Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales:

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Rosa Sandoval Redondo
hace 6 años
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MAT 1105 F PRACTICA Nº 2 FECHAS DE ENTREGA: Tercer parcial Martes 14 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 5 (Geología) Viernes 17 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 31 1.

1 MAT 1105 F PRACTICA Nº 2 FECHAS DE ENTREGA: Tercer parcial Martes 14 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 5 (Geología) Viernes 17 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el método de punto fijo multivariable: SOLUCIÓN Resolviendo por el método de punto fijo multivariable, con sustituciones simultaneas, primero se despejaran de las ecuaciones las variables de la siguiente forma: Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales: Luego de probar algunos valores se tomarán como valores iniciales: Además de darnos como tolerancia un error de Pagina 1

2 1ra. Iteración 3 Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método: Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá rápidamente a una respuesta, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. 2da. Iteración Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método: Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. 3ra. Iteración Pagina 2

3 Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método: Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i error , , , , , , , , , , , , , , , , , , RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente: 2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: a) El método de Newton - Raphson multivariable Solución - En primer lugar se debe despejar e igualar cada función a cero: - Resolviendo por el método de Newton-Raphson multivariable, con las siguientes formulas: Pagina 3

4 - Los valores del vector [hx i, hy i, hz i], se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones: Donde: La matriz [J] de derivadas parciales, o matriz Jacobiana es: El vector [-f ] es el valor negativo de cada ecuación del sistema: - Considerando las características de las funciones, se tomarán los siguientes valores iniciales: 1ra Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: - Evaluando los valores en el vector de funciones: - Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación: Pagina 4

5 - Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: - Por otra parte para verificar el error se puede calcular la distancia entre los valores de la primera iteración y lo valores iniciales con la siguiente formula: Si tomamos una tolerancia de 10-5, se continúa el algoritmo con una siguiente iteración. 2da Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: - Evaluando los valores en el vector de funciones: Pagina 5

6 - Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación: - Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: 3ra Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: - Evaluando los valores en el vector de funciones: - Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación: Pagina 6

7 - Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i error 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente: Pagina 7

8 3. Dada la siguiente tabla de datos: Puntos a) Primero construir la tabla de diferencias divididas, para aproximar la función en los siguientes puntos: Solución 1ra. diferencia dividida. 2da. diferencia dividida 3ra. diferencia dividida 4ta. diferencia dividida Estos resultados se muestran en la siguiente tabla: Pagina 8

9 Pagina 9 i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia 3ra. diferencia 4ta. diferencia Pagina 9

10 b) Para, con un polinomio de 2do. grado. Solución Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de segundo grado solo se necesitan 3 puntos, se utilizarán los puntos más cercanos al punto buscado : i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia x La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: Evaluando en el punto requerido, : Respuesta Pagina 10

11 c) Para, con un polinomio de 3er. grado. Solución Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de tercer grado se necesitan 4 puntos: i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia 3ra. diferencia x La ecuación de interpolación por diferencias divididas de tercer orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: Evaluando en el punto requerido, : Pagina 11

12 Respuesta d) Para, con un polinomio de 2do. grado. Solución Ubicando el punto en la tabla de datos se puede notar que se encuentra fuera del rango de datos, pero de todas formas se puede interpolar este valor, utilizando los 3 datos más cercanos a este punto. x2 i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde el primer punto de los datos que se usarán es Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: Evaluando en el punto requerido, : Respuesta Pagina 12

13 4. Con los siguientes valores: Puntos Obtener el valor de la función para utilizando los siguientes métodos:, con un polinomio de 2do. grado, a) Por interpolación polinominal simple. Solución Con un polinomio de segundo grado, solo se utilizarán los 3 pares de puntos que estén más cerca del punto buscado ( ), en la tabla, por lo que tendríamos una nueva tabla con los datos: 90 Puntos Para interpolar polinomios con este método se tiene que reemplazar cada par de datos en la ecuación característica de segundo grado: Reemplazando los datos: Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Pagina 13

14 Que resolviendo por alguno de los métodos conocidos: Con lo que el polinomio de interpolación resulta ser un polinomio de 1er. grado: Para verificar este resultado se puede graficar los puntos: 3, ,5 2,59 2 2,18 1,5 1, Reemplazando el valor requerido: Respuesta b) Por polinomios de Lagrange. Solución Interpolando por el método de Lagrange se utiliza la siguiente formula: Pagina 14

15 Donde: En este caso con un polinomio de segundo grado y con los puntos utilizados, la formula sería: Puntos Reemplazando los valores de la tabla: Finalmente evaluando el polinomio en el punto: Respuesta c) Por diferencias finitas. Solución Resolviendo por el método de interpolación de Newton con diferencias finitas, se necesita verificar que la distancia entre los puntos sea la misma: Pagina 15

16 Puntos La fórmula de este método es la siguiente: Para un polinomio de segundo grado, considerando que el primer punto no es, por lo que la formula queda: sino es Donde: Reemplazando con los datos: Puntos Luego el polinomio sería: Pagina 16

17 Finalmente evaluando el polinomio en el punto: Respuesta Comparando los resultados de los incisos, se puede ver que interpolando con cualquier método se obtiene el mismo polinomio, y por supuesto el mismo resultado. 5. Con los siguientes datos: Puntos Calcular los coeficientes de la ecuación: Resolviendo con el método de mínimos cuadrados, linealizando la ecuación. Solución Como se puede ver la ecuación mostrada no es lineal, sino exponencial, por lo que se deberá hacer un cambio de variable para linealizar la ecuación, de la siguiente manera: - Primero aplicando logaritmos a ambos lados de la función: Por propiedades de logaritmos: Pagina 17

18 - Luego realizando el siguiente cambio de variables: Con lo que se tiene una ecuación lineal: - De la misma forma se tiene que realizar las operaciones en cada valor de la tabla: Puntos , , , , , , , , , , , , , , Finalmente resolviendo por el método de mínimos cuadrados, debe calcular la siguiente tabla: Puntos 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Pagina 18

19 Luego para calcular los coeficientes ecuaciones: se tiene que resolver el siguiente sistema de = Reemplazando los valores de las sumatorias, donde es el número de puntos. Resolviendo el sistema: Con lo la ecuación queda: Finalmente se reemplazando a las variables originales: Con lo que la ecuación queda: Para verificar los resultados se debe graficar la ecuación obtenida: Pagina 19

yi 1,00 0,90 0,80 0,70 Curva regresionada 0,60

290 310 330 350 370 390 410 xi Respuesta Luego de

tiene como resultado: Nota: Obviamente no puedes

20 yi 1,00 0,90 0,80 0,70 Curva regresionada 0,60 Datos Originales 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, xi Respuesta Luego de verificar los coeficientes en la gráfica, se tiene como resultado: Nota: Obviamente no puedes imprimir este documento y entregarlo como practica. Pagina 20

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