MÓDULO 6: REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Transcripción

1 MÓDULO 6: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Física Plano cartesiano. Pares ordenados. Variable dependiente e independiente. Tablas de valores. Gráficas. Sentido físico. Gráficas por tramos. Cambios de variable. Función cuadrática. UTN Facultad Regional Trenque Lauquen 28/01/2015

2 MÓDULO 6: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Física El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis ( ), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, ( ); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. 1

3 Generalmente los modelos físicos se representan con ecuaciones matemáticas, se genera una tabla de valores de los conjuntos X y Y, y un gráfico que las representa. FUNCIONES LINEALES Las funciones lineales responden a la ecuación representan mediante rectas., y se En la ecuación, el parámetro m se llama pendiente de la recta, y tiene que ver con su inclinación respecto al eje X. El parámetro n se llama ordenada en el origen, es decir, la recta siempre pasa por el punto de coordenadas ( ). 2

4 Para conocer la ecuación ( parámetros m y n. ) de una recta, basta con conocer los La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad. Para hallar la pendiente de una recta mediante su representación gráfica, se señalan dos de sus puntos y se mide la variación de la x y la variación de la y al pasar de un punto al otro. Veamos un ejemplo: ACTIVIDAD EN CLASE: construcción de gráficas en MS Excel, Graph y GeoGebra. Un aspecto a tener en cuenta es que las funciones matemáticas que utilizamos son nuestra herramienta para modelizar un fenómeno físico que tiene sentido real, por lo que debemos quedarnos con los tramos del gráfico y valores asociados que tengan sentido físico para nuestro análisis, desechando el resto. Si bien estamos acostumbrados al uso de las variables con los nombres de x e y, es más práctico que le asignemos letras que sean fáciles de identificar con el fenómeno bajo análisis. Por ejemplo, si vamos a graficar la posición de 3

5 un vehículo a lo largo del tiempo, usaremos para el eje horizontal (abscisas) la letra t en vez de la x, y para el eje vertical (ordenadas) la letra x en vez de la y. De esa manera podemos interpretar fácilmente que en función del momento deseado obtenemos la posición que ocupaba el vehículo respecto de un origen predeterminado. En la siguiente tabla se presentan los cambios de variables más utilizados: Fenómeno Sin especificar Posición en función del tiempo Velocidad en función del tiempo Aceleración en función del tiempo Velocidad en función de la posición Variable Ordenada, Variable Abscisas y, x x, t v, t a, t v, x ó v, y Dado que el fenómeno bajo análisis puede ir modificando su comportamiento a lo largo del tiempo, es útil en un único gráfico presentar por tramos su evolución en un mismo gráfico. Es frecuente encontrarnos con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de rectas. Para describir analíticamente una gráfica formada por trozos de rectas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos, enumerando por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida. Funciones parabólicas La parábola es la curva que describe cualquier objeto al ser lanzado: un balón de fútbol, una piedra, el proyectil de un cañón, la caída del agua desde un desagüe elevado, etc. La ecuación general de una parábola se representa mediante una expresión de 2º grado, llamada cuadrática: La parábola más sencilla es la que tiene por ecuación 4

6 Observa que si si, la parábola tiene las ramas hacia arriba (convexa), la parábola tiene las ramas hacia abajo (cóncava) La parábola tiene su vértice en el punto (0,0) y contiene siempre al punto ( ); este hecho te permitirá calcular fácilmente el parámetro. Si no lo ves claro, busca un punto de la parábola que coincida con un corte de las líneas de la trama ( ) y aplica: ACTIVIDAD EN CLASE: construcción de gráficas y análisis con GeoGebra. 5

7 Ejercitación 1. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros): a. A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b. Cuánto tiempo duró la visita al lugar? c. Hubo alguna parada a la ida? Y a la vuelta? d. Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y el de vuelta? 2. La siguiente gráfica corresponde al recorrido que sigue Antonio para ir desde su casa al trabajo: a) A qué distancia de su casa se encuentra su lugar de trabajo? Cuánto tarda en llegar? b) Ha hecho una parada para recoger a su compañera de trabajo, durante cuánto tiempo ha estado esperando? A qué distancia de su casa vive su compañera? c) Qué velocidad ha llevado (en km/h) durante los 5 primeros minutos de su recorrido? 3. El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica: a) Durante qué horas el consumo de agua es nulo? Por qué? 6

8 b) A qué horas se consume más agua? Cómo puedes explicar esos puntos? c) Qué horario tiene el colegio? d) Por qué en el eje x solo consideramos valores entre 0 y 24? Qué significado tiene? 4. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente: a) Cuál es la dosis inicial? b) Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos? Y al cabo de 1 hora? c) Cuál es la variable independiente? Y la variable dependiente? d) A medida que pasa el tiempo, la concentración en sangre de la anestesia, aumenta o disminuye? 5. Las siguientes gráficas corresponden al ritmo que han seguido cuatro personas en un determinado tramo de una carrera. Asocia cada persona con su gráfica: Mercedes: Comenzó con mucha velocidad y luego fue cada vez más despacio. Joaquín: Empezó lentamente y fue aumentado gradualmente su velocidad. Lourdes: Empezó lentamente, luego aumentó mucho su velocidad y después fue frenando poco a poco. Victoria: Mantuvo un ritmo constante. 6. Asocia cada enunciado con la gráfica que le corresponde: 7

9 a) Altura de una pelota que bota, al pasar el tiempo. b) Coste de una llamada telefónica en función de su duración. c) Distancia a casa durante un paseo de 30 minutos. d) Nivel del agua en una piscina vacía al llenarla. 7. Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: Esta mañana, Eva fue a visitar a su amiga Leticia y tardó 20 minutos en llegar a su casa, que se encuentra a 800 metros de distancia. Estuvo allí durante media hora y regresó a su casa, tardando en el camino de vuelta lo mismo que tardó en el de ida. 8. Construye una gráfica correspondiente al caudal de agua de un río durante un año, sabiendo que: En enero, el caudal era de 40 hm 3 y fue aumentando hasta el mes de abril cuyo caudal era de 60 hm 3. En abril el río tenía el máximo caudal del año. A partir de este momento, el caudal fue disminuyendo hasta que, en agosto, alcanzó su mínimo, 10 hm 3. Desde ese momento hasta finales de año, el caudal fue aumentando. En diciembre, el caudal era, aproximadamente, el mismo que cuando comenzó el año. 9. Asocia cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica: a) b) c) d) 8