El momento de orden n de una variable aleatoria X es el valor esperado de X elevado a la n, es decir,

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1 1 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE 4) MOMENTOS. FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS CONJUNTA. El concepto de Momentos ya se conocía en el análisis de una variable aleatoria y es bueno recordarlo ahora para generalizarlo a dos variables aleatorias y, finalmente, a varias variables aleatorias. Existen dos definiciones, la de momento n ésimo y la de momento n ésimo central: El momento de orden n de una variable aleatoria X es el valor esperado de X elevado a la n, es decir, El momento central de orden n de una variable aleatoria X es el valor esperado de la diferencia entre X y su valor esperado, elevado a la n, es decir, Estas definiciones podemos extenderlas a dos variables aleatorias X e Y de esta forma: Definimos el momento generalizado de orden (i, j) como Definimos el momento central generalizado de orden (i, j) como Observaciones: Los momentos generalizados de orden (i, 0) son los momentos de orden i para la variable X. Los momentos generalizados de orden (0, j) son los momentos de orden j para la variable Y. Los momentos centrales generalizados de orden (i, 0) son los momentos centrales de orden i para la variable X. Los momentos centrales generalizados de orden (0, j) son los momentos centrales de orden j para la variable Y. El momento generalizado (1, 1) es el que se ha llamado valor esperado conjunto o Correlación. El momento central generalizado (1, 1) es el que se ha llamado Covarianza entre X e Y. La obtención de estos momentos se facilita con el conocimiento de la función generatriz de momentos conjunta que se define como el siguiente valor esperado: Observaciones:, La función generatriz de momentos conjunta es una función de dos variables reales (no aleatorias) llamadas t 1 y t 2.

2 2 A la función generatriz de momentos de cada variable se le denominará como función generatriz de momentos marginal. De la definición de función generatriz de momentos conjunta se desprenden las siguientes propiedades: 1. La función generatriz de momentos conjunta evaluada en t 1 = t 2 = 0, vale uno. 2. Las funciones generatrices de momentos marginales se consiguen evaluando la función generatriz de momentos conjunta sobre los ejes de coordenadas, es decir,, 0 0,. Si X e Y son variables aleatorias independientes, la función generatriz de momentos conjunta se puede escribir como el producto de las funciones generatrices de momentos marginales, es decir,,, 4. Sea Z = X + Y. La función generatriz de momentos marginal de Z se obtiene evaluando la función generatriz de momentos conjunta en t 1 = t 2 = t, es decir,, 5. Sea Z = X + Y, tal que X e Y son independientes. La función generatriz de momentos marginal de Z se obtiene multiplicando las funciones generatrices de momentos marginales de X e Y evaluadas en t 1 = t 2 = t, es decir, 6. Sea Z la suma de n variables aleatorias independientes. La función generatriz de momentos marginal de Z se obtiene multiplicando las funciones generatrices de momentos marginales de las n variables aleatorias, evaluadas en t i = t; i = 1, 2,,n, es decir, 7. Sea Z la suma de n variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas (iid). La función generatriz de momentos marginal de Z se obtiene elevando a la n la función generatriz de momentos marginal común de las n variables aleatorias evaluada en t, es decir,

3 8. El momento generalizado de orden (i, j) se obtiene tomando la derivada i ésima con respecto a t 1, luego la derivada j ésima con respecto a t 2 de la función generatriz de momentos conjunta y, finalmente, evaluando en t 1 = t 2 = 0,,,, Ejemplo 4.1) Considere dos variables aleatorias cuya función de densidad conjunta viene dada por la expresión siguiente. Calcular la función generatriz de momentos conjunta y a partir de ella, calcular el coeficiente de correlación para estas variables. ; 0 1, 0 2, 0; Ya que el volumen bajo la conjunta debe ser igual a uno se tiene que C = 1/2. La función generatriz de momentos conjunta viene dada por, Las funciones generatrices de momentos marginales serán (según la propiedad 2),, 0 0, 1 1 lim 1,, lim 1,, 2 2 Para calcular los momentos marginales de orden uno y dos y el momento generalizado de orden (1, 1) se tiene que,,, 1 2, 1,,, 1,,, 4,,

4 , 1 2,,, 0 0 Esto era de esperarse ya que estas variables son independientes. Ejemplo 4.2) Considere dos variables aleatorias normales estándar e independientes. Calcular la función generatriz de momentos conjunta. Con base en la propiedad de la función generatriz de momentos conjunta, ella es igual al producto de las funciones generatrices de momentos marginales. Entonces, la función generatriz de momentos marginal de X será 1 2 Entonces, la función generatriz de momentos conjunta viene dada por, Ejemplo 4.) Considere dos variables aleatorias Poisson independientes y con parámetros m y n, respectivamente. Calcular la función generatriz de momentos de la suma de ellas. Con base en la propiedad de la función generatriz de momentos conjunta, ella es igual al producto de las funciones generatrices de momentos marginales. Entonces, la función generatriz de momentos marginal de X será! La función generatriz de momentos de la suma de estas variables independientes viene dada por, ~

5 5 Ejemplo 4.4) Considere el proceso de llegadas de personas a un Centro Comercial como un Proceso Poisson con parámetro λ. Sea Z el número de personas que llegan en un intervalo de ancho T y sean X e Y el número de mujeres y hombres, respectivamente, que llegan en ese mismo intervalo. Se conoce que la tasa de mujeres es λ m y la de hombres λ h. Deduzca la relación entre las tasas de las variables Z, X e Y. Ya que el número de personas que llega al Centro Comercial es un Proceso Poisson con parámetro λ, la variable Z, número de personas que llega al Centro Comercial durante el intervalo de ancho T, es una Variable Poisson con parámetros λ y T. Es decir, ~, ; 0,1,2,! 0; De igual forma, X es una variable Poisson con parámetros λ m y T y Y es una variable Poisson con parámetros λ h y T. Es decir, ~, ; 0,1,2,! 0; ~, ; 0,1,2,! 0; Durante el intervalo de ancho T se tiene que Z = X + Y. Por otro lado, es razonable pensar que X e Y son independientes, entonces Finalmente,,