Análisis de la Varianza

Transcripción

1 Análisis de la Varianza Prof. Susana Martín n Fernández ndez

2 Índice Análisis de la Varianza de un Factor Análisis de la Varianza de dos Factores Análisis de la Varianza de dos Factores con Interacción

3 Objetivo Estudiar la influencia de 1 o más m factores en los valores de una variable aleatoria.

4 Procedimiento Descomponer la variabilidad de un experimento en componentes o factores independientes

5 Metodología 1.Representaci Representación n gráfica de los datos..planteamiento del modelo. 3.Estimaci Estimación n de los parámetros. 4.Contraste de si los factores influyen o no en la variable aleatoria. 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos.

6 Análisis de la Varianza de un Factor

7 1. Representación gr ANOVA 1 Facto n gráfica de los datos. EJ. Se tienen los datos históricos de los incendios forestales en la Comunidad de Madrid. Se quiere estudiar la influencia en la superficie quemada, del tipo de día de la semana en el que se inicia el incendio. Tipo de día: 1- Festivo - Víspera de festivo 3-Laborable (X 1000) 3 totalquemado Representación por Código de Nivel 1 3 CLASEDIA Gráfico de Cajas y Bigotes CLASEDIA (X 1000)

8 . Planteamiento del modelo ANOVA 1 Facto X ij = µ i + ε ij, j =1,,...,n i ; i =1,,...,k Donde X ij es el j-ésimoj valor para el nivel i del factor. µ i es el valor medio de la variable para el nivel i del factor. ε ij es la perturbación n aleatoria, variable que se supone Normal, de varianza constante, media nula e independiente.

9 . Planteamiento del modelo ANOVA 1 Facto (X 1000) 3 totalquemado Representación por Código de Nivel X 1j X j 1 3 CLASEDIA X 3j = µ + ε X = 888,5 + ε 400 Medias y Errores Estándar (s combinada) totalquemado µ 1 µ µ CLASEDIA

10 .Planteamiento del modelo El modelo de forma matricial: ANOVA 1 Fact Donde: X = (X Es un vector aleatorio de n componentes Es un vector de k parámetros desconocidos. A =I n ε = (ε, X,..., X X = βa, X, X,..., X + ε,..., X,..., X Es un vector aleatorio que recoge el error de medición n de la variable X., X n1 1 n k1 k kn k, ε β = (µ,..., ε 1, µ, ε,..., µ, ε k ),..., ε,..., ε, ε ),..., ε n1 1 n k1 k knk )

11 3.Estimaci Estimación n de los parámetros ANOVA 1 Fact Por el método m de máxima m verosimilitud a partir de la siguiente función n de verosimilitud: f(x, k ni 1 - µ e 1 n/ n σ i=1 j=1 1, µ,..., µ k )= (π ) Los estimadores de los parámetros son los siguientes: σ ( X ij - µ i ) µ ) i = X X i = n i ij σˆ k n i ( X X ) ij i i= j= = 1 1 n

12 3.Estimaci Estimación n de los parámetros ANOVA 1 Fact En el ejemplo, el valor de los estimadores de los parámetros son los siguientes: Tipo de día: 1- Festivo - Víspera de festivo 3-Laborable X X 1 = 888'5 ha. = 1757'88 ha. X3 = 848'11 ha. σ ) = 68'366 ha.

13 4. Contraste para analizar la influencia del factor ANOVA 1 Fact Lo que se trata de comprobar es que los factores no influyen en la variable X.. Para ello la hipótesis más m s sencilla es comprobar si las medias son iguales para todos los factores: H 0 :µ 1 = µ =... = µ = µ Se rechazará la hipótesis nula cuando fijado un nivel de significación n el estadístico stico sea mayor que F 0, valor obtenido en la tabla de la F-snedecorF para (k-1,n 1,n-k) grados de libertad. (n - k) (k -1) - k ni k ni ( X ij - X ) ( X ij - X i. ) i =1 j=1 i=1 j=1 > k ni ( X ij - X i. ) i=1 j=1 k F 0

14 4. Contraste para analizar la influencia del factor. Descomposición n de la variabilidad ANOVA 1 Fact (X 1000) 3 totalquemado Representación por Código de Nivel 1 X 1 X e 1 X X X CLASEDIA

15 4. Contraste para analizar la influencia del factor. Descomposición n de la variabilidad ANOVA 1 Fact (X 1000) 3 totalquemado Representación por Código de Nivel X 1 X e 1 X X 1 3 CLASEDIA X X 1 ( X X ) + ( X X ) X = 1

16 ANOVA 1 Fact 4.Contraste para analizar la influencia del factor. Descomposición n de la variabilidad La variación n entre los datos y la media total, se puede poner como suma de la variación n de los datos y las medias parciales y la de las medias parciales y la total. k n i i= 1 j= 1 ( X ij X ) = k ni k ( X ij X i ) + i= 1 j= 1 i= 1 n i ( X i X ) VT=VNE+VE En el contraste se comprueba: VT VNE n k F = > VNE k 1 F 0

17 Fuentes de variación Entre grupos (Varianza explicada) Interna o no explicada TOTAL Suma de cuadrados Grados de libertad k-1 n-k n-1 ANOVA 1 Fact 4.Contraste para analizar la influencia del factor La forma de trabajar es calculando la tabla de Análisis de la Varianza (ANOVA): n i (Xi.-X..) ( Xij-X i. ) ( ij-x..) X Varianzas Sˆ e Sˆ R = = Sˆ y VE K -1 VNE n - K

18 ANOVA 1 Fact 4.Contraste para analizar la influencia del factor Las fuentes de variación n siguen distribuciones chi-cuadrado. cuadrado. Otra forma de expresar el estadístico stico es: F = ( k 1, n k ) Sˆ S e R El coeficiente de determinación n R =VE/VT es una medida relativa de la variabilidad explicada por el modelo respecto a la l total.

19 ANOVA 1 Fact 4.Contraste para analizar la influencia del factor

20 Ejemplo rápido r de ANOVA de un factor. Distancia El Servicio de Parques y Jardines del Ayuntamiento de Madrid está realizando un estudio de las características morfológicas del arbolado. Se han tomado 14 datos de Ligustrum japonica.. Las variables que se midieron son: Perímetro del tronco Diámetro de copa Altura de la primera rama Altura Nivel de riesgo Se quiere analizar si la distancia a la fachada influye en el perímetro del tronco P M G Distancia M M M G G G d< 1m 1-,5 m d>,5 m Perímetro metro-cm

21 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Normalidad Independencia Homocedasticidad

22 5. Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Tests no paramétricos de bondad de ajuste: Gráfico de Normalidad-Test de normalidad de Shapiro-Wilks Χ Kolmogorov-Smirnov Contrastes de Asimetría a y Curtosis

23 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Gráfico de Normalidad En el eje X están n representados los residuos o la variable a analizar. El eje Y tiene una escala de forma que la función n de distribución n aparezca como un recta. Gráfico de Probabilidad Normal porcentaje RESIDUALS

24 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Test de normalidad de Shapiro-Wilks Este test,, es el mismo que el de la recta, es específico para contrastar si una muestra procede de la distribución n Normal, sin tener que hacer ninguna especificación n de los parámetros. Muy útil para muestras pequeñas con n<50. El estadístico stico es el siguiente: Donde a i está tabulada, y u i, es la n / muestra ordenada de menor a an ( un i+ u ) mayor. 1 1 i i= 1 W = n u1 u... u n ( ui u ) i= 1 La región n crítica es la siguiente: ( W K/H ) α P = 0 K está tabulada

25 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Test de normalidad de Shapiro-Wilks En el ejemplo, se aceptaría normalidad para un nivel de confianza del 99%. Estadístico W de Shapiro-Wilks = P-valor =

26 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Χ H 0 : X F(X) Contraste válido v para variables discretas y continuas. En el caso discreto se va a realizar una comparación n punto por punto entre los datos muestrales y los de la distribución n teórica, en el caso continuo, se comparan intervalos.

27 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Χ Procedimiento para el caso continuo: 1. Enunciar la hipótesis nula.. Si algún n parámetro de F(X) ) es desconocido se estima a partir de la muestra. 3. Se divide el rango de variación n de X en intervalos disjuntos, I 1, I,...,I k. 4. Se calculan las frecuencias observadas en cada intervalo o clase, f 1,f,...,f k, es decir el número de observaciones en cada clase: f i =n

28 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Χ Procedimiento para el caso continuo: 5. Se calculan las probabilidades en estos intervalos con la función n de distribución teórica; es decir P{X I i }=p i, i=1,...k. p = f ( x ) i I i dx 6. Se calculan las frecuencias teóricas en cada intervalo, f Ti =np i i=1,...k

29 ANOVA 1 Fact 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Χ Procedimiento para el caso continuo: 7. Se calcula el siguiente estadístico: stico: k = χ i= 1 ( ) f np i np i i χ k r 1 r es el número de parámetros estimados

30 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Χ Condiciones de aplicación n del contraste Χ : 1. Cada intervalo debe tener al menos 5 datos..el número n de intervalos se recomienda que sea como mínimo 5, para evitar que modelos diferentes tengan iguales frecuencias teóricas ricas. ANOVA 1 Fact densidad A B

31 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Χ En el ejemplo:

32 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Contraste de Kolmogorov-Smirnov H 0 : X F(X) Contraste válido v para variables continuas. Procedimiento: 1. Se ordenan los valores muestrales de menor a mayor: x x... x ( 1) () ( n)

33 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Contraste de Kolmogorov-Smirnov. Se calcula la función n de distribución n empírica de la muestra, F n* (x), con: F * n ( x) 0 x < x(1) r = x( r ) x < x( r + n 1 x x( n ) 1)

34 ANOVA 1 Fact 5. Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Contraste de Kolmogorov-Smirnov 3. Se calcula la discrepancia máxima m entre las funciones de distribución n observada y la teórica. D n = max F * n (x) F(x) Estadístico de colas de K -S

35 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Contraste de Kolmogorov-Smirnov Por tanto, para aplicar el test hay que calcular para cada punto x h : D n ( x h ) = max { F (x ) F(x ), F (x ) F(x )} * * n h-1 h n h h Se acepta H 0 cuando D n < D 0 tabulado

36 ANOVA 1 Fact 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos Contraste de Kolmogorov-Smirnov En el ejemplo: Estadístico DN global de Kolmogorov = P-Valor aproximado =

37 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Contrastes de asimetría a y curtosis Asimetría El coeficiente de asimetría es : CA = ( x x) i ns 3 3 Es 0 si la hipótesis de normalidad es cierta. Si n>50, se aproxima a una normal y se puede contrastar si CA=0. Curtosis o apuntamiento CAP = ( x x) i ns 4 4 Es 3 si la hipótesis de normalidad es cierta. Si n>00, se aproxima a una normal y se puede contrastar si CAP=3.

38 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos ANOVA 1 Fact Contrastes de asimetría a y curtosis En el ejemplo: Puntuación Z para asimetría = P-valor = Puntuación Z para curtosis = P-valor =

39 ANOVA 1 Fact 5. Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Análisis de dependencia de los residuos Coeficiente de autocorrelación. Contraste de Durbin-Watson

40 ANOVA 1 Fact 5. Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Análisis de dependencia de los residuos Coeficiente de autocorrelación. r( k) n i i= k + 1 = n ( x x)( x x) ( x ) i x i= 1 i k El coeficiente representa la correlación lineal entre las variables X=(x k+1, x k+,..., x n ) e Y=(x 1, x,..., x n-k ) Donde k es el retardo

41 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Análisis de dependencia de los residuos Coeficiente de Durbin-Watson ANOVA 1 Fact D n i i= = n ( e e ) i= 1 e i i 1 Donde e i son los residuos Si D=0 hay dependencia positiva entre los residuos. Si D= los residuos son independientes. Si D=4 hay dependencia negativa entre los residuos.

42 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Análisis de dependencia de los residuos Coeficiente de Durbin-Watson ANOVA 1 Fact Si k es el número de variables explicativas y n el tamaño de la muestra, para α=0,05 están tabulados los valores d L y d U para aceptar o no independencia. Si 0<D<d L hay dependencia positiva. Si d L <D<d U el test no es concluyente. Si d U <D<4-d U los residuos son independientes. Si 4-d U <D<4-d L el test no es concluyente. Si 4-d L <D<4 dependencia negativa.

43 ANOVA 1 Fact 5. Comprobación n de las hipótesis básicas b por análisis de residuos Análisis de la Homocedasticidad H 0 :σ 1 = σ =...=σ k Contraste de Bartlett Contraste C de Cochran Contraste de Hartley Contraste de Levene

44 Análisis de la Contraste Bartlett lisis de la Homocedasticidad Población Normal Si Tamaño Muestral Grupos cualquiera ANOVA 1 Fact Cochran Cualquiera Iguales Hartley Si Iguales Levene Cualquiera Cualquiera

45 Análisis de la lisis de la Homocedasticidad ANOVA 1 Fact En muestras normales Bartlett es más m sensible que Levene. Los contrastes de Hartley y Cochran en general dan los mismos resultados. Contraste de Varianza Contraste C de Cochran: : P-valor P = 0.0 Contraste de Bartlett: : P-valor P = 0.0 Contraste de Hartley: : Test de Levene: : P-valor P =

46 Análisis de la Varianza de dos Factores

47 Objetivo Investigar los efectos de dos factores, α y β,, en el resultado de un experimento.

48 Metodología 1.Representaci Representación n gráfica de los datos..planteamiento del modelo. 3.Estimaci Estimación n de los parámetros. 4.Contraste de si los factores influyen o no en la variable aleatoria. 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos.

49 1. Representación gr ANOVA Factores n gráfica de los datos. Ej. Analizar si los factores Pendiente y Orientación influyen en la superficie total quemada en incendios forestales en la CAM. Pendiente: Orientación: 1- Terreno llano 1- Solana - Ondulado - Umbría 3-Abrupto totalquemado Medias y 95.0 Porcentajes Intervalos de Confianza R5Aorientacion Medias y 95.0 Porcentajes Intervalos de Confianza 50 totalquemado R5Bpendiente

50 .Planteamiento del modelo ANOVA 1 Factor X = µ + α + β + ij i j ε ij, j =1,,...,b; i =1,,...,a α i es el efecto del i-ésimo i nivel del primer factor. β j es el efecto del j-esimo j nivel del segundo factor. ε ij ij representa la perturbación n aleatoria, y se acepta que cumple que: - Son independientes - Siguen un distribución n normal - Todas tienen la misma varianza (homocedasticidad( homocedasticidad) σ E[ε.]= -E[.]=00 (media cero).

51 .Planteamiento del modelo ANOVA Factores Por tanto X ij son variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal de media + α + β y varianza. Se asume que: a Por tanto: µ j = 0 = 0 αi β i i=1 b-1 b i=1 β = β α α i b - i=1 i a-1 = a - i=1 i σ

52 .Planteamiento del modelo ANOVA Factores Otra forma de plantear el modelo es la siguiente: X = βa + ε Donde: = (X11, X1,..., X1b, X1, X,..., Xb,..., Xa1, Xa,..., Xab) = ( µ, α1, α,...,αa-1, β1, β,..., βb- 1) = (ε11, ε1,..., ε1b, ε1, ε,..., εb,..., εa1, εa,..., εab)

53 µˆ 3.Estimaci Estimación de los par n de los parámetros Los estimadores de los parámetros son los siguientes: a b = X = αˆ = i Xi. i= 1 j= 1 ab X - X ij X i. = b j=1 b ANOVA Factores X ij βˆ = X j.j - X X.j = a j=1 a X ij

54 3.Estimaci Estimación de los par Orientación Pendiente 1 n de los parámetros 1 9 ha ha ANOVA Factores Xi 5,5 ha 10 ha 8 ha 9 ha 3 5 ha 1 ha 3 ha X.j 8 ha 3,6 ha X=5,5ha α 1 = 0 α =3,5 α 3 =-,5 β 1 =,5 β =1,9

55 ANOVA Factores 4.Contraste para analizar la influencia de los factores Lo que se trata de comprobar es que los factores no influyen en la variable X.. Para ello la hipótesis más m s sencilla es comprobar si las medias son iguales para todos los factores: H α : α 1 = α = α 3 =... = α a = 0 H β :β 1 = β = β 3 =... = β b = 0

56 ANOVA Factores 4.Contraste para analizar la influencia de los factores Tabla de Análisis de la Varianza (ANOVA):

57 ANOVA Factores 4.Contraste para analizar la influencia de los factores

58 Análisis de la Varianza de Dos Factores con Interacción

59 Objetivo Estudiar la influencia de dos factores en el comportamiento de una variable cuantitativa, así como la influencia conjunta de los factores en la variable explicada.

60 Metodología 1.Representaci Representación n gráfica de los datos..planteamiento del modelo. 3.Estimaci Estimación n de los parámetros. 4.Contraste de si los factores influyen o no en la variable aleatoria. 5.Comprobaci Comprobación n de las hipótesis básicas por análisis de residuos.

61 .Planteamiento del modelo ANOVA 1 Facto X ijs =µ +α + β i j + γ ij + ε ijs, j=1,,..., b;i=1,,..., a; s= 1,, Km α i β j γ ij ε ijs es el efecto del i-ésimo i nivel del primer factor. es el efecto del j-esimo j nivel del segundo factor. es el efecto de la interacción n del i-esimo i nivel del primer factor y del j-esimo j nivel del segundo factor. representa la perturbación n aleatoria, y se acepta que cumple que: - Son independientes - Siguen un distribución n normal - Todas tienen la misma varianza (homocedasticidad( homocedasticidad) σ -E[ E[ε.]=0 (media cero).

62 .Planteamiento del modelo ANOVA 1 Facto

63 .Planteamiento del modelo ANOVA Factore Por tanto X ij son variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal de media µ + αi + β + γij y varianza. j σ a Se asume que: = 0 = 0 αi β i i=1 Por tanto: b-1 b i=1 β = β α α i b - i=1 i a - a-1 = i=1 b γij j= 1 = 0 j a i= 1 γ = 0 ij i

64 3.Estimaci Estimación n de los parámetros ANOVA Factores µˆ Los estimadores de los parámetros son los siguientes: a b m = X = αˆ i = X i= 1 j= 1 s= 1 i.. abm - X X ijs X γˆ ij = Xij. Xi.. X.j. + X i.. = b j=1 m s= 1 bm X ijs βˆ j = X.j. - X X.j. = a j=1 m s= 1 X am ijs

65 3.Estimaci Estimación de los par n de los parámetros Los estimadores de los parámetros son los siguientes: ANOVA Factores γˆ = X X X + ij ij. i...j. X ij. Los residuos son: e ijs = X ijs = m s= 1 X m ijs X ( µˆ + αˆ ) i + βˆ j + γˆ ij = Xijs Xij.

66 ANOVA Factores 4.Contraste para analizar la influencia de los factores Lo que se trata de comprobar es que los factores no influyen en la variable X. H α : α 1 = α = α 3 =... = α a = 0 H β :β 1 = β = β 3 =... = β b = 0 H γ : γ =γ 1 1 =...=γ ab =0.

67 ANOVA Factores 4.Contraste para analizar la influencia de los factores Tabla de Análisis de la Varianza (ANOVA):

68 ANOVA Factore 4.Contraste para analizar la influencia de los factores Tabla de Análisis de la Varianza (ANOVA):