LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial

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1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función eponencial La función eponencial es de la forma f () = a, tal que a > 0, a El valor a se llama base de la función eponencial. Propiedades: El dominio es R. El recorrido es ] 0,+ ] La función es continua en R. f (0) = Si f () = f(y), entonces = y, y = '5 y es decir, si a = a, entonces = y f () f(y) = f( + y) Si a > la función es creciente Si 0 < a < la función es decreciente y = y = 0.4 Las gráficas de las funciones ordenadas OY f () = a, g() y = 0.5 son simétricas respecto del eje de a y =

2 Ejercicio : Estudia y representa la función f () = 4. Es una función eponencial de base a = 4 El dominio es R El recorrido es ] 0,+ ] Es una función creciente. La función es continua en R Construimos una tabla de valores de la función:,5,5 0,5 0 0,5,5,5 y 0,05 0,065 0,5 0,5 0, Ejercicio : Resuelve la ecuación eponencial: = 79 Intentaremos que las dos partes de la ecuación sean dos potencias de la misma base: 6 79 = 6 = Igualando los eponentes: = 6 La solución de la ecuación es = 7 Nota: para resolver ecuaciones donde no podamos obtener a las dos partes de la igualdad potencias de la misma base, se aplicarán logaritmos. Por ejemplo = Ejercicio : Resuelve la ecuación eponencial: + = 45 Para resolver este tipo de ecuaciones utilizaremos incógnitas auiliares: Efectuamos el cambio y = Entonces: ( ) = y + =, = = y La ecuación inicial se transformaría en la siguiente: y y y = 45 Resolvamos la ecuación de segundo grado: y 4 ± ± 96 4 ± 4 4y 45 = 0, y = = =, y = 9, y = 5 Deshacemos el cambio: y = = 9, entonces =, igualando eponentes, = y = = 5, la ecuación = 5 no tiene solución, la función eponencial siempre es positiva.

3 Ejercicios propuestos:. Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientes operaciones: / ' 7 = d) = / 5 b) = e) = ' c) = 5 f) = g) π = h) π = i) + =. La calculadora tiene dos funciones eponenciales 0 Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientes operaciones: ' 0 = e) 0 0 = b) ' 6 0 = f) 0 = c) 5 / 4 0 = g) ' e = d) 7 / 0 = h) ' 6 e = e / 4 i) e = j) 5 / e = k) e = l) e 5 =. Estudia y representa las siguientes funciones: f () = b) g () = c) h() d) m () = '5 e) n() f) g) h) p() q() r() 5 4. Estudia y representa las siguientes funciones: f () = 0 b) g () = e c) h() = 0 d) m() = 5 e e) f) g) h) n() p() = 0 = 5 e q () = 0' r () = La mayoría de las bacterias se reproducen por bipartición, es decir, una célula madre se divide en dos células hijas. Supongamos que un tipo de bacterias necesita hora para duplicarse. Completa la tabla siguiente. Define la función y represéntala gráficamente. (horas) Y(bacterias)

4 6. La presión atmosférica varia según la altura con la siguiente fórmula P () = 0'9, donde es la altura en kilómetros y P() la presión atmosférica en atmósferas. Representa la función. 7. Dada la función f () = Sin utilizar tablas de valores dibuja las funciones: g() = + h() = 4 m() = n() = + 8. Dada la función f() Sin utilizar tablas de valores dibuja las funciones: g() h() m() n() + 4 +

5 9. Resuelve las siguientes ecuaciones: = 7 b) 5 + = 5 c) = 04 d) + = e) = 8 f) = 9 g) = h) 7 = 49 i) 5 = 5 + j) + + = k) = l) + = 5 m) 5 = n) + 4 = 4 + o) = p) + = 0 + q) 4 = 4 + r) = 49 La función logarítmica Sea a > 0, a Definimos logaritmo base a de y lo representamos log a al valor y log a = y tal que: a y =, es decir, la operación inversa de la eponencial. Ejercicio 4: Calcula log 8, log, 8 log 8 = y, y = 8, log = y, 8 log 7 49 = y, y y =, 8 y 7 = 49, log 7 49 =, por tanto, y =. Entonces, log 8 = y 4 =, por tanto, y = 4. Entonces log = 4 8 y / 7 = 7, por tanto, y =. Entonces log 7 49 = Función logarítmica: A la función f() = loga, tal que a > 0, a Se llama función logarítmica Propiedades del logaritmos y la función logarítmica 0,+ El dominio de la función logarítmica es ] ] El recorrido de la función logarítmica es R. 0,+ La función es continua en ] ] Si loga = loga y, entonces, = y log a = 0 p loga a = p log ( y) = log log y a a + a y = log

6 loga = loga loga y y p log = p log a a logb loga = logb a La función f() = loga, y la función g () = a son inversas, por tanto son simétricas respecto de la recta y = y = y = y = log Si a > la función es creciente Si 0 < a < la función es decreciente y = log' 5 y = log0' 5 Las funciones f() = loga, g() = log/ a son simétricas respecto del eje de abscisas OX y = log y = log0' 5

7 Uso de la calculadora. La calculadora tiene dos funciones logarítmicas: log que son los logaritmos decimales o de base 0. Escribiremos log = log0 ln que son los logaritmos neperianos o de base e. Escribiremos ln = loge Calcula: log 5, ln Con calculadoras antiguas: Para calcular log 5 5 log Para calcular ln ln Con calculadoras modernas: Para calcular log 5 log 5 = Para calcular ln ln = Ejercicio 5: Con la ayuda de la calculadora efectúa las siguientes operaciones: log, log. Las calculadoras sólo tienen logaritmos decimales y neperianos. Para poder calcular logaritmos de otras bases efectuaremos el cambio de base: log 0'477 log = = = '5850 log 0'00 ln 0'69 log = = = 0'609 ln '0986 Ejercicio 6: Estudia y representa la función = log Es una función logarítmica de base. y El dominio de la función logarítmica es ] 0,+ ] El recorrido de la función logarítmica es R. La función es continua en ] 0,+ ] Es una función creciente. Con la ayuda de la calculadora construimos una tabla de valores: y Ejercicio 7: Resuelve la ecuación eponencial = 5 5 no se puede poner como potencia de base, entonces calcularemos logaritmos decimales en las dos partes de la igualdad: log = log5 Apliquemos la propiedad del logaritmo de una potencia: log = log5 Despejamos la incógnita log5 log5 =, con ayuda de la calculadora podemos aproimar el resultado: = ' 9 log log

8 Ejercicios propuestos: 0. Sin utilizar calculadora efectúa las siguientes operaciones: log 4 = g) log b) log 9 79 = = 8 c) log 000 = h) log d) log = 5 = 5 e) log 5 5 = f) log 6 = i) log = j) log 0'00 = k) log / = 4 l) log 7 = m) log 4 = 4 n) log 5 5 =. Con la ayuda de la calculadora efectúa las operaciones del ejercicio anterior:. Representa las funciones siguientes: f () = log b) g () = ln c) () = log h ' 5 d) () = log m 4 e) () = log n 0' 5 p() = log0' f). Dada la función f() = log Sin utilizar tablas de valores dibuja las funciones: () = + log g h() = + log m() = log ( + ) f() = log( 4)

9 Funciones definidas a trozos. Hemos estudiado funciones definidas por una sola epresión algebraica para todo su dominio, pero también podemos encontrar una función definida por intervalos, (también llamadas funciones definidas a trozos), por ejemplo: Ejercicio 8: Representa la función: + 4 si f () = si < si > Esta función está definida en tramos, para cada uno de estos tramos construiremos una tabla: f () = + cuando. f () = cuando <. f() = cuando > f() f() f() Para cada uno de los tramos representaremos un trozo de gráfica: Nota: si el intervalo es abierto en un etremo es simboliza pintando un punto en blanco (o), Si el intervalo es cerrado en un etremo se simboliza pintando un punto en negro ( ) La gráfica de la función es:

10 Ejercicios propuestos 4. Representa las siguientes funciones. f () + = si si > d) k () + 6 = si < si b) g () + = + 6 si si > e) + () = m si 0 si > 0 c) h () + = si si > f) 4 () = n < 5. Representa las siguientes funciones: + p() = + + si si < < si b) c) + q() = r() = si < si si > si 4 si 4 < si < < si 6. Estudia gráficamente las siguientes funciones: Define las funciones siguientes a trozos. a () = b) b () = + c) c() = d) d () = + 4 e) e() = 9 f) f() = 4