Examen de Estadística

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Examen de Estadística"

Esteban López Carrasco
hace 6 años
Vistas:

1 Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 4 de Junio de 03 Cuestiones solucion h 30m C. (p) Un sistema de comunicación está compuesto por los componentes A, B, C, D y E, donde cada uno de los componentes funcionan de manera independiente. La Figura representa el sistema: A B C entrada salida D E Figura : Esquema de conexiones del sistema. Sabiendo que las probabilidades de funcionamiento de cada uno de los componentes del sistema son P (A) = P (B) = P (D) = P (E) = 0.8 y P (C) = 0.9; se pide: a) Calcular la probabilidad de fallo del sistema. b) Si el sistema se encuentra funcionando, cuál es la probabilidad de que el componente C se encuentre en funcionamiento? Solución: a) Sea F el evento que denota que el sistema se encuentra funcionando, debemos calcular: P (F c ) = P (F ). Por lo tanto: P (F ) = P ((A B) (A C) (D E)).

2 Llamando: AB = A B, AC = A C y DE = D E, resulta que P (F ) = P (AB AC DE) = P (AB) + P (AC) + P (DE) P (AB AC) P (AB DE) P (AC DE) + P (AB AC DE) = P (A)P (B) + P (A)P (C) + P (D)P (E) P (A)P (B)P (C) P (A)P (B)P (D)P (E) P (A)P (C)P (D)P (E) + P (A)P (B)P (C)P (D)P (E) = [ (0.8) + (0.8)(0.9) + (0.8) (0.8) (0.9) (0.8) 4 (0.8) 3 (0.9) + (0.8) 4 (0.9) ] = 0.94 () Por lo tanto, P (F c ) = P (F ) = 0.94 = b) Por el teorema de Bayes tenemos: P (C F ) = P (F C)P (C) P (F ) Dado que: P (F C) = P (A (D E)) = P (A)+P (D E) P (A D E) = = 0.98, reemplazando se tiene, P (C F ) = P (A (D E))P (C) P (F ) = (0.98)(0.9) (0.94) = C. (.5p) Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: y se sabe que P (X < 4) = 0.65 y P (X > ) = 0.6. a) Calcula E(X) y V ar(x). x i P (X = x i ) 0.5 a b c 0. b) Escribe y dibuja la función de distribución de X. c) Completa el siguiente código en MATLAB para aproximar P (X 3). u=rand(000,); x=*(0<u & u<=0.5)+ *(0.5<u & u<=0.40)+3*(0.40<u & u<= ) +4*(0.65<u & u<=0.9)+5*(0.9<u & u<=); w=( ); p=sum(w)/000; Solución: a) En primer lugar se calculan los valores de a, b y c. Resolviendo el siguiente sistema: a + b = 0.65 b + c + 0. = a + b + c + 0. =

3 se obtiene que a = b = c = 0.5, entonces E(X) = (0.5) + (0.5) + 3(0.5) + 4(.5) + 5(0.) =.9 Para calcular la varianza, primero hacemos: E(X ) = (0.5) + (0.5) + 3 (0.5) + 4 (.5) + 5 (0.) = 9.90 y luego V ar(x) = E(X ) (E(X)) = =.49. b) F (x) = 0 si x < 0.5 si x < 0.4 si x < si 3 x < si 4 x < 5, si x 5. Figura : Función de Distribución. c) Completa el siguiente código en MATLAB para aproximar P (X 3). u=rand(000,); x=*(0<u & u<=0.5)+ *(0.5<u & u<=0.40)+3*(0.40<u & u<=0.65) 3

4 +4*(0.65<u & u<=0.9)+5*(0.9<u & u<=); w=(x<=3); p=sum(w)/000; C3. (.5p) En un proceso de fabricación industrial, los tipos de fallos que se pueden producir se clasifican en 3 tipos: - fallos ocasionados por desajustes producidos en la maquinaria utilizada (D). - fallos producidos por la presencia de impurezas en las materias primas empleadas (I). - fallos debidos a otras causas (O). Si dichos fallos aparecen según procesos de Poisson independientes entre sí con parámetros λ D = 0.5 fallos por semana, λ I = 0.50 fallos por semana, y λ O = 0.5 fallos por semana, respectivamente, se pide: a) La probabilidad de que en una determinada semana no se haya producido ningún fallo por desajustes producidos en la maquinaria. b) La probabilidad de que en una determinada semana se haya producido al menos un fallo (sea del tipo que sea). c) La probabilidad de que el tiempo entre dos fallos consecutivos (sean del tipo que sean) supere las 4 semanas. Solución: Sean X D, X I y X O v.a. independientes entre sí tales que X D P oisson(0.5), X I P oisson(0.50), y X O P oisson(0.5). a) Pr(X D = 0) = e λ D λ 0 D 0! = e 0.5 = b) Sea X T = X D + X I + X O, por la reproductividad de la Poisson, sabemos que X T P oisson(λ T = = 0.875). Por lo tanto, Pr(X T ) = Pr(X T = 0) = e λ T λ 0 T 0! = e = c) Pr(T > 4) = F T (4) = ( e ) = e 3.5 = 0.030, siendo T Exponencial(λ T = 0.875). 4

5 Problemas Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 4 de Junio de 03 solucion h P. (.5p) Se escoge de forma aleatoria un punto en el intervalo (0, 0.5) según un modelo U(0, 0.5) y otro punto, independientemente, también de forma aleatoria en el intervalo (0, 0.5) según un modelo U(0, 0.5). Si X denota la v.a. que marca la posición del primer número y X la v.a. que marca la posición del segundo número, se pide: a) Escribe la densidad conjunta del vector (X, X ), f (X,X )(x, x ) y la región donde está definida. b) Determina la función de densidad de Y = X X. c) Demuestra que la media (esperanza) de X d) Calcula P ( X < X Solución: a) Por la independencia entre X y X : ). X es infinita. f (X,X )(x, x ) = f X (x ) f X (x ) = = 4 para los (x, x ) (0, 0.5) (0, 0.5), es decir, 0 < x < 0.5 y 0 < x < 0.5. b) Las tranformaciones x /x y x son inyectivas y derivables, con lo cual se verifica que: f (Y,Y )(y, y ) = f (X,X )(x (y, y ), x (y, y )) J donde J es el Jacobiano. Las transformaciones inversas son: x = y y x = y El Jacobiano es: con lo cual J = y y 0 = y f (Y,Y )(y, y ) = 4 y = 4y para 0 < y < 0.5 e 0 < y y < 0.5 (véase la Figura 3) y 0 en caso contrario. La densidad (marginal) de Y = X /X es: f Y (y ) = }{{} f(y,y)dy = { 0.5 4y 0 dy = = y 0.5 = 0.5 para 0 < y 0 < /y 4y 0 dy = y /y = para < y 0 y < { 0.5 para 0 < y < para < y < y 5

6 3 Y=/(y) Figura 3: Soporte de (Y, Y ) c) La esperanza de Y es: E[Y ] = 0 y dy + = 4 + [ln(y )] = y y dy d) La probabilidad es 0.5: Y P ( X /X < 0.5) = 0.5 f Y (y )dy = dy = 0.5 () P. (.5p) En un sistema de comunicación se utiliza la siguiente señal aleatoria Y (t) = A sin(ωt+φ), donde A es una variable aleatoria que sigue un modelo Bernoulli con parámetro p > 0, φ es otra variable aleatoria, independiente de A, que sigue un modelo uniforme en el intervalo ( π, π) y ω es una constante conocida. Relaciones útiles: cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) a) Calcula la media (estadística) del proceso Y (t). b) Calcula la función de auto-correlación (estadística) del proceso Y (t). c) Es el proceso Y (t) débilmente estacionario? 6

7 d) Comprueba si el proceso Y (t) es ergódico en media y en auto-correlación. Solución: a) La media (estadística) del proceso Y (t) es: E[Y (t)] = E[A sin(ωt + φ)] b) La auto-correlación (estadística) del proceso Y (t) es: = indep. E[A] E[sin(ωt + φ)] π = p sin(ωt + φ) π dφ π = p π ( cos(ωt + φ)) π π = p π 0 = 0 R Y (t, t + τ) = E[Y (t)y (t + τ)] = E[A sin(ωt + φ)a sin(ω(t + τ) + φ)] p E[A ] E[sin(ωt + φ) sin(ω(t + τ) + φ)] = indep. formulas con b = ωt + φ, a = (ω(t + τ) + φ) = p a b a+b E cos( ωτ ) cos( ω(t + τ) + φ) = = = { p π cos(ωτ) π { p cos(ωτ) p cos(ωτ) cos(ω(t + τ) + φ) } π dφ ) } π ( ( sin(ω(t + τ) + φ) 4π c) Como la media es una constante que no depende de t y la autocorrelación sólo depende de τ, se concluye que el proceso es débilmente estacionario. d) Media temporal: π Entonces, el proceso es ergódico en media. µ T T M Y = lím Y (t)dt T T T µ T = A sin(ωt + φ)dt T ( = A ) T cos(ωt + φ) T w M Y = lím T µ T = 0 = E[Y (t)] 7

8 Autocorrelación temporal: T A Y = lím Y (t)y (t + τ)dt T T = T = A T = A 4T T T { A Y = A cos(ωτ) = A cos(ωτ) A sin(ωt + φ)a sin(ω(t + τ) + φ)dt {cos(ωτ) cos(ω(t + τ) + φ)} dt cos(ωτ)t ] } T sin(ω(t + τ) + φ) ω A ( ) sin(ω(t + τ) + φ) sin(ω( + τ) + φ) lím T 4T ω ω R Y (t, t + τ). Entonces, el proceso no es ergódico en autocorrelación. 0 8

Documentos relacionados

Ejercicios de Procesos Estocásticos

Ejercicios de Procesos Estocásticos Bernardo D Auria Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid GRUPO MAGISTRAL GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS AUDIOVISUALES Otros Ejemplo Considerar