V. Modelo desarrollado de transferencia de materia

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1 26 V. Modelo desarrollado de transferencia de materia Mediante la teoría cinética elemental de los gases pueden explicarse los fenómenos de transferencia, y sus acoplamientos, así como llegar a estimaciones de las tres propiedades del transporte. La teoría cinética elemental se construye sobre las siguientes hipótesis simplificadoras: - Las moléculas de cada especie son esferas rígidas de masa m i y diámetro d i. - No existen fuerzas de atracción y repulsión entre las moléculas. - El volumen ocupado por las moléculas es despreciable frente al volumen total. - Las colisiones entre moléculas son perfectamente elásticas, es decir, siguen las leyes de conservación de cantidad de movimiento y de energía. - Las moléculas de cualquier especie i se mueven en todas direcciones al azar con la misma velocidad. La transferencia de un componente entre una superficie interfacial y un fluido en movimiento se denomina transferencia convectiva de materia. La superficie interfacial puede ser la superficie exterior de un sólido en contacto con una corriente de líquido o gas. La transferencia convectiva de materia es un fenómeno que se produce en todas las operaciones básicas de transferencia de materia tales como secado, lixiviación, destilación, absorción, etc. En general, estas operaciones suelen ser en régimen turbulento, no obstante, adyacente a la interfase existe una subcapa laminar extremadamente fina en la que el transporte convectivo de materia es por difusión molecular. Fuera de esta capa, es la difusión turbulenta la que juega el papel predominante. El flujo difusivo depende del gradiente de concentración en la interfase, cuya determinación es compleja y por tanto, por simplificación se utiliza la siguiente ecuación: donde: - coeficiente de transferencia de materia. - concentración en la interfase del componente que se transfiere. - concentración media en el seno de la fase fluida. Por otro lado, es conveniente señalar que en la mayoría de los casos reales, el término que aparece en la ecuación del flujo en la interfase, Ec. 1, es despreciable frente al término difusivo, de forma que la ecuación de transporte de materia queda:

2 27 V.1.1 Cálculo del coeficiente de transferencia de materia. Utilizando la ley de Fick y la definición de coeficiente se puede escribir: Igualmente se puede definir el coeficiente de transferencia respecto de una fuerza impulsora másica, Estos coeficientes son iguales cuando las velocidades medias molares y másicas también lo son, ya que en este caso. Este caso se produce cuando todas las especies involucradas tienen la misma masa molecular. Estos dos coeficientes también son prácticamente iguales cuando existe un componente mayoritario puesto que la masa molecular media de la mezcla es prácticamente igual a la del componente mayoritario. Por otro lado, el flujo de A debido al movimiento global de la mezcla es despreciable frente al flujo difusivo debido al gradiente de concentración, y en consecuencia, se puede reescribir la ecuación como: La evaluación del coeficiente de transporte convectivo de materia se puede abordar de diversas formas: - Análisis exacto de la capa límite. - Análisis aproximado de la capa límite. - Utilizando la analogía existente entre los tres fenómenos de transporte. - Experimentalmente haciendo uso del análisis dimensional. En este caso, el cálculo se realiza a partir del análisis aproximado de la capa límite, debido a que el problema es en régimen turbulento y por tanto no es posible realizar un análisis riguroso de la transferencia de materia en la capa límite. La carencia de un modelo de turbulencia suficientemente bueno obliga a realizar un estudio aproximado de la capa límite como el desarrollado por von Kármán.

3 28 V Análisis de von Kármán Si se considera el volumen de control de la Figura 14, el balance molar de A en régimen permanente es: donde: - es el caudal molar por unidad de profundidad de capa límite. - es el caudal molar por unidad de borde de capa límite. Despreciando el flujo difusivo en la dirección x del movimiento del fluido, el caudal molar de A en esa dirección es, Por otro lado, asumiendo interfase es, nula en la interfase, la velocidad molar de transferencia de A en la Figura 14. Análisis aproximado de Von Kármán. En el borde de la capa límite el gradiente de concentración de A en dirección z es nulo. Por tanto, siendo el caudal molar de fluido por unidad de profundidad a través de una longitud Δx de borde de la capa límite. Este caudal puede evaluarse planteando el balance molar total en el volumen de control considerado,

4 29 donde, De aquí resulta, Sustituyendo todos los términos del balance molar de componentes A, Ec. 14, por sus respectivas expresiones, Ec.9, Ec.1, Ec.11 y Ec.13, se obtiene finalmente: Para resolver esta ecuación es preciso conocer los perfiles de concentración de y velocidad, así como el espesor de la capa límite. En régimen turbulento estos datos no son conocidos, por tanto: - Aplicando el análisis de von Kármán a la capa límite fluidodinámica. - Asumiendo el perfil 1/7 de velocidad. - Considerando Sc=1, para los gases la relación de difusividades es la unidad. Se obtiene: El número de Sherwood sobre una superficie plana es el siguiente: V Cálculo de la difusividad binaria Para gases polares, las fuerzas de atracción y repulsión entre moléculas dependen de la orientación de estas por estar cargadas. Estas fuerzas deben ser modeladas a través de un potencial que recoja la influencia de este efecto adicional. Con frecuencia se suele utilizar el potencial de Stockmayer donde se tiene en cuenta las interacciones dipolo-dipolo y el cálculo de σ, ε y Ω D se corrige respecto al valor que da el potencial de Leonnar-Jones mediante un factor que depende del momento dipolar de las moléculas. En algunas ocasiones resultan difíciles de encontrar los valores de todos los parámetros y es en este caso cuando se introduce la ecuación de Fuller, la cual es mucho más sencilla aunque su precisión es algo menor. Esta ecuación puede ser utilizada para mezclas de gases no polares y polar-no polar. El valor que se obtiene de esta ecuación se encuentra en m 2 /s.

5 3 Donde: - T en Kelvin. - p en atmósferas. - Σv i es el volumen de difusión. Estos datos se pueden obtener de la siguientetabla 3. Tabla 3.Volúmenes de difusión para distintas sustancias. Volúmenes atómicos de difusión C 16,5 (Cl) 19,5 H 1,98 (S) 17, O 5,48 Anillo aromático -2,2 (N) 5,69 Anillo heterocíclico -2,2 Volúmenes de difusión H 2 7,7 CO 18,9 D 2 6,7 CO 2 26,9 He 2,88 N 2 O 35,9 N 2 17,9 NH 3 14,9 O 2 16,6 H 2 O 12,7 Air 2,1 (CCl 2 F 2 ) 114,8 Ar 16,1 (SF 6 ) 69,7 Kr 22,8 (Cl 2 ) 37,7 (Xe) 37,9 (Br 2 ) 67,2 Ne 5,59 (SO 2 ) 41,1 La ecuación de Fuller muestra quela difusividad es proporcional a T 1,75 e inversamente proporcional a la presión. V.1.2 Cálculo de la concentración de A. Para determinar la concentración del componente A tanto en la interfase como en el seno del fluido, se necesita conocer la fracción másica del componente A en cada caso, la densidad del fluido a la temperatura correspondiente y el peso molecular del componente A. Conocidos estos valores se pueden determinar las concentraciones con la siguiente ecuación: donde: - es la fracción másica del componente A. - es la densidad del fluido a la temperatura de la interfase. - es el peso molecular del componente A.

6 31 Para determinar la fracción másica del componente A a partir de la humedad relativa se realiza un polinomio que las relaciones con los datos tomados del diagrama psicrométrico. Figura 15. Diagrama Psicrométrico. Con el diagrama psicrométrico, las temperaturas y la humedad relativa podemos determinar las humedades absolutas, es decir, la fracción másica de agua para varios puntos y de esta forma calcular el polinomio. Tabla 4. Concentración másica de la humedad relativa del 1%. Concentración másica para una humedad relativa del 1% Temperatura interfase (K) Concentración másica (kg/kg) 283, , , ,26 33, , ,4884 A partir de los datos de la tabla anterior se tiene el polinomio para una humedad relativa del 1%: Tabla 5. Concentración másica para humedad relativa del 5%. Concentración másica para una humedad relativa del 5% Temperatura seno del fluido (K) Concentración másica (kg/kg) 283,379

7 32 288, , ,987 33,133 38, ,235 A partir de los datos de la tabla anterior se tiene el polinomio para una humedad relativa del 5%: Con las ecuaciones anteriores se puede determinar la humedad absoluta para dicho rango de temperaturas cuando las humedades relativas son del 5% y del 1%. V.1.3 Análisis paramétrico de la transferencia de materia. Con los datos anteriores se puede representar la variación de transferencia de materia con la temperatura de la interfase, la temperatura del seno del fluido y con la velocidad. La dependencia con este último parámetro aparece en el número de Reynolds. A continuación se muestran las gráficas con dichas variaciones, por un lado la variación de la transferencia de materia con la temperatura de la interfase y la velocidad y por otro la variación de la transferencia de materia con la temperatura del seno del fluido y la velocidad. En primer lugar, se muestran las gráficas para la temperatura del seno del fluido constante.

8 n A (kg/(m 2 s)) n A (kg/(m 2 s)) n A (kg/(m 2 s)) Grupo Termotecnia. Escuela Superior de Ingenieros 33 1,E-3 8,E-4 6,E-4 4,E-4 2,E-4 T interfase=283 K T interfase=293 K T interfase=33 K T interfase=313 K,E+ Figura 16. Transferencia de materia para temperatura del fluido igual a 288 K. 8,E-4 7,E-4 6,E-4 5,E-4 4,E-4 3,E-4 2,E-4 1,E-4,E+ T interfase=283 K T interfase=293 K T interfase=33 K T interfase=313 K Figura 17. Transferencia de materia para temperatura del fluido igual a 293 K.,7,6,5,4,3,2,1 -,1 T interfase=283 K T interfase=293 K T interfase=33 K T interfase=313 K Figura 18. Transferencia de materia para temperatura del fluido igual a 298 K.

9 n A (kg/(m 2 s)) n A (kg/(m 2 s)) Grupo Termotecnia. Escuela Superior de Ingenieros 34,6,5,4,3,2,1 -,1 -,2 T interfase=283 K T interfase=293 K T interfase=33 K T interfase=313 K Figura 19. Transferencia de materia para temperatura del fluido igual a 33 K.,5,4,3,2,1 -,1 -,2 T interfase=283 K T interfase=293 K T interfase=33 K T interfase=313 K Figura 2. Transferencia de materia para temperatura del fluido igual a 38 K. En las gráficas anteriores se observa que al aumentar la velocidad a la que el fluido barre la interfase, superficie del lodo, aumenta la transferencia de materia. Por otro lado es importante destacar que para los casos en los que la diferencia entre la temperatura del fluido y la temperatura de la interfase es grande la transferencia de materia se hace negativa, es decir, se produce en sentido contrario a lo que se requiere en el secado, el lodo absorbe agua del ambiente. Por tanto para un buen secado se necesita que la diferencia de temperaturas entre el ambiente y la interfase sea pequeña o que la interfase se encuentre a mayor temperatura que el ambiente. Este segundo caso es el más probable, ya que al tratarse de un secadero solar la radiación hace que aumente la temperatura de la superficie del lodo. En segundo lugar, se muestran las gráficas para la temperatura de la interfase constante.

10 n A (kg/(m 2 s)) n A (kg/(m 2 s)) n A (kg/(m 2 s)) Grupo Termotecnia. Escuela Superior de Ingenieros 35 1,E-4 5,E-5,E+ -5,E-5-1,E-4 T fluido=288 K T fluido=293 K T fluido=298 K T fluido=33 K T fluido=38 K -1,5E-4 Figura 21. Transferencia de materia para temperatura de la interfase igual a 283 K.,2,15,1,5 -,5 T fluido=288 K T fluido=293 K T fluido=298 K T fluido=33 K T fluido=38 K Figura 22. Transferencia de materia para temperatura de la interfase igual a 293 K.,5,4,3,2,1 T fluido=288 K T fluido=293 K T fluido=298 K T fluido=33 K T fluido=38 K Figura 23. Transferencia de materia para temperatura de la interfase igual a 33 K.

11 n A (kg/(m 2 s)) Grupo Termotecnia. Escuela Superior de Ingenieros 36,1,8,6,4,2 T fluido=288 K T fluido=293 K T fluido=298 K T fluido=33 K T fluido=38 K Figura 24. Transferencia de materia para temperatura de la interfase igual a 313 K. En este caso se observa que la dependencia con la temperatura del fluido es menor que la dependencia de la temperatura de la interfase.