Cuadratura de Newton-Cotes

Transcripción

1 Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación INTEGRACION NUMERICA Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre INTEGRACION NUMERICA Se considera, la idea de la integración numérica es aproximar la función con un polinomio de interpolación. Al hacer esto, se acepta que habrá un error asociado. Por lo tanto = +. Formulas a utilizar: Cuadratura de Newton-Cotes Regla del Trapecio = h + h Regla de Simpson /3 = h h 90 Segunda Regla de Simpson 3/8 = 3h h 80 Regla de Trapecio Compuesto T.C = h + + h ; h = Regla de Simpson Compuesta S.C:n=par / / = h h ; h = 80

2 Notaciones: Nodos: Puntos de la recta numérica, separados pero alguna distancia por lo general están equiespaciados, es decir, se encuentran a la misma distancia,,,, = + h, = 0,,, h =, = 0,,,, = 0,,,, Se puede denotar a = y a =. Demostración: -Trapecio simple Por definición, se tiene en cuenta que se puede aproximar una función por medio de un polinomio, y para que esta aproximación pase a ser exacta, se debe incluir un cierto error, es decir; = + Según Lagrange, un polinomio se puede expresar de la siguiente forma: =, = En cuanto al Error, este tiene la siguiente forma: = +! Luego: = + +!, h = + +! Ordenando la expresión, queda: = + +!

3 Como se desea demostrar la regla del trapecio, tenemos que ocupar n=, en el caso e Simpson n=, además de que = y =, con h =. Por lo que nuestro polinomio quedara de la forma según Lagrange: = +, : = + + = + = +!! + +! = + +! = = = = + + = = + h = + h Finalmente tenemos la regla del trapecio con su correspondiente error, esto es análogo para las otras formulas. Para demostrar la regla del trapecio compuesto, es solo sumar n veces, la formula trapecio simple.

4 Calcule la integral = usando las fórmulas del trapecio y Simpson con pasos h= y h=, respectivamente. Obtener conclusiones con respecto a la precisión obtenida. a Primero calcularemos la integral por la regla del trapecio con una distancia entre los nodos de h=. Los nodos son; NodosN=0,,,,,,,, =,,,,,,,, 9 nodos Entonces lo mejor es ocupar la formula de trapecio compuesto, , =, h =. = Siendo =, = 0, = y h = Aproximación por regla de Trapecio compuesto b Ahora calcularemos la integral por la regla del Simpson con una distancia entre los nodos de h=. Los nodos son; NodosN=0,,,, =,,,, 5 nodos Entonces lo mejor es ocupar la formula de Simpson compuesto, h , =, h =

5 = Aproximación por regla de Simpson compuesto El resultado exacto de la integral es; El Error absoluto usando la regla de Trapecio compuesto es; = = = El Error absoluto usando la regla de Simpson compuesto es; = = Entonces; < Con esto se concluye que es más preciso aproximar la integral por medio de la regla de trapecio compuesto de h=, que con la regla de Simpson compuesto de h=, puesto que la cantidad de nodos de la R.T.C es mayor que la de la R.S.C. La función de Bessel es la solución de la ecuación diferencial + + = 0 con 0 =, y 0=0. queda definida por la fórmula integral = cos, obtener expresiones aproximadas de usando las reglas del trapecio y de Simpson. a Primero aproximaremos, con la regla del Trapecio Compuesto, con una distancia entre los nodos de h = podría ser de h =, pero disminuiría la precisión. Los nodos son; N=0,,,, =,,,, 5 nodos Entonces queda; = cos h cos0 + cos 4 + cos + cos 3 + cos Aproximación por regla de Trapecio compuesto.

6 b Ahora aproximaremos, con la regla del Simpson Compuesto, con una distancia entre los nodos de h =. Los nodos son; N=0,,,, =,,,, 5 nodos Entonces queda; = cos h cos0 + 4 cos 4 + cos + 4 cos 3 + cos Aproximación por regla de Simpson compuesto. El resultado exacto de la integral es; El Error absoluto usando la regla de Trapecio compuesto es; = = El Error absoluto usando la regla de Simpson compuesto es; = = Entonces; < La mejor aproximación es con la regla de Trapecio Compuesto Obs: En los casos en que se tiene una cantidad par de nodos, por lo general la regla de Simpson será más precisa que la regla de Trapecio 3 Determinar el numero M de sub-intervalos y el paso h de manera que el de la regla compuesta de Simpson en la aproximación, h sea menor que 50. Se sabe que el error de la regla compuesta de Simpson en valor absoluto, pues nos interesa el error no el signo, tiene que ser menor al error dado, entonces se tiene; = h 80 < 50 : Es el límite de integración inferior. : Es el límite de integración superior. : Es la el máximo absoluto de la cuarta derivada de, entre los limites de integración.

7 h = : Salto entre los nodos, n debe ser par. Es decir; = ; = 7; h = = max, < 50 Para encontrar, debemos encontrar el máximo absoluto de la cuarta derivada entre el intervalo,7. = = = = = Entre más pequeño sea el denominador más grande será el valor de la cuarta derivada, por lo tanto nuestro mínimo posible es, el máximo absoluto será = = Entonces, al reemplazar este valor en la formula de error, podremos obtener M; < 50 6 < Entonces para obtener un error menor a 50, la cantidad de sub-intervalos debe ser mayor a 6. 4 Determine los coeficientes, de modo que la formula = sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Hallar este grado. Para determinar los coeficientes, se debe evaluar por cada una de la base canónica de un polinomio, es decir; = = = = = + + = 0 = = = Ordenándolo de forma matricial queda; = /3

8 4/3 La solución es; = /3 4/3 Entonces la formula de cuadratura queda; = Para analizar la precisión de la formula, se debe evaluar por una base de un polinomio canónico hasta que la integral arroje un resultado diferente al resultado de la suma, es decir; = = = + = Formula de por lo menos grado 0 = = 0 = = 0 Formula de por lo menos grado = = = = Formula de por lo menos grado Es innecesario evaluar estas 3 bases, ya que es obvio que debe cumplirse la igualdad. = = = 0 = = 0 Formula de por lo menos grado 3 = La Formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado por lo menos 3. 5 Comprobar que la siguiente fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 4 = = Al igual que en el ejercicio anterior, es decir; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

9 = = = = = = = La formula de cuadratura tiene orden o grado de precisión a lo menos 5, que es más de lo que se pide. 6 Determinar una fórmula de cuadratura de la forma = + que integre exactamente los polinomios de hasta grado, es decir, para que fórmula dada sea de grado. Se debe evaluar en la base canónica de grado 0, ya que solo existe un solo coeficiente indeterminado, entonces; = La fórmula queda; = = + = / = + Trapecio simple Para que la formula sea exacta para polinomios de hasta grado, debemos evaluar en,, entonces; = = = + = Se tiene que; + = = = = + + = /3 + = /3 + + = /3 + /3 = 0 = = = = = ± En este punto podemos elegir uno de los pares de raíces el resultado será el mismo. Con = y =

10 = Análisis de precisión; = = = = = = = = = La formula de cuadratura tiene grado al menos 3, más de lo necesario. 7 La regla de Lobato es una fórmula de cuadratura gaussiana tal que; = + + a Obtener la regla de Lobatto para n=3. Qué tan precisa es esta regla? b Estimar usando la regla de Lobatto. a La regla de Lobatto para n=3 es; = Si consideramos los nodos como equiespaciados, los nodos intermedios se pueden obtener por medio de la formula = + h, entonces; = + 3h = + 3h h = /3 = + h = + h = /3 = + h = + h = /3 Entonces la regla de Lobatto para n=3 con nodos equiespaciados es; = Ahora para obtener los coeficientes indeterminados, la formula debe ser exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 3, por lo que se debe evaluar en la base,,,, entonces;

11 = = = = De Forma ordenada queda; = = = 0 = + + = = = 0 = /4 /3 /3 0 = La solución es 3/4 = /9 /9 /3 3/4 /7 /7 0 /4 La cuadratura finalmente queda; = Regla de Lobatto para n=3 Análisis de precisión; = = = 0 = = 0 = = La Regla de Lobatto para n=3, es exacta para polinomios de por lo menos grado 3. b Para estimar con la regla de Lobatto para n=3, se debe cambiar los limites de integración actuales, a los limites de integración de la regla -,,esto se hace asociándolos a una recta, esta recta hará cambiar la variable con la que se está tratando, es decir;,, = + = = + = = + La solución del sistema es; = = 3, al reemplazarlos en la recta se tiene; = 3 La derivada es = =

12 = = = = = Es una buena estimación de la integral = / + 3 / + = ) Determine las constantes A, A y A3 de modo que la siguiente fórmula de cuadratura () = (0) + (0.5) + () sea exacta para polinomios de grado al menos. Úsela para estimar. La formula debe ser exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a, por lo que se debe evaluar () en la base,,, entonces; () = = = + + () = = =. + () = = = (.) + En forma matricial queda; / /6 0 /4 = / = 4/3 0 /8 /3 /6 La cuadratura entonces es; () = 6 (0) + 3 (0.5) + 6 () Análisis de precisión; () = = = (0.5) + = () = = = (0.5) + = () = = (0.5) + = La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado al menos 3. Ahora para estimar, debemos hacer el mismo proceso que en el problema anterior, es decir; 0, 0,

13 = + = 0 0 = = = + = / = = /*d = Entonces la integral queda; = = = = = = = ( )= = % = 5.9% 9) Determinar los valores de las constantes A, A y A3 de modo que la fórmula de cuadratura () = h (0) + + (h) sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Estime la integral =.. Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a, se debe evaluar () en la base,,, entonces; () = () = () = = h = h + + = = h + h = = h + h De forma matricial; 0 0 h/3 h = h / = 3/4 0 h /9 h h /3 /4 La cuadratura entonces es; () = h 3 4 h (h) Análisis de precisión; () = () = = = h + h = = h + h =

14 La fórmula de cuadratura es exacta para polinomios de al menos grado. Ahora para estimar la integral =. pues h = 0.5, entonces la cuadratura queda;. = Y al aplicarla en la integral resulta; =., con nuestra cuadratura, hay que solo aplicarla, = = = = = = ( )= = % = 0.7% 0) Determinar los valores de los coeficientes A, A y A3 de modo que la fórmula de cuadratura () = (0) + (h) + (3h) sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a, se debe evaluar () en la base,,, entonces; () = () = () = = 3h = + + = = = h + 3h = h + 9h De forma matricial; 3h 0 0 h 3h = 9h / = 9h/4 0 h 9h 7h /3 3h/4 La cuadratura entonces es; () = 9h 4 (h) + 3h 4 (3h) Análisis de precisión; () = () = = = = h + 9h = 9h h + 7h = La fórmula de cuadratura es exacta para polinomios de al menos grado.

15 Calcular mediante una regla de cuadratura de la forma = + que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que 3. Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 3, se debe evaluar en la base,,,, entonces; = = = = = = + = 0 = + = = + = 0 = + Tomando i y ii, se tiene una solución posible; = /3 0 = Con Tomando iii y iv, se tiene otra solución posible; = /5 0 = Con Ahora si igualamos nuestros pares de soluciones, se tiene que; = = ± = = ± Como, entonces las nodos posibles son; = = ó = = En cuanto a los coeficientes estos son; = = La cuadratura finalmente queda; = 3 ± Análisis de precisión;

16 = = = = = = + = = 0 = + = 0 = = = 0 = + + = = 0 La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3 Dada la integral x 0 + x dx se pide: a Calcular la estimación proporcionada por la fórmula de Simpson básica. b Calcular la estimación de la fórmula de Simpson compuesta de sumandos. a Para aplicar la formula de Simpson simple, debemos conocer 3 nodos. h Los nodos son; NodosN=0,0.5, =,, 3 nodos equiespaciados h = 0.5 = La integral exacta es; Los errores son; = = ( )= = % = 0.7% b) Para aplicar la formula compuesta de Simpson de nodos (sumandos), debemos conocer esos nodos, y la distancia entre ellos.

17 h , =, h = 0. NodosN=0; 0.; 0.; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; =,,,,,,,,,,, nodos equiespaciados h = Los errores son; = = ( )= = % 0% 3) Sea () = +. Averiguar el número de veces que hay que dividir el intervalo (0,) para que al estimar el valor de f ( x) dx usando las fórmulas compuestas de los trapecios y de Simpson el error (en valor absoluto) sea inferior a En el caso de Trapecio Compuesto. Para averiguar el número de subintervalos, se necesita que el error (en valor absoluto) de la regla de trapecio compuesto sea menor que 0, es decir; () = ( )h () () 0 ; h = ( ) = ( ) max, () () 0 Para encontrar () (), debemos encontrar el máximo absoluto de la segunda derivada entre el intervalo 0,. ()= + ()= + ()= + Si obtenernos la tercera derivada y la igualamos a 0, encontraremos un máximo absoluto. ()= = 0 =

18 Entonces; max, () () = ()=3 Por lo tanto; () = Hay que dividir el intervalo (0,) 45 veces a lo menos, para que el error según la regla compuesta de trapecio sea inferior a 3 0. En el caso de Simpson Compuesto. Para averiguar el número de subintervalos, se necesita que el error (en valor absoluto) de la regla de Simpson compuesto sea menor que 0, es decir; () = ( )h () () 0 ; h = ( ) 80 = ( ) max, () () 0 Para encontrar () (), debemos encontrar el máximo absoluto de la cuarta derivada entre el intervalo 0,. ()= + ()= ()= Entonces; max, () () = Por lo tanto; () = Hay que dividir el intervalo (0,) 6 veces a lo menos, para que el error según la regla compuesta de Simpson sea inferior a ) Se consideran los nodos: -, c, con c fijo y distinto de y -. Sea f (x) una función definida en el intervalo -,. a) Determinar los coeficientes a 0, a, a en la fórmula: () ( ) + () + () para que integre exactamente polinomios de grado inferior o igual a. b) Obtener el valor de c para que también integre de forma exacta polinomios de grado 3. c) Aplicar la fórmula obtenida anteriormente a 5 f ( x) = x + y compara con el valor exacto. a) Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios de grado menor o igual a, se debe evaluar () en la base,,, entonces;

19 + + = = = = + + = 0 = + + = = = + + En forma matricial; = 0 = /3 La cuadratura entonces es; b Para que integra de forma exacta polinomios de grado 3, debemos evaluar fx como para obtener c. = = 0 = + 0 = = = 4 = 0 = ± + Ya que c,, entonces el buscado es = 0 es el valor con el cual se puede integrar de forma exacta polinomios de grado menor o igual a 3. c Ahora aplicaremos la formula de cuadratura a = = = = = = , con c=0.

20 = = % 0% Dígitos Significativos / = 5 (5 dígitos significativos). 5) Se considera la siguiente fórmula de cuadratura: f ( x) dx a0 f ( / ) + a f (0) + a f ( / ) a) Determinar los coeficientes a 0, a y a para que sea exacta para polinomios del mayor grado posible. b) Sea P ( ) el polinomio de interpolación "mixta" tal que: 3 x P ( / ) = f ( / ), P (0) = (0), P ' (0) = ' (0) y P ( / ) = ( / ) 3 3 f 3 f 3 f Razonar que la fórmula de cuadratura obtenida en el apartado a) es la misma que la que se obtendría integrando el polinomio P ( ). 3 x a) Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe evaluar () en la base,,, como mínimo, entonces; () ( /) + (0) + (/) () = () = = = + + = 0 = + () = = = + En forma matricial; / 0 / = 0 = /4 0 /4 /3 La cuadratura entonces es; () 4 ( /) (0) (/)

21 Formula exacta para polinomios de grado por lo menos. Análisis de precisión; = = = 0 = + = 0 = + = La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3. b Para este caso se debe ocupar la interpolación de Hermite, ya que nos dan la derivada de un punto en específico. x fx -/ / = Al expandir esta expresión podemos llegar lo siguiente: = Ahora se debe integrar desde - a, entonces: = Lo que resulta en que; = Por lo tanto, al integrar el polinomio de interpolación que se obtiene por medio de la interpolación de Hermite, se obtiene que la cuadratura obtenida es la misma que la del ítem a.

22 6 Un polinomio P ( ) de grado verifica que : P (0), P () 3 y que: P ( x) dx =. x fx Averiguar P ( 3 ). 3 x 3 = 3 = = 3 = = = /* = = 4 / = Despejando se obtiene que; = 7 Alguna de las fórmulas de integración numérica estudiadas permite integrar de forma exacta polinomios de grado 5? Comprobarlo con f ( x) = x 5 + en el intervalo 0,. La integral exacta de fx es: = = + = Debemos crear una formula de integración con los nodos 0, 0., 0.4, 0.6, 0.8,, ya que esta fórmula debe integrar de forma exacta polinomios de grado 5, por lo que se requieren 6 nodos para el procedimiento. = =

23 = = = = = = = = = = = = = = = = = = Ordenando de forma matricial: / = / /4 /5 /6 El resultado es: Entonces la cuadratura queda como: Tomando = +, tenemos que el resultado de la integral que se aproxima a la integral exacta es:

24 = = Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta Error Absoluto = =. 0 0 Error Relativo = = Error Relativo Porcentual % = 00% = % 0% Podríamos decir que la formula de integración numérica es exacta para polinomios de grado 5, en especial = + 8 Se desea aproximar 0 f ( x) dx mediante la fórmula I = a f / 4) + a f () + a (3 / 4) 0 ( f Determinar los coeficientes a 0, a, a para que integre exactamente polinomios de grado inferior o igual a. Comprobar la fórmula con f ( x) = 3x. = = = + + = = = + + = = = + + En forma matricial; /4 0 /4 = /6 0 /6 La cuadratura entonces es; 8/3 =

25 = Formula exacta para polinomios de grado por lo menos. Para f ( x) = 3x = = = 4 La integral exacta tiene el mismo valor que la integral de aproximación, por lo que el error es 0. 9 Se desea averiguar el valor aproximado de ln ( x + ) dx utilizando las fórmulas compuestas de los trapecios y de Simpson. Averiguar el valor de n para que el error en valor absoluto que se cometa al aplicar estas fórmulas sea como mucho 0-4. El error absoluto de la formula compuesta del Trapecio es: = h h = Siendo en este caso que = y que =, por lo que h =, entonces; = = max, () () 0 () = ln ( + ) () = + () = () max, () () () = = 5 (.5) = 0.6 () = 0. Se necesita 5 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 0.

26 El error absoluto de la formula compuesta del Simpson es: = h h = 80 Siendo en este caso que = y que =, por lo que h =, entonces; = 80 = 80 max, () () 0 () = ln ( + ) () = + () = () = () = () ( + ) () max, () () () = (.5) = () = , pero como n debe ser par = 4 Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 0 0) Se desea averiguar un valor aproximado de ln. Sabiendo que dx = ln, averiguar el x valor de n para que al usar la fórmula compuesta de Simpson el error sea inferior a 0-3. Comprobar este resultado. El error absoluto de la formula compuesta del Simpson es: () = ( )h () () h = ( ) 80 Siendo en este caso que = y que =, por lo que h =, entonces; () = 80 () () = 80 max, () () 0

27 = = = = 6 = max, = , entonces = 4 Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 0 Para comprobar el resultado anterior debemos aplicar la formula de Simpson compuesto, y según el resultado la cantidad de nodos deben ser 5, y estos nodos son,.5,.5,.75, = = = = ln Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta Error Absoluto = = Error Relativo = = Error Relativo Porcentual % = 00% = 0.05% Se considera la integral e ( 4 x) dx x 0 a Determinar el valor de n para que al aplicar la fórmula de integración numérica compuesta de Simpson el error en valor absoluto sea inferior a 0-4. b La estimación que dará la fórmula será inferior o superior al verdadero valor de la integral?.

28 c Comprobar los resultados anteriores. a Siendo en este caso que = y que = 0, por lo que h =, entonces; = 80 = 80 max, () () 0 () = (4 ) () = (3 ) () = ( ) () = ( ) () = max, () () (0) = 0 () = 0 5, , entonces = 4 Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 0 b) Para comprobar el resultado anterior debemos aplicar la formula de Simpson compuesto, y según el resultado la cantidad de nodos deben ser 5, y estos nodos son0, 0.5, 0.5, 0.75, (4 ) = (0) + 4(0.5) + (0.75) + (0.5) + () = = (4 + 4(. (4 0.5) +. (4 0.75)) +. (4 0.5) + (4 )) = 4e 5 = > Según los resultados el valor de la integral de aproximación es inferior al valor exacto. c) Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta Error Absoluto = = Error Relativo = = Error Relativo Porcentual % = 00% = % 0%

29 Determine a, b, c y d de manera que la siguiente formula de integración = Sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe evaluar en la base,,,, como mínimo, entonces; = = 0 = = = = + = 0 = = = = = 3 = = + + Ordenando de forma matricial: = 0 = = /3 0 El resultado es: = /3 /3 Entonces la cuadratura queda como: = Análisis de Precisión = = + = La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3.

30 3 Usando la formula de cuadratura: = +, estime. Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos límites que esta. El cambio de límites, se hace por medio de una recta. 0,, = + = 0 + = + La solución de este sistema de ecuaciones es: = = Entonces; =, se debe despejar x de la ecuación = La derivada es = Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura. = = = = Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta Error Absoluto = = Error Relativo = = Error Relativo Porcentual % = 00% = %

31 4 Considere la formula de cuadratura de la forma +0 + a Calcule los coeficientes, de manera que sea exacta para polinomios del mayor grado posible. b Estime. a Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe evaluar en la base,,, como mínimo, entonces; = = = 0 = ++ = = + = = 0 = En forma matricial; 0 0 = 6/3 = La cuadratura entonces es; Formula exacta para polinomios de grado por lo menos. Análisis de Precisión: = = = La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a. b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos límites que esta.,3, = + = + = 3 + La solución de este sistema de ecuaciones es: = = 4 Entonces; = 4, se debe despejar x de la ecuación

32 = la derivada es = Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura. Además se debe general la función de peso. = = = = Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta Error Absoluto = = Error Relativo Porcentual % = 00% % Según los datos, podemos concluir que no es muy buena la cuadratura para aproxima nuestra integral error porcentual muy alto. 5 a Determine los coeficientes en la siguiente aproximación numérica b Calcule el valor de = con cuadratura de item a Cuál es el error cometido? a Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe evaluar en la base,,, como mínimo, entonces; = = = + + = = = = = = En forma matricial;

33 / = /5 = /7 La cuadratura entonces es; = 4 05 Formula exacta para polinomios de grado por lo menos b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos límites que esta.,3 0, = + = 0 + = 3 + La solución de este sistema de ecuaciones es: = = Entonces; =, se debe despejar x de la ecuación = + La derivada es = Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura. Además se debe general la función de peso. + = Existe singularidad en 0, por lo que no hay cuadratura. 5 a Aproxime la integral usando trapecio doble y triple. Compare con el valor exacto. b Aproxime el valor de la integral, con la siguiente formula de cuadratura: =

34 a Primero calcularemos la integral usando regla del trapecio doble con una distancia entre los nodos de h = 0.5. Los nodos son; NodosN=,.5, =,, 3 nodos Entonces la suma de reglas de trapecio resulta en: + + +, =, h = 0.5 = Siendo =, =, = y h = Aproximación por regla de Trapecio doble. Ahora calcularemos la integral usando regla del trapecio triple con una distancia entre los nodos de h = Los nodos son; NodosN=,,, =,,, 4 nodos Entonces la suma de 3 reglas de trapecio resulta en: , =, h = = + / / / Siendo =, =, = y h = / Aproximación por regla de Trapecio triple Integral exacta. En cuanto a los errores: Error Absoluto para el trapecio doble = = Error Relativo Porcentual para el trapecio doble % = 00%.8% Error Absoluto para el trapecio triple = = Error Relativo Porcentual para el trapecio triple % = 00%.5%

35 > % > %, entonces hay una mejor aproximación usando trapecio doble. b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos límites que esta.,,5 = + = + 5 = + La solución de este sistema de ecuaciones es: = 4 = 3 Entonces; = 4 3, se debe despejar x de la ecuación = La derivada es = Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura = = En cuanto a los errores: Error Absoluto para el trapecio doble = = Error Relativo Porcentual para el trapecio doble % = 00% 5.6% Según los resultados, la aproximación de la integral por medio de la cuadratura dada, es muy mala, pues alcanza un error del 5.6%. Por lo que es muy poco eficiente y efectivo. + 6 a Encuentre los coeficientes de una cuadratura que tiene la forma: / = 0 +/4 +/ y que es exacta para funciones que son una combinación lineal de =, cos, cos. Use ítem a para aproximar + cos + 3 cometido. y calcule el porcentaje de error

36 a Para que la fórmula integre de forma exacta funciones que son una combinación lineales de =, cos, cos, entonces; = / = cos = En forma matricial; = = ++ / / cos = 0 = + = = = = La cuadratura entonces es; = Formula exacta para combinación lineal dada. b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos límites que esta. 0, 0, / = + 0 = 0 + / = + La solución de este sistema de ecuaciones es: = = 0 Entonces; =, se debe despejar x de la ecuación = La derivada es = Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura.

37 / + cos cos + 3 / = 4 + cos 3 = = cos cos cos = + cos + 3 = 5 = En cuanto al error cometido: Error Relativo Porcentual % = 00% 9.6% Según los resultados, la aproximación de la integral por medio de la cuadratura dada, no es buena, pues alcanza un error del 9.6%. Una explicación a esto, puede ser la combinación lineal que se utilizo para obtener los coeficientes de la cuadratura.