Juan José Hernández Ocaña

Transcripción

1 Juan José Hernández Ocaña

2 L A e s t a d í s t i c a i n fe r e n c i a l n o s permite estimar los p a r á me t r o s de l a p o b l a c ió n a partir d e l a n á l i s i s d e datos de u n a mu e s t r a. S i a s u m i mos que n o c o n o c e m o s e l verdade r o va l o r de lo s p a r á me t r o s de l a p o b l a c ió n e s t a r ía mo s c o n s i d e r a n d o q u e n o p o d e mo s d e s c r i b i r u n fenóme n o e n p a r t i c u l a r me d i a n t e u n m o d e lo p r o b a b i l í s t i c o. N o o b s t a n t e, p o d e mos o b t e n e r i n fo r m a c i ó n a c e r c a de lo s p a r á me t r o s de u n a p o b l a c i ó n d e a c u e r d o a u n mode l o de p r o b a b i l i d a d me d i a n t e l a o b s e r vació n r e p e t i d a de l a v a r i a b l e d e r e s p u e s t a a t r a vés de u n a mues t r a a le at o r i a s im p le d e t a m a ñ o n d e l a població n. Pa r a e l l o pode mos e mp l e a r d o s méto d o s : L a E s t i m a c ió n o el con t r a s t e o p r u e b a d e h i p ó t e s i s. ESTIMACIÓN CONTRASTE DE HIPÓTESIS INFERENCIA ESTADÍSTICA

3 E s t i m a c ión Entenderemos por estimación de un parámetro al cálculo del valor de éste a través de una muestra y en este caso tenemos dos opciones para su estimación 1.- Llamaremos estimación puntual cuando empleamos directamente los valores de un solo estadístico sobre una muestra dada estimaciones puntuales. 2.-Estimación por intervalo de confianza.- Se calcula un intervalo de confianza en el que razonablemente se encuentra el valor estimado con un nivel de confianza prefijado en términos de probabilidad Qué es Estimación puntual? U n estimado r puntual es un estadís t i c o aplic a d o a la d e t e r m i n a c i ó n de lo s c a r a c t e r e s p o b l a c i o n a l e s que se p r e t e n d e i n fe r i r Es un valor individual que se usa para estimar el valor de un parámetro de población Entre los estimadores puntuales más comunes tenemos: La proporción muestral del número de éxitos (distribución binomial) La media muestral para la distribución de Po isson y distribución Normal.

4 Estimadores sin sesgo Estimadores con sesgo Aquellos cuyos resultados que consideran a todas las muestras posibles coinciden con los parámetros poblacionales Media Mediana Proporción Rango Varianza Desviación estándar (siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande el sesgo es pequeño ) La estimación tiene el objetivo de obtener estadísticas que nos permitan conocer las características más relevantes de una población, utilizando la información de una muestra. La principal desventaja es que su resultado varía de una muestra a otra Cuáles son las propiedades que debe tener un estimador para tener confianza en su estimación? Insesgadez o Si el valor esperado del estadístico de muestra es igual al parámetro poblacional que se estima, se dice que es un estimador insesgado del parámetro poblacional Eficiencia o Se dice que un estimador puntual con menor desviación estándar tiene una mayor eficiencia relativa que otro Consistencia Un estimador es consistente si sus valores tienden a acercarse al parámetro de la población conforme se incrementa el tamaño de la muestra

5 Por ejemplo si ahora mismo quisiéramos conocer la edad promedio de las estudiantes mujeres en un salón de clases, una estimación puntual sería obtener el promedio de una muestra y quizás nos den los siguientes resultados en el caso de una muestra de tamaño 10 muestra 1 muestra 2 muestra 3 muestra todas media media media Media Como podemos ver el resultado varía de acuerdo a la muestra empleado y todas varían respecto al verdadero valor de la población y esta variación depende de manera directa del tamaño de la muestra y de la propia distribución de los datos de la población

6 Como ejercicio tomen 5 muestras de tamaño 5 de la columna de todas y vean que cada una de las medias les dará diferente. Todas varían entre sí y todas varían respecto al valor de la media, es la variación natural de los datos, esto es, la propia variabilidad de este grupo de datos. Podemos estimar el valor de una media de la población que no conocemos a partir de una media muestral? Cómo hacerlo si hay una variación? Qué se requiere para asegurar la confiabilidad de la estimación? Para ello es importante ahora conocer el concepto de margen de error. Margen de error Cuando reunimos un conjunto de datos muestrales, podemos calcular la media de la muestra y por lo general esa media de la muestra es diferente a la media poblacional La diferencia entre la media de la muestra y la media poblacional es un error (E) que podemos calcular en términos de probabilidad En otras palabras podríamos calcular el valo r de un parámetro considerando un margen de error y ese error dependería de las características de la muestra empleada E n t o n c e s l l a m a r e mos al Error de mue s t r e o a l v a l o r a b s o l u t o d e l a difer e n c i a entre un estimador puntual i n s e s g a d o y e l p a r á me t r o d e l a p o b l a c i ó n y ese va l o r l o p o d r í a mos c a l c u l a r s i c o n o c e mos e l v a l o r d e l a media de l a p o b l a c i ó n como lo fue e n e l e j e r c i c i o que h i c i m o s P e r o e n muc h a s oca s i o n e s no con o c e mo s e l v a l o r de la m e d i a d e l a población y po r e l l o no es posible determinar el valor del error muestral pero si podemos hacer estimaciones sobre su valor empleando la media de la muestra.

7 Qué tendríamos que hacer para hacer una estimación con un margen de error pequeño? Si se puede: Podemos emplear la estimación con un intervalo de confianza Qué es in intervalo de confianza? E s u n i n t e r va l o de va l o r e s que se u s a n para estimar e l v a l o r r e a l d e u n p a r á me t r o d e l a po b l a c i ó n Es un rango de números, llamado intervalo, construido alrededor de la estimación puntual L o s i n t e r v a lo s d e c o n f i a n z a n o s permiten realizar una e s t i m a c i ó n d e lo s v a l o r e s de l a p o b l a c i ó n e m p le a n d o datos m u e s t r a l e s 1. Consisten emplear un rango de valores asoci ado a un nivel de confianza con lo que podemos determinar valores en términos de probabilidad 2. El ancho del intervalo depende de tres factores a. Nivel de confianza que se determine b. tamaño de la muestra c. desviación estándar de los datos

8 Cómo se representa? (1- α) es el nivel de confianza Nos indica en términos de probabilidad que porcentaje de la población se encuentra en un intervalo específico. El nivel de confianza es la probabilidad de encontrar el parámetro de la población en un intervalo de confianza determinado, siempre y cuando el proceso de estimación se repita un gran número de veces Nos sirve para estimar el valor de una media poblacional, que no conocemos, a partir de los valores de la media de una muestra y en términos de probabilidad. No sabemos cuál es el valor de la media poblacional, pero si podemos predecir su valor dentro de un intervalo con un nivel de confianza específico.

9 Cómo lo calculamos? A µ B Habría que calcular el intervalo entre los puntos A y B y dentro de cuales se encuentra el valor de la media poblacional µ Si tenemos un nivel de confianza del 95%, tendríamos que el valor de z en el punto A sería y en el punto B sería 1.96 (este cálculo se vio en el tema de curva normal). Si aplicamos la ecuación de la distribución muestral y despejamos µ Donde x es la media de la muestra µ es la media de la población es la deviación estándar de la población n es el tamaño de la muestra

10 Para el valor en el punto A Para el punto B Añadamos un concepto adicional Cuando hacemos una medición en cualquier variable tenemos siempre un error que le llamaremos error de medición y que se debe a la precisión del instrumento con el que se haga la medición. Por ejemplo al medir la estatura podemos emplear un metro y calcular el valor para un persona de 1,75, pero si volvemos a medir, quizás se obtenga y si lo hacemos nuevamente, podría obtener Toda esta variación puede adjudicarse a la precisión de nuestro instrumento y a la capacidad de quien realiza la medición. Por ello podríamos decir que cuando estimamos el valor de la media poblacional a partir de la media de la muestra podemos tener un error de medición o margen de error

11 Donde E sería el valor del error y si este lo medimos en términos de probabilidad Por lo que podemos decir que el error lo podemos calcular: Así que podemos estimar el valor de un intervalo en donde se encuentra la media poblacional, si calculamos el valor del error y lo sumamos y restamos al valor de la media Cuántos casos tenemos para calcular el valor de un intervalo de una sola muestra? Son tres y son los siguientes 1. Para estimar la media poblacional µ de una variable cuantitativa emplear el estadístico z si a. La muestra es aleatoria simple b. Se conoce el valor de la desviación estándar de la población c. Los datos se distribuyen normalmente

12 2. Para estimar la media poblacional µ de una variable cuantitativa emplear el estadístico t a. La muestra es aleatoria simple b. No se conoce el valor de la desviación estándar de la población y se estima a partir del valor de la desviación estándar de la muestra c. Los datos se distribuyen normalmente 3. Para estimar la proporción de la población hay que emplear el estadístico z a. La muestra es aleatoria simple b. Se conoce el valor de la proporción de la población c. Los datos se distribuyen normalmente Hagamos un ejemplo para el caso 1 U n a e n c u e s t a d e s a t i s f a c c i ó n d e l s e r v i c i o al clie n t e e n c o n t r ó en una mue s t r a d e 100 clie n t e s u n p r o me d i o d e 82 puntos. Co n s i d e r e que se les pidió q u e c a l i f i c a r a n e l s e r v i c i o con u n a p u n t u a c i ó n d e s d e 0 a 100 punto s. S i m u e s t r a s anterio r e s n o s i n d i c a n q u e l a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e l a po b l a c i ó n e s d e 20 p u n t o s. Estime el intervalo de confianza para un 95% de confianza y considere que los datos se distribuyen normalmente. Tenemos los siguientes datos Media de la muestra 82; tamaño de la muestra 100, desviación estándar de la población 20 y nivel de confianza es 95% (z =1.96), por lo que el cálculo del error quedaría:

13 Ahora lo restamos y sumamos a la media para conocer el intervalo Por lo que podemos decir que la media de la población se encuentra entre y con un nivel de confianza del 95% Y lo representamos así (78.08, 85.92) Ejemplo caso 2 (Uso de estadístico t) U n a c o m p a ñ í a farmac é u t i c a está probando u n a n u e va d r o g a p a r a a l i v i a r e l d o l o r, pero e x i s t e p r e o c u p a c i ó n en s a b e r s i e s t e p r o d u c t o aumenta e l r i t m o c a r d í a c o. La s 14 pers o n a s evaluadas t u v i e r o n e n p r o m e d i o u n va l o r de 5 5 e n l a escala e m p le a d a a n t e s de to ma r el medicame n t o. L o s datos se p r e s e n t a n en la siguie n t e t a b l a y con s i d e r e que se d i s t r i b u ye n no r ma l m e n t e C o n s t r u ya u n i n t e r v a l o de confianza d e 9 5 % C u á l e s serían sus conclus i o n e s

14 Recordemos que estamos ahora con una distribución t y en la cual tenemos que considerar que el valor crítico de t depende del tamaño de la muestra y que su cálculo involucra el uso del concepto de grados de libertad ya revisado. Por lo que los datos nos quedan así : Media de la muestra 67; desviación estándar de la muestra 14.53; tamaño de la muestra 14; grados de libertad 13 (n-1) y por ello el valor critico de t para dos colas es de 2.16 Podemos afirmar que la media de la población se puede estimar dentro de un intervalo que va desde y con un 95% de confianza.

15 Caso tres, estimación de la proporción de una población Empleamos la siguiente fórmula Donde Po es la proporción de la población. p es la condición de éxito de la muestra y 1- p ( q) es la condición de fracaso de la muestra Recordemos que empleamos la distribución normal como aproximación de la distribución binomial. Y en este sentido se sigue el modelo de Bernulli donde solo hay dos posibles resultados (llamados éxito y fracaso) y donde la suma de p + q = 1 Por lo que q = 1 p Por lo que podemos sustituir en la fórmula original a 1- p como q

16 Veamos un ejemplo U n a e m p r e s a t e l e f ó n i c a de s e a estima r l a pro p o r c ió n d e h o g a r e s q u e contrataría una línea te le fó n i c a a d i c i o n a l. Se s e le c c io n ó a una muestra de 500 h o g a r e s. Los resultados indican que 135 de l o s h o g a r e s contrataría una línea adicio n a l. C o n s t r u ya u n a estimac i ó n d e l i n t e r v a l o de c o n f i a n z a d e l 9 9% d e l a p r o p o r c i ó n p o b l a c i o n a l d e h o g a r e s que contratarían una línea adic i o n a l. Entonces nuestros datos son: 135 es éxito (contratan una línea) mientras que 365 es el fracaso (no contratan una línea) z = 2.58 para un nivel de confianza de 99% Así la proporción de la muestra queda como

17 Por lo que podemos decir que la proporción de la población se encuentra dentro del intervalo que comprende el valor de y con un nivel de confianza del 99%. Bibliografía Anderson: Estadística para negocios. Cengage 2011 México 11va edición Triola, Mario : Estadística. Pearson, México novena edición.

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