UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 2017

Transcripción

1 UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 017 Práctica 1- Números Reales Entre los conjuntos numéricos más conocidos con los que trabajaremos en esta práctica se encuentran los Naturales (N), los Enteros (Z), los Racionales (Q) y los Reales (R). - Los Números Naturales son aquellos que se usan para contar (1; ; 3; ). - Los Números Enteros contienen a los Naturales, los opuestos de los Naturales y al cero ( ;-3;-;-1; 0; 1; ; 3; ). - Los Números Racionales son todos aquellos que pueden expresarse como un cociente de Números Enteros ( a, con a, b Z y b 0). b - Los Números Reales son todos los valores que pueden ser alguna medida (por ejemplo, la medida de un segmento). Este conjunto contiene a los Racionales, pero hay muchos otros, entre los más conocidos está (que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno), π (que es la mitad de la longitud de una circunferencia de radio uno). Desde el punto de vista de la representación, los Números Reales son todos los números decimales (con una cantidad finita o infinita de decimales, incluyendo entre estos a los enteros). Observar que N Z Q R. Definición: Una Ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. Definición: Llamamos conjunto solución o simplemente solución de una ecuación al conjunto de todos los valores que al ser reemplazados en la incógnita hacen que la igualdad se satisfaga. Observación: resolver una ecuación quiere decir hallar el conjunto solución. Definición: Llamamos dominio natural de una ecuación al subconjunto de los Números Reales más grande" que podrían ser solución de la ecuación, es decir aquellos para los cuales es posible evaluar la expresión de la ecuación para obtener un valor de verdad (V o F). En los casos en los que se proponga una ecuación y no se aclare cuál es su dominio, entenderemos que el mismo es el dominio natural. Algunos resultados útiles para resolver ecuaciones a, b, c R, a b a + c b + c a, b, c R, c 0, a b ac bc a, b R, ab 0 a 0 ó b 0 a, b, c R, c a + b ca + cb a, b R, a + b a + ab + b a, b R, a b a + b (a b) a, b, c R, a 0, ax + bx + c 0 x 1, b± b 4ac a Práctica 1 1 de

2 UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 017 Ejercicios: Ejercicio 1: Decidir si los valores indicados de x pertenecen a la solución de la ecuación en cada caso. a) x 1, x b) x 1 3, 3x c) x 1, 3x + 7 d) x 1, x + 3 x 1 0 e) x, 3x 7 f) x, x g) x 3, h) x 3, x x 3 Ejercicio : Hallar el domino natural y resolver cada una de las siguientes ecuaciones. a) x + 13 b) 3x + c) x 4 d) x + 1 x + 1 e) 1 + x x 3 f) x x g) x 3 0 h) x x i) j) x + 1 x+1 Algunas ecuaciones resueltas k) l) x 3 x+4 x x+3 3 m) x + x n) x x + 1 x 7 0 o) x 3 x + 9x 0 p) x 3x x + 3x + q) r) s) 1x 4 4x 1 x+1 x 0 x 1 3x x+3 Consigna: Hallar el domino natural y resolver cada una de las siguientes ecuaciones 1) x x 3 0 Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real Dom E R Para resolver utilizamos el siguiente resultado: a, b, c R, a 0, ax + bx + c 0 x 1, b± b 4ac a Donde a 1, b, c 3 (Fórmula resolvente) x x 3 0 x 1, ± ± ± 1 ± 4 x y x 4 1 Práctica 1 de

3 UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 017 Luego, el conjunto solución es: Sol 1, 3 ) x 1 x + x Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real Dom E R Para resolver utilizamos a, b R, ab 0 a 0 ó b 0 Entonces, x 1 0 ó x + 0 ó x Resolviendo cada ecuación queda x 1 ó x ó x 3 Luego, el conjunto solución es: Sol 3,, 1 3) x 3 x x + 10x Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real Dom E R En primer lugar juntamos todos los términos de un lado de la igualdad: x 3 x x 10x 0 x 3 3x 10x 0 Ahora sacamos x de factor común para lograr un producto igualado a cero y usar la propiedad a, b R, ab 0 a 0 ó b 0 x(x 3x 10) 0 x 0 ó x 3x 10 0 Como en x 0 no hay que resolver nada (pues ya tenemos una solución) sólo resta resolver x 3x 10 0 utilizando nuevamente la fórmula resolvente Donde a 1, b 3, c 10 x 3x 10 0 x 1, 3 ± ± ± 49 3 ± 7 x y x Luego, el conjunto solución es: Sol, 0, 4) x+1 3x x En este caso la expresión se puede evaluar en cualquier número real menos en x 0 pues sino estaríamos dividiendo por cero, por esto es que Dom E R 0 Para resolver multiplicamos por 3x Práctica 1 3 de

4 UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 017 x + 1 x 3x x + 1 3x 3x + x Utilizando nuevamente la fórmula resolvente donde a 3, b 1, c 1 3x + x x 1, 1 ± 1 4 ( 3) 1 ( 3) 1 ± ± 13 x y x 1 13 Luego, el conjunto solución es: Sol 1+ 13, 1 13 El orden de los números reales En el conjunto de los números reales existe una relación de orden <. Gráficamente diremos que a es menor que b si la representación de a está a la izquierda de la representación de b. En símbolos a < b se lee a es menor que b. Aquí tenemos que a < b o dicho de otra forma b > a b es mayor que a. a b Propiedades: a, b R se cumple sólo una de las posibilidades a < b, a b ó a > b a, b, c R, si a < b y b < c a < c a, b, c R, si a < b a + c < b + c a, b, c R, si a < b y c > 0 ac < bc a, b, c R, si a < b y c < 0 ac > bc Notación: a b significa: a es menor que b o bien a es igual a b Definición: Una Inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas. Observación: Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la satisfacen, es decir es encontrar el conjunto solución al igual que en las ecuaciones. Intervalos Si a, b R denominamos: Intervalo abierto con extremos a y b al conjunto a, b x R: a < x < b Intervalo cerrado con extremos a y b al conjunto a, b x R: a x b Intervalo semiabierto o semicerrado con extremos a y b a los conjuntos (a, b] x R: a < x b, [a, b) x R: a x < b Intervalo abierto infinito con extremo izquierdo a al conjunto a, + x R: a < x Intervalo abierto infinito con extremo derecho b al conjunto, b x R: x < b Práctica 1 4 de

5 UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I 1er cuatrimestre 017 Intervalo cerrado infinito con extremo izquierdo a al conjunto [a, + ) x R: a x Intervalo cerrado infinito con extremo derecho b al conjunto, b x R: x b Ejercicio 3: Resolver cada inecuación y representar en una recta numérica el conjunto solución. a) 4x b) 9x 3 x 7 c) x + 9 > d) 3x < x 3 e) 7 x > x 4 f) 8 3 x x g) 7x 0 h) i) 1 3 x + < 1 x x 1 + x j) 4 3x > (1 + 8x) k) 3x 4 4x Módulo: Desde el punto de vista geométrico llamaremos módulo o valor absoluto de un número real x a la distancia que hay entre x y 0. Definición: Para todo x R, llamaremos módulo o valor absoluto de x a: x x si x 0 x si x < 0 Ejemplos:, 3 3,, 0 0, Propiedades: para todo a, b R se cumple: a 0 a a a b a b a + b a + b Ejercicio 4: Resolver las siguientes ecuaciones a) x b) x + 3 c) x d) 4x e) 3x f) x 4 g) x + 1 Práctica 1 de