 El mejor momento para retirar el dinero hubiese sido a los 8 años, momento en el cual la cartera tiene un valor de unidades monetarias mientras que a los 10 años se produce una pérdida de unidades ya que la cartera alcanza un valor de NOTA: Omitimos las unidades en las que viene expresado el valor de la cartera, ya que el enunciado no nos lo aclara. COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente, de forma fácil y rápida, las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función mediante derivadas: Abel Martín 7

8 Derivadas. Aplicaciones. 016 PAU Universidad de Oviedo Junio 001 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en función del tiempo de uso (x, en años) viene dado por la siguiente expresión: f(x) para x x (a) Hay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? y en que decrece? cuáles son? (b) En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? cuánto vale? (c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS RESOLUCIÓN apartado (a) Si al aumentar el tiempo aumenta el rendimiento diremos que la función es creciente; así pues, para justificar la respuesta vamos a estudiar los intervalos de crecimiento en todo su dominio: Para que f(x) sea estrictamente creciente f'(x) > 0 Para que f(x) sea estrictamente decreciente f'(x) < 0 f(x) x 3( 1 + x ) ( 0 + x) f'(x) 0 + ( 1 + x ) 3 + ( 1 + x 6x ) 3 ( 1 + x Como el denominador va a ser siempre positivo, el signo de la fracción dependerá del numerador (3 ), por lo que estudiaremos el signo de dicha expresión: ) 8 Aplicación de derivadas: Problemas de optimización con 1 variable.

9 3 x 1 x ± 1 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente Creciente Decreciente Como la función tiene su dominio x R / x 0 El rendimiento será creciente para 0 x < 1 y decreciente para x > 1, siendo x el número de años de uso. RESOLUCIÓN apartado (b) En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? cuánto vale? Del estudio del crecimiento de la función a través de la derivada primera se concluye que: Mínimo relativo en x 1 Máximo relativo en x 1 f(x) x 3 1 f(1) Se alcanza un máximo rendimiento para x 1, momento en el que dicho rendimiento alcanza las 10 unidades. RESOLUCIÓN apartado (c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? f(x) x 3 0 f(0) Para determinar si el rendimiento, por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser inferior a 8.5 unidades [valor de f(0)], al ser la función estrictamente creciente para 0 < x 1 y estrictamente decreciente para x > 1, bastará con comprobar cuál es su límite cuando el tiempo de uso tienda a infinito: Lím f(x) x + Lím x + Lím (8.5 + x + Lím x x 1 + x Lím f(x) x + El rendimiento tenderá a 8.5 unidades, pero nunca llegará a ser inferior a dicho valor, que es su límite cuando el tiempo tiende a infinito. COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA Previamente prepararemos la calculadora para que nos dé el valor de la derivada de la función en cada punto, para lo cual hay que activar la utilidad Derivative, que se mostrará en la pantalla bajo la forma dy/dx ) Abel Martín 9

10 Derivadas. Aplicaciones. SETUP SHIFT MENU On F1 Podemos ratificar todos estos resultados con la calculadora gráfica, mediante la función TRACE, moviéndonos por la gráfica y comprobando los valores que toma la derivada primera de la función en cada punto: Función creciente x R / 0 x < 1 y ' > 0 dy/dx > 0 dy/dx > 0 Función decreciente x R / x > 1 dy/dx < 0 dy/dx < 0 Ratificamos el máximo relativo mediante la potente función gráfica G SOLVE: G-Solve MAX EXE EXE F5 F 10 Aplicación de derivadas: Problemas de optimización con 1 variable.