Anexo 2: Demostraciones

Transcripción

1 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.- a a 0, a y a = 0 a = 0 b ab = a b c a = a d a k k a k e a b a b f a b a b a a 0 por la definición. Para la segunda parte, si a = 0, o bien a = a = 0, o bien a = a = 0, luego necesariamente a = 0; la otra implicación es obvia pues 0 = 0. b Consideremos los casos: si a 0 y b 0 se tiene ab = ab = a b ; si a 0 y b 0 se tiene ab = ab = a b = a b ; y si a 0 y b 0, entonces ab = ab = ab = a b. c De = = a a = a a, se obtiene el resultado. d Si a k, ó a = a k que cumple la segunda desigualdad ó a = a k, pero entonces k a y se cumple la primera. Si k a k, se tiene k a k, por lo que k a k. e Como,, ó a b = a b a b, o bien a b = a b a b = a b. f a = a b b a b b, luego a b a b ; y con b se tiene b a b a. Luego a b = b a b a = a b a b y por d se concluye la prueba Límites y continuidad Demostración de: Proposición 96 de la página 9 Proposición 96.- Sean f, g, h: A IR y 0 un punto de acumulación de A..- Si f g h en A y f = L = h, entonces.- Si g está acotada en A y f = 0, entonces g f = 0 g = L.- Si f = L = h, entonces para cada ε > 0: eiste δ tal que si 0 < 0 < δ, entonces L ε < f < L ε eiste δ tal que si 0 < 0 < δ, entonces L ε < h < L ε luego tomado δ = mín{δ, δ }, si 0 < 0 < δ, entonces L ε < h g f < L ε.

2 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo.- Si g está acotada, eiste K > 0 tal que g K, para todo, luego se verifica que 0 gf K f, para todo Por el apartado anterior, si probamos que K f = 0, entonces gf = 0 por la proposición 95. gf = 0 y se tiene que Como f = 0 f = 0, para cada ε > 0 eiste δ > 0, tal que si 0 < 0 < δ se verifica que f < ε K. Entonces, si 0 < 0 < δ se tiene que lo que concluye la prueba. K f 0 = K f < K ε K = ε Demostración de: Propiedades 97 de la página 9 Propiedades 97.- Si f = L IR y a [f g] = f g = L L. b [f g] = f g = L L. f f c g = g = L L, siempre que L 0. 0 g = L IR, entonces:.- Por la definición de ite, tenemos que f = L para cada ε > 0, δ > 0 tal que si 0 < 0 < δ = f L < ε g = L para cada ε > 0, δ > 0 tal que si 0 < 0 < δ = g L < ε luego tomando δ = mín{δ, δ }, tenemos que: para cada ε > 0 eiste δ = mín{δ, δ } > 0 tal que si 0 < 0 < δ luego menor que δ y menor que δ, entonces f g L L = f L g L f L g L < ε ε = ε.- Como fg = L L fg L L = 0, veamos esto último. Pero fg L L = fg L f L f L L = fg L L f L y sabemos que f L = 0, g L = 0, f está acotada en algún entorno de 0 Th de acotación y L es constante. Por el segundo resultado de la Proposición 96, fg L = 0 y L f L = 0, luego fg L L = 0 0 = Por ser f g = f g, por el apartado anterior, basta probar que Como g L = L g gl = gl L g, g = L. 0 g L = 0 y L es constante, si probamos que la función g está acotada en un entorno de 0, por la Proposición 96 tendremos que gl L 0 g = g L = 0, lo que prueba el resultado. En efecto, si L 0, por el teorema del signo, o bien K < g < k < 0 si L < 0, o bien 0 < k < g < K si L > 0. Entonces, 0 < k < g < K y, por tanto, 0 < K < g < k, luego g está acotada.

3 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Demostración de: Teorema 99 de la página 93 Teorema 99.- Sean f: A IR y g: fa IR. Si f = b y g es continua en b, entonces a gf = gb = g f. a a Como a f = b, para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < a < δ entonces f b < ε. Por otra parte, si g es continua en b se tiene que: para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si y b < δ entonces gy gb < ε. Entonces, haciendo ε = δ y reuniendo ambas conclusiones: para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < a < δ se tiene f b < ε = δ y, por tanto, gf gb < ε. En consecuencia, gf = gb = g f. a a Demostración de: Proposición 0 de la página 93 Proposición 0 Convergencia propia.- Sean f: A IR y g: fa IR. Si a f = b, con f b para todos los de un entorno reducido E a, δ 0 de a, entonces g f = gf = gy. a f b y b Como f = b, para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < a < δ a como f b en E a, δ 0, si tomamos δ = mín{δ 0, δ }, se tiene que: para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < a < δ entonces 0 < f b < ε. Por otra parte, si L = y b gy se tiene que: para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < gy L < δ entonces gy L < ε. Entonces, haciendo ε = δ y reuniendo ambas conclusiones: entonces f b < ε, y para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < a < δ se tiene 0 < f b < ε = δ y, por tanto, gf L < ε. En consecuencia, a gf = L = y b gy. Demostración de: Proposición 03 de la página 94 Proposición 03 Límites laterales.- Sean a < c < b y f: a, c c, b IR. Entonces c f = L f = f = L c c Si f = L, para cada ε > 0 eiste un δ > 0 tal que si 0 < c < δ se tiene que f L < ε. Luego c en particular, si 0 < c < δ y < c se cumple por lo que f = L. c f = L y también si > c, por lo que c Recíprocamente, si f = f = L, se tiene que c c para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < c < δ y < c se tiene f L < ε para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que si 0 < c < δ y > c se tiene f L < ε tomando d = mín{δ, δ }, para cada con 0 < c < δ sea < c ó > c se cuple la definición de ite en c. Luego f = L. c

4 3 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Demostración de: Continuidad de algunas funciones elementales de la página 96 Continuidad de algunas funciones elementales.- f = e es continua en IR y e = 0 y e =. f = ln es continua en 0, y f = α continua en 0, y f = sh es continua en IR y f = ch es continua en IR y f = th es continua en IR y ln = y 0 =0 y 0 α sh = y ch = y th = y ln =. α = si α>0 resp. y 0 si α<0. sh =. ch =. th =. f = sen es periódica de periodo π, continua en IR y f = cos es de periodo π, continua en IR y f = tg es de periodo π, continua en su dominio y Ya hemos probado que e es continua en IR y sabemos que cos. ± π sen. ± tg = y tg =. π e = basta recordar que e es creciente, luego o está acotada, o no lo está y su ite es, pero como n y n < e n, los valores e n no están acotados. Veamos lo demás: e = e = e = 0 Para cada a 0,, e ln a = a = = e ln = e ln a ; y como la eponencial es estrictamente a a creciente, debe ser ln a = ln. Luego ln es continua en a. a Como ln es estrictamente creciente y continua, y = acotada por lo que Análogamente, = ln =. 0 ln =. = ln e = = ln e = e lne, no está e 0 lne, no está acotada inferiormente por lo que Como α = e α ln es continua por ser composición de continuas y si α > 0: 0 α = 0 eα ln = α ln eα ln = 0 y α = eα ln = α ln eα ln = α<0: 0 α = 0 eα ln = α ln eα ln = y α = eα ln = α ln eα ln =0 sh = e e e, luego continua y e = 0 e = y e = 0 =. ch = e e e, luego continua y e = 0 e = y e = 0 =. th = sh ch = e e e e, luego continua y como th = e e e e th = e = 0 = e e = = y th = De geometría sabemos ya que las funciones seno y coseno son periódicas de periodo π. Para la continuidad, veamos primero que sen y cos lo son en = 0: e : Por la construcción geométrica del seno, sabemos que en una circunferencia de radio, la longitud del arco recorrido coincide con la amplitud del ángulo en radianes, luego si π, π, se cumple 0 sen ver figura. Es decir, que sen y como 0 = sen = 0, se cumple que sen = 0 = sen0. Luego el seno es continuo en = 0. 0 e = > 0 < 0 sen sen =

5 4 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Para ver que cos = cos0 =, probemos que cos = 0: 0 0 cos = sen 0 0 = sen 0 = 0 = 0 Veamos ahora que son continuas en todo punto 0 de IR. sen = sen 0 h = sen0 cosh senh cos 0 h 0 h 0 = sen 0 h 0 cosh h 0 senh cos 0 = sen 0 0 cos 0 = sen 0 cos = cos 0 h = cos0 cosh sen 0 senh h 0 h 0 = cos 0 h 0 cosh sen 0 h 0 senh = cos 0 sen 0 0 = cos 0 La periodicidad de las funciones asegura que no eiste el ite πn se alejan hacia y sucede que n sen π = πn y los puntos = π y sennπ = sen0 = 0, que son valores distintos. n n sen, pues cuando n los puntos Para la continuidad de la tangente bastan las propiedades del cociente tg = sen cos. nπ = n sen π = Demostración de: Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 5 de la página 96 Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 5.- Usaremos la notación f g para indicar que f y g son infinitos o infinitésimos equivalentes: a n n a a 0 a n n cuando ± a n n a a cuando 0 sen cuando 0 tg cuando 0 sen cuando ± cos cuando 0 ln cuando 0 e cuando 0 sh cuando 0 ch cuando 0 a n n a n n a a 0 ± a n = a n n ± a n a a n a n 0 a n = = n a n n a n n a a a 0 a = n 0 Veamos que sen 0 a a n an =, con una pequeña argucia geométrica ver figura: n a a = = En una circunferencia de radio, la longitud del arco recorrido coincide con la amplitud del ángulo en radianes, luego si 0, π, se tiene que 0 < sen < < tg de donde, dividiendo por sen, se tiene < y tomando ites: 0 sen 0 Si π sen < cos cos =. Luego 0 sen =., 0, se tiene que 0 > sen > > tg de donde, dividiendo por sen que es negativo, se tiene < sen < cos como antes. Luego 0 sen =. tg 0 = 0 sen cos = =. Considerando y = g =, de convergencia propia, se tiene: cos 0 sen 0 = > 0 < 0 g = 0 con g 0 para todo, luego por la proposición 0 = sen 0 = sen 0 sen sen sen g sen y = g = y 0 y =. Idem si sen ln 0 = 0 ln = ln = ln 0 = y 0 0 sen y y tg tg =. Con y = g =. = ln y y y Considerando en y = g = y luego el ejemplo 0. Análogamente, para 0 : ln 0 = ln 0 = ln y y y = lne =. = lne =

6 5 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Para calcular e 0, consideramos y = g = e, est. creciente y con g = 0. Ademas 0 y = y 0 lny =. y = e e y ln y =. Luego: 0 sh 0 = e e e 0 = 0 e = ch 0 = 0 e e = e 0 e e 0 0 e e = e 0 e = = y 0 e y y =. y = g =. e 0 e = 0 e 0 e =. Demostración de: Teorema de Bolzano 8 de la página 98 Teorema de Bolzano 8.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto en a y b es decir, fafb < 0 entonces c a, b tal que fc = 0. Podemos suponer que fa < 0 y fb > 0. Tomemos c 0 = ab el punto medio entre a y b: Si fc 0 = 0, como c = c 0 a, b, es el punto buscado. Si fc 0 0 pueden darse dos casos: si fc 0 > 0, como fa < 0 y f continua en [a, c 0 ], el teorema se reduce al intervalo [a, c 0 ]; si fc 0 < 0, como fb > 0 y f continua en [c 0, b], el teorema se reduce al intervalo [c 0, b]. En un caso u otro el teorema queda probado si lo hacemos en el intervalo [a, b ] [a, b] bien [a, c 0 ] o bien [c 0, b] de longitud b a = b a, en el cual f es continua, fa < 0 y fb > 0. En este intervalo, tomamos su punto medio c = ab. Si fc = 0 es el punto buscado; si fc 0 se puede, como hicimos antes, reducir el teorema al intervalo [a, b ] [a, b ] de longitud b a = b a = b a en el cual f es continua, fa < 0 y fb > 0. Repitiendo sucesivamente el proceso anterior, y si ninguno de los puntos medios, c n, verifica que fc n = 0, entonces hemos construido una sucesión de intervalos cerrados encajados [a, b] [a, b ] [a, b ] [a n, b n ] con b n a n = b a n, fa n < 0 y fb n > 0. Además, los puntos a n etremos inferiores verifican que a a a a n b, luego el conjunto A = {a n : n IN} está acotado superiormente por b y, por tanto, eiste c = sup A; como a a n b se cumple a c b luego c [a, b]. Por ser c = sup A, para cada ε > 0 eiste a n0 A con c ε < a n0 c, y como a n crece con n, para cada n n 0 se tiene a n0 a n c. Luego c ε < a n0 a n c < c ε, n n 0 a n c < ε, n n 0 n a n = c Como b b a n a n = n n = 0 y a n n = c, entonces b n = c y, por ser f continua en [a, b], n n se tiene que 0 fa n = fc = fb n 0, luego fc = 0. En consecuencia, eiste c [a, b] con n n fc = 0 y, como fa < 0 y fb > 0, c a y c b, luego c a, b. Demostración de: Corolario 0 de la página 98 Corolario 0.- Sea I un intervalo de IR y f: I IR continua en I, entonces fi es también un intervalo de IR. Supongamos primero que fi no está acotado ni superior ni inferiormente. Entonces, para cada y IR, eiste algún valor mayor que él en fi, y < fb fi, y eiste algún valor de fi menor que él, y > fa fi, luego fa < y < fb. Como a y b son del intervalo I, el intervalo [a, b] I o [b, a] I, luego por el teorema de los valores intermedios 9 eiste c entre a y b tal que fc = y, luego y fi y fi = IR. Supongamos ahora que fi no está acotado inferiormente pero sí superiormente, y sea Γ = sup fi. Entonces, por ser etremo superior, para cada y < Γ, eiste un punto fb fi tal que y < fb Γ y, por no estar fi acotado inferiormente, eiste a I, tal que fa < y < fb. Luego por el teorema 9 eiste

7 6 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo c entre a y b tal que fc = y, luego y fi de donde, Γ fi. Pero como Γ es el superior del conjunto, fi =, Γ ó fi =, Γ] según que el superior sea máimo o no lo sea. La prueba, para los dos casos que restan, son enteramente análogas. Demostración de: Teorema de acotación de la página 99 Teorema de acotación.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo. Es decir, eiste M > 0 tal que f M, para todo [a, b]. La prueba de este resultado se incluye en la prueba del siguiente; el Teorema de Weierstrass. Demostración de: Teorema de Weierstrass de la página 99 Teorema de Weierstrass.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un máimo y un mínimo en [a, b]. Es decir, α [a, b] tal que fα f, [a, b] y β [a, b] tal que f fβ, [a, b]. La demostración de este resultado y del Teorema de acotación anterior, que vamos a eponer aquí no son todo lo rigurosas que sería de desear, por dos razones: la primera, que se hace uso del Teorema de Bolzano- Weierstrass Un conjunto infinito y acotado de IR, tiene al menos un punto de acumulación que no se incluye en estos apuntes y, en segundo lugar, que simplificaremos del proceso con una muy breve eplicación en aras de entender el sentido de la prueba. Por el Corolario 0, como J = [a, b] es un intervalo, su imagen fj es un intervalo de IR. Veamos primero, que el intervalo fj está acotado. Supngamos que es un intervalo no acotado superiormente, en cuyo caso, el conjunto {n IN} fj y eisten puntos n [a, b] tales que f n = n. Los puntos son distintos, pues tienen imágenes distintas por la aplicación f y son infinitos, luego el conjunto T = { n : n IN} [a, b] es infinito y acotado por lo que tiene al menos un punto de acumulación l Teorema de Bolzano- Weierstrass enunciado arriba. En aras de no complicar el proceso supondremos que es punto de acumulación de todo el conjunto T, es decir, que n = l ser punto de acumulación, significa que nos podemos acercar n tanto como queramos al punto l con puntos del conjunto T ; luego que l es el ite de los puntos de un subconjunto infinito de T, por lo que tiene un funcionamiento similar a si fuera todo T en cualquier estudio sobre sucesiones de números reales puede consultarse con más detalle esta simplificación. Como a n b se tiene que a n b, luego que l [a, b]. Entonces, por ser f continua en [a, b], n f n = f n = fl IR; pero por su construcción, f n = n = / IR, lo que es n n n n absurdo. En consecuencia, fj tiene que estar acotado superiormente. Análogamente, se obtiene que fj está acotado inferiormente, lo que prueba el Teorema de acotación. De lo anterior, fj es un intervalo acotado de IR, luego de la forma [c, d] o [c, d o c, d] o c, d. Veamos si d está o no en el conjunto. Por ser d = sup fj, para cada n IN, eiste n [a, b] tal que f n = d n < d, como las imágenes de los n son distintas, tenemos un conjunto T = { n : n IN} infinito y acotado que tiene un punto de acumulación l. Con un razonamiento similar al de la parte anterior, sea n = l [a, b] y se verifica que f n = f n = fl IR por ser f continua y por otro n n n lado, f n = d n n n = d, luego d = fl y d fj, por lo que d = má fj. Análogamente, se prueba que c = mín fj. Lo que concluye la prueba. Demostración de: Corolario 3 de la página 99 Corolario 3.- Si f es continua en a, b y acotada en a, b. f = l IR y f = l IR, la función f está a b También es cierto cuando a es y cuando b es. Para que el resultado sea cierto no es necesario que eista el ite en los etremos del intervalo, basta con que la función esté acotada en algún entorno de ellos. La razón de poner el enunciado con ites está en que es una manera cómoda de asegurar la acotación y suficiente en la mayoría de los casos.

8 7 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Si f = l IR y f = l IR, por el Teorema de acotación para ites 6, eiste Ea, δ a b y M > 0 tal que f M para todo a, a δ y eiste Eb, δ y M > 0 tal que f M para todo b δ, b. Entonces, a, b = a, a δ [a δ, b δ ] b δ, b y al ser f continua en el intervalo [a δ, b δ ] está acotada en él Th, luego eiste M 3 > 0, tal que f M 3 para todo [a δ, b δ ]. En consecuencia, f está acotada en cada uno de los tres trozos en que hemos dividido el intervalo, por lo que está acotada; es decir, tomando M = má{m, M, M 3 }, para todo a, b, f M. Si a = ó b =, la prueba es idéntica, tomando entornos de ó. Funciones derivables Demostración de: Propiedades 6 de la página 0 Propiedades 6.- Sean f y g funciones derivables en un punto 0, entonces: a f g es derivable en el punto 0 y f g 0 = f 0 g 0. b fg es derivable en el punto 0 y fg 0 = f 0 g 0 f 0 g 0. c f/g es derivable en el punto 0, si g 0 0, y f/g 0 = f 0 g 0 f 0 g 0. g 0 a Es cierta, pues f g f g f g 0 f g f 0 g 0 0 = = 0 0 f f 0 g g 0 = = f 0 g b Basta tomar ites, cuando 0, en la epresión fg f 0 g 0 = fg f 0g f 0 g f 0 g = f f 0 g f 0 g g c Teniendo en cuenta que la epresión f g f0 g 0 = fg 0 f 0 g 0 gg 0 0 = gg 0 fg 0 f 0 g 0 f 0 g 0 f 0 g 0 f f0 = g 0 f 0 g g 0 gg es válida en los valores de próimos a 0, y tomando ites se obtiene el resultado. Demostración de: Regla de la cadena 7 de la página 0 Regla de la cadena 7.- Sea f derivable en 0 y g derivable en f 0, entonces la función compuesta g f es derivable en 0 y además: g f 0 = g f 0 f 0.

9 8 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Si f = f 0 en un entorno de 0, también se verifica que gf = gf 0 y, por tanto, f y g f son constantes en dicho entorno, luego g f es derivable en 0 y g f 0 = 0. Además, como f es constante, se tiene g f 0 f 0 = g f 0 0 = 0 obteniendose la igualdad propuesta. Si f f 0 0 en un entorno de 0, podemos escribir gf gf 0 = gf gf 0 f f f f 0 = gf gf 0 f f 0. f f 0 0 Como y = f f 0 = y 0 y f = f 0, por la proposición 0, se tiene g f gf gf 0 gf gf 0 f f 0 0 = = 0 f f 0 0 gy gy 0 f f 0 = = g y 0 f 0 = g f 0 f 0. y y 0 y y 0 0 Demostración de: Teorema del valor medio de Cauchy 36 de la página 06 Teorema del valor medio de Cauchy 36.- Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en a, b. Si g 0, a, b, entonces c a, b tal que: fb fa gb ga = f c g c Como en la demostración del teorema del valor medio de Lagrage 35, construyamos una función para aplicar el teorema de Rolle. Sea h: [a, b] IR dada por h = fb fa g gb ga f. Entonces, h es continua en [a, b] y derivable en a, b por ser suma de funcines continuas y derivables, y ha = fb fa ga gb ga fa = fbga gbfa hb = fb fa gb gb ga fb = fagb gafb. Luego también se cumple que ha = hb y por el teorema de Rolle, eiste c a, b tal que h c = 0; es decir, 0 = fb fa g c gb ga f c de donde se obtiene el resultado fb fa gb ga = f c g c. Notar, que al ser g 0 para cada a, b, se tiene que g c 0 y gb ga. Demostración de: Regla General de L Hopital 38 de la página 06 Regla General de L Hopital 38.- Sean f y g funciones derivables en un entorno reducido de 0, E 0, δ, con g 0 y g 0, E 0, δ y f = 0 = g. Entonces, si eiste f f g se cumple que 0 g = f 0 g. 0 Por comodidad, denotaremos por E = E 0, δ y por E = E 0, δ. Como f = 0 = g, podemos ampliar estas funciones hasta E, con continuidad. En efecto, { 0 { f, si 0 g, si 0 sean F = y G = ; que son continuas en E 0, si = 0 0, si = por serlo f y g y 0 continuas en 0 por su contrucción F = f = 0 = F 0 y lo mismo para G. Para cada E con < 0, el intervalo [, 0 ] E, luego F y G son continuas en él y derivables en, 0, donde se cumple que F = f y G = g. Entonces, por el teorema de Cauchy 36, eiste ξ con < ξ < 0 tal que F F 0 G G 0 = F ξ G, ξ es decir, tal que f 0 g 0 = f ξ g ξ

10 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Luego, como < ξ < 0, si 0 también ξ 0 y entonces, 0 f g = 0 f ξ g ξ = ξ 0 f ξ g ξ = 0 siempre que este último ite eista. Análogamente, para los > 0, se tiene ite En consecuencia, si f g 0 f g 0 y coincide con el anterior. eiste se tiene que f g = 0 f g f g = 0 0 f g f g = 0 f g. por lo que eiste el Para la justificación del funcionamiento de la Regla de L Hôpital en los demás casos, en que decimos que también funciona, sólo indicamos como se obtendría ésta o en que se basa: Para el caso 0 = ±, con el cambio = t se tiene que las funciones F t = f t y Gt = g t verifican que eiste si y sólo si eiste, y si ocurre son iguales. Aplicando el caso anterior a estas ± f g funciones se obtiene el resultado. Para la indeterminación F t t 0 ± Gt f g =, se toma un punto y fijo y suficientemente cercano a 0 y entonces, el 0 cociente puede escribirse en la forma f g = fy f gy g factor fy f gy g = f ξ g ξ gy g fy f y teniendo en cuenta, que al ser y fijo, será cierto la prueba eaustiva no es tan inmediata. Demostración de: Teorema de la función inversa 40 de la página 07. Aplicando el Teorema de Cauchy 36 al primer gy g fy f =, se observa que el resultado Teorema de la función inversa 40.- Sea f: [a, b] IR continua en [a, b] y derivable en a, b, con f > 0 ó f < 0 en a, b. Entonces f admite función inversa derivable en a, b y f f = f. Por ser f > 0 en a, b resp. f < 0 en a, b la función f es estrictamente creciente resp. estrictamente decreciente en [a, b], luego es inyectiva y eiste f : f[a, b] [a, b] tal que f f = para cada [a, b] recordar la definición 89 y ver los ejemplos siguientes. De hecho, si f es estrictamente creciente, f[a, b] = [fa, fb] y si es estrictamente decreciente, f[a, b] = [fb, fa]. Veamos primero, que si f es continua en 0, entonces f es continua en y 0 = f 0. Supongamos que f es estrictamente creciente y sea y 0 fa, fb. Tomemos un ε > 0 de manera que el intervalo f y 0 ε, f y 0 ε = 0 ε, 0 ε a, b; entonces f 0 ε < f 0 < f 0 ε y eisten y e y tales que y = f 0 ε < y 0 < f 0 ε = y. Sea δ > 0, tal que Ey 0, δ y, y, entonces, para cada y Ey 0, δ, se cumple que y y 0 δ < y < y 0 δ y y se tiene que cumplir que f y < f y < f y pues de no ser así, si f y f y ó f y f y por ser f estr. creciente sería y y ó y y lo que es absurdo. Por consiguiente, f y < f y < f y, es decir 0 ε < f y < 0 ε, es decir f y 0 ε < f y < f y 0 ε y f es continua en y 0. Si el punto es un etremo del intervalo o para f estrictamente decreciente, basta adaptar la prueba. Veamos ahora que si f es derivable en 0 a, b, entonces f es derivable en y 0 = f 0, pero esto es sencillo, pues si y y 0, f y f y 0 = f f f f 0 0 f = y y 0 f f 0 f f 0 = f0 0 Si y y 0, = f y tenderá hacia 0 = f y 0 con 0 por ser f inyectiva, en consecuencia, f f 0 0 f 0 con lo que f es derivable en y 0 y su derivada es f 0. Nota: Durante la demostración, se ha probado también lo es. que: si f es estrictamente creciente o decreciente, f

11 30 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Polinomios de Taylor Demostración de: Fórmula de Taylor 50 de la página 4 Fórmula de Taylor 50.- Sea una función f eisten f, f,..., f n y f n sobre el intervalo [a, ]. Entonces, f P n,a = f n c n! an para un cierto c a,, llamado resto de Lagrange, o también que se denomina resto de Cauchy. f P n,a = f n c c n a para un cierto c a,, Consideremos la función G: [a, ] IR, definida por ] Gt = f [ft f t t f t t f 3 t3 t f n tn t f n tn t!! 3! n! La función G verifica que G = 0 y Ga = f P n,a y es derivable en [a, ], por ser suma y producto de derivables. Y su derivada es [ G t = f t f t t f t t0 f 3 t t f t t!!!! f 4 t3 t f 3 t 3 t f n tn t f n t n tn 3! 3! n! n! f n tn t f n t n tn ] n! = [ f t f 4 t3 t 3! f t t f t f 3 t t!! f 3 t f n tn t f n t t! ] tn n! f t t! f n tn t f n t n! quitando [ los paréntesis internos y cambiando el orden de los sustraendos, se tiene: = f t f t f t t f t t f 3 t t!!! f 3 t t f 4 t3 t! 3! f n tn t f n tn t n! f n tn t n! ] tn n! f n tn t n! y cada término que resta se anula con el anterior, luego sólo queda el último término: = f n tn t. Entonces: Por el teorema del valor medio de Lagrange, G Ga = G c a, para algún c a,. Luego G Ga = Ga = f n c cn a = f P n,a = f n c c n a

12 3 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo Tomando la función gt = t n, continua en [a, ] y derivable en a,, por el teorema del valor medio de Cauchy G Ga = G c g c g ga, para algún c a,. Luego Ga = f n c c n a n n c n = f P n,a = f n c an n! y hemos obtenido el resto de Cauchy, en el primer caso, y el de Lagrange en el segundo. Demostración de: Proposición 5 de la página 5 Proposición 5.- Sea f una función de clase C n en un entorno del punto a, para la que se cumple que f a = f a = = f n a = 0, y además eiste f n a 0. Entonces: a Si n es par y f n a > 0, f presenta un mínimo local en a. b Si n es par y f n a < 0, f presenta un máimo local en a. c Si n es impar y f n a > 0, f es estrictamente creciente en a. d Si n es impar y f n a < 0, f es estrictamente decreciente en a. Si f a = f a = = f n a = 0, el polinomio de Taylor de grado n de f en a se reduce al primer y último término, P n,a = fa f n a a n. f P Por la proposición 49 anterior, n,a a a = 0, luego n f fa f n a a n f fa 0 = a a n = a a n f n a f fa = a a n = f n a luego si f n a > 0, debe ser f fa a n > 0 para los de un entorno de a, y si n es par, a n > 0 de donde f fa > 0 y f fa, por lo que fa es mínimo local. si n es impar, para los < a se tiene que a n < 0 de donde f fa < 0 y f < fa; y para los > a se tiene que a n > 0 de donde f fa > 0 y f > fa. En consecuencia, f es estrictamente creciente en a. Y se cumplen a y c. si f n a < 0, debe ser f fa a n < 0 para los de un entorno de a, y si n es par, a n > 0 de donde f fa < 0 y f fa, por lo que fa es máimo local. si n es impar, para los < a se tiene que a n < 0 de donde f fa > 0 y f > fa; y para los > a se tiene que a n > 0 de donde f fa < 0 y f < fa. En consecuencia, f es estrictamente decreciente en a. Y se cumplen b y d.