INTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada.

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1 1. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. Ejm: La función F x = x es una primitiva de f x =x ya que F'(x) = f(x). F x = x 5 también sería una primitiva de f(x) porque F'(x)= f(x) = x. Por lo tanto también lo sería cualquier F x = x C siendo C una constante. Si tenemos una función f(x), F(x) es una primitiva de f(x) si F'(x) = f(x) Al conjunto de todas las primitivas de una función f(x), se le llama integral indefinida de f(x): f x dx=f x C. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA [ f x g x ] dx= f x dx g x dx [ f x g x ] dx= f x dx g x dx kf x dx=k f x dx 3. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS dx=x C kdx=kx C FUNCIONES SIMPLES FUNCIONES COMPUESTAS x n dx= xn 1 n 1 C n 1 u n u ' dx= un 1 n 1 C 1 x dx=ln x C e x dx=e x C a x dx= a x ln a C cos xdx=sen x C u' u dx=ln u C e u u' dx=e u C a u u ' dx= au ln a C cos u u ' dx=sen u C n 1 Inmaculada Gijón Cardos 1

2 sen x dx = cos x C senu u ' dx= cosu C 1 cos x dx=tg x C 1 u ' dx=tg u C cos u 1 tg x dx=tg x C 1 dx=cotg x C sen x 1 tg u u' dx=tg u C 1 u ' dx=cotg u C sen u 1 1 x dx=arc tg x C 1 1 u u ' dx=arc tg u C 1 dx=arc cotg x C 1 x 1 1 x dx=arc sen x C 1 1 dx=arccos x C 1 x 1 1 u u ' dx=arc cotg u C u' dx=arc senu C 1 u 1 u' dx=arc cos u C 1 u 4. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Si nos encontramos en una integral en forma de producto, dos factores, y resulta que uno (g'(x)) es la derivada del otro (g(x)). Se puede integrar por un método llamado sustitución (también conocido como cambio de variable). Ejm: 3 x 4x x 4 dx Si nos fijamos, podemos llamar g x = x 4x y g ' x =x 4 sería su derivada. Entonces nos hemos encontrado con una integral con factores en los que uno es la derivada del otro, con lo cual podemos resolverla por sustitución. Los pasos para resolverla son: 1. Llamamos t = g(x), y su diferencial dt = g'(x)dx, y sustituyendo tenemos: 3t dt. Una vez sustituido integramos: 3t dt=3 t dt=3 t 3 3 C =t 3 C 3. Deshacemos el cambio t 3 C= x 4x 3 C 3 x 4x x 4 dx= x 4x 3 C Inmaculada Gijón Cardos

3 Ejm: 14x 7x 4 3 dx Como vemos tenemos un producto en el que podemos identificar un factor que es derivada del otro con lo cual resolvemos por sustitución. g x =7x 4 y g ' x =14x t=g x =7x 4 y dt= g ' x dx=14x dx Sustituyendo tenemos: t 3 dt= t 4 4 C 4 4 = 7x C 4 5. INTEGRACIÓN POR PARTES Se utiliza para calcular integrales cuyo integrando es un producto con un factor fácil de integrar. La expresión que se utiliza es: u dv =u v v du Una regla nemotécnica para recordar la expresión es la frase: Un día vi, un valiente soldadito, vestido de uniforme Vamos a ver los pasos a seguir para su resolución mediante un ejemplo: Ejm: xe x dx Tenemos que ponerlo en función de la expresión: u dv =u v v du 1. Determinamos los factores del integrando ( qué es u y qué va a ser dv?). Vamos a elegir como dv la más fácil de integrar. u=x du= dv =e x dx v= e x dx=e x Para hallar du derivamos u y para hallar v, integramos dv.. Sustituimos en la expresión y vamos operando: u dv =u v v du xe x dx=x e x e x dx Operando la integral que nos queda y después sacando factor común tenemos: Inmaculada Gijón Cardos 3

4 x e x e x dx=x e x e x dx=x e x e x C = e x x 1 C Ejm: ln x dx Recordemos que tenemos que ponerlo en función de la expresión u dv=u v v du, para ello elegimos como dv la parte que sea más fácil de integrar. u=ln x du= 1 x dx dv =dx v= dx=x Una vez identificados los elementos sustituimos y operamos hasta obtener la solución. ln xdx=ln x x x 1 x dx=x ln x dx=x ln x x C=x ln x 1 C 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Vamos a calcular la primitiva de una función racional varias opciones: 1. Grado P(x) >= Grado Q(x) Ejm: x3 x 4 x 1 dx P x Q x, para ello veremos Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, efectuamos la división de polinomios. D x R x =C x d x d x siendo C(x) el cociente y R(x) el resto. Por tanto, la división de los polinomios del ejemplo quedaría: x 3 x 4 x 1 = x 4 x 1 Quedando la integral como: x3 x 4 x 1 dx= x dx 4 x dx= x x 1 x dx= 4 arc tg x C En este caso, al dividir nos ha quedado como integral inmediata, si no fuese así, tendríamos que ir al caso, con la integral que nos quedase por resolver. Inmaculada Gijón Cardos 4

5 . Grado P(x) < Grado Q(x) Obtenemos las raíces del denominador Q(x) y podemos encontrar distintos casos: Sólo raíces reales simples Ejm: 8 x 4 dx Seguiremos los siguientes pasos: 1) Obtener las raíces del denominador, factorizandolo: x 4= x x 8 ) Descomponemos la función en suma de fracciones, tantas como factores x 4 hayamos obtenido (en este caso ), poniendo como numerador una constante (A, B, C,...) y como denominador cada uno de los factores. 8 x 4 = A x B x 3) Calculamos los valores de A y B, operando: 8 x 4 = A x B x x 4 Igualamos los numeradores: 8= A x B x Damos valores a x: Para x = : 8=B 4 B= Para x= -: 8= A 4 A= 4) Integramos: 8 x 4 dx= x x dx= x dx x dx= 1 x dx 1 x dx Una raíz real múltiple Ejm: 4x 3x x 3 3x 3x 1 dx ln x ln x C 1) Factorizar el denominador (por Ruffini) quedando: x 3 3x 3x 1= x 1 3 ) Descomponemos la fracción en suma de fracciones con numeradores constantes (A, B, C,...) y los denominadores serán los factores elevados a 1,,3,... Inmaculada Gijón Cardos 5

6 4x 3x x 3 3x 3x 1 = A x 1 B x 1 C x 1 3 3) Calculamos los valores de A, B y C, operando las fracciones de la derecha e igualando los numeradores como sigue: 4x 3x x 3 3x 3x 1 = A x 1 B x 1 C x 1 3 Igualando numeradores: 4x 3x =A x 1 B x 1 C Si nos fijamos, para x=1: = A 1 1 B 1 1 C 4 3 =C C=3 Si calculamos la primera derivada tenemos: 8x 3=A x 1 B Ahora, en la primera derivada, para x = 1: 8 1 3=A 1 1 B 8 3=B B=5 Si calculamos la segunda derivada, tenemos: 8=A A=4 Como ya tenemos los valores de A, B y C, ya podemos integrar: 4x 3x x 3 3x 3x 1 dx= A x 1 dx B x 1 dx C x 1 3 dx 4x 3x x 3 3x 3x 1 dx = 4 x 1 dx 5 x 1 dx 3 x 1 dx = 4 ln x x 1 dx 3 1 x 1 dx = 4 ln x 1 5 x 1 dx 3 x 1 3 dx = 4 ln x 1 5 x x 1 C = 4 ln x x C x 1 5 = 4 ln x 1 x 1 3 C x 1 Raíces reales simples y múltiples Al igual que en los casos anteriores, pero aplicando a las raíces múltiples lo visto en el º caso y a las simples lo visto en el 1 er caso. Ejm: 3x 15 x 3 3x dx Inmaculada Gijón Cardos 6

7 1) Descomponemos el denominador (por Ruffini): x 3 3x = x 1 x ) Descomponemos la fracción como suma de fracciones. 3x 15 x 3 3x = A x 1 B x 1 C x 3) Determinamos los valores de A, B y C. (Operaríamos las fracciones sacando mínimo común múltiplo e igualaríamos los numeradores quedando lo que vemos a continuación). 3x 15= A x 1 x B x C x 1 Para x = -1: 3 15= A B 1 C = 3B B=6 Para x = : 6 15= A 1 B C 1 9=9C C= 1 Para x = 0: 15=A B 0 C = A B C 15= A 6 1 A=1 4) Integramos: 3x 15 x 3 3x dx = A x 1 dx B x 1 dx C x dx = 1 x 1 dx 6 x 1 dx 1 x dx = ln x x 1 dx 1 x dx = ln x 1 6 x 1 dx ln x = ln x 1 6 x 1 1 ln x C = 1 ln x 1 6 x 1 ln x C 7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CIRCULARES Son integrales de la forma sen n x cos m x dx Para resolverlas podemos tener distintas situaciones: n y m impares Ejm: sen x cos 3 x dx Para resolverlas hacemos el siguiente cambio de variable: sen x = t cos x dx = dt Quedando la integral: Inmaculada Gijón Cardos 7

8 sen x cos 3 x dx = t 1 t dt Recuerda: sen x cos x = 1 cos x=1 sen x cos x=cos x sen x senx=sen x cos x Continuando con la integral tenemos: t 1 t dt= t t 4 dt= t dt t 4 dt= t3 3 t5 5 C= sen3 x 3 n y m pares sen5 x C 5 Ejm: sen x dx Recuerda: sen x = 1 1 cos x cos x = 1 1 cosx sen x cos x = 1 sen x Para resolver nuestra integral: sen x= 1 1 cos x sen x dx= 1 1 cos x dx= 1 1 cosx dx = 1 [ dx cos x dx]= 1 [ x 1 cosx dx ]= 1 [ x 1 senx ] C= 1 x 1 4 sen x C= x senx C 4 Inmaculada Gijón Cardos 8

9 Ejm: sen xcos 4 x dx sen xcos 4 x dx= sen xcos x cos x dx= sen x cos x cos x dx= 1 sen x cos x dx= 1 4 sen x cos x dx= 1 4 sen x 1 1 cos x dx= 1 4 sen x 1 1 cosx dx= 1 8 sen x 1 8 sen x cos x dx= 1 8 sen x sen x cos x dx= 1 8 sen x dx 1 8 sen x cos x dx Siendo estas integrales de funciones circulares, integrales que sabemos calcular. Algunos ejemplos de estos apuntes han sido sacados del libro de º BCCSS de Santillana. Inmaculada Gijón Cardos 9