Proposiciones En nuestro lenguaje usualmente se hace uso de cuatro tipos de proposiciones, a saber:

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1 GRUPO TEMATICO: Proposiciones lógicas. Valor de verdad de una proposición. Introducción a la teoría de conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números enteros y su representación. Proposiciones lógicas Proposiciones En nuestro lenguaje usualmente se hace uso de cuatro tipos de proposiciones, a saber: 1. Aseverativas o declarativas En cultura Griega se llamaban Barbaros a quienes no hablaban su misma lengua. 2. Exclamativas o admirativas Qué tremendo saber esto! 3. Interrogativas Quién es el culpable de la situación del País? Quién soy yo? 4. Imperativas Recuérdalo ya! Vete ya! Serán de nuestro interés las primeras, es decir, las aseverativas o declarativas, en las cuales se niega o se acepta algo, para decir que es verdadero o falso, y es a este tipo de proposiciones a las que llamaremos proposiciones lógicas. Verdadero = (V). Falso = (F). Valor de verdad de una proposición lógica Ley del tercio excluido En el caso de la lógica matemática, las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero nunca ambas a la vez, es decir, una proposición no puede ser verdadera y falsa

2 simultáneamente. Esta formalización fue propuesta por Aristóteles, y es cuando una tercera cosa no se da por hecho. En la gramática estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden ser verdaderas o falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo que hace sol, esa oración es falsa. En cambio la lógica considera que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla de valores de verdad 1. Ejemplos: Colombia es un país que tiene una gran diversidad cultural (V). El idioma que más usan los estadounidenses es el latín (F). Representación de una proposición lógica: Una proposición lógica puede ser representada mediante una oración gramatical y también por medio de una expresión matemática. Una expresión matemática es una combinación de símbolos con sentido y significado que se usan en las ciencias exactas. Podemos decir que hay varios tipos, por ejemplo las expresiones matemáticas aritméticas y las expresiones matemáticas algebraicas. Ejemplos: a) es una expresión matemática aritmética b) es una expresión matemática algebraica c) La capital del departamento del Cauca es Popayán es una oración gramatical Algunos símbolos matemáticos: < Menor que Igual a > Mayor que Diferente que Para todo Existe un Menor o igual Mayor o igual Lo contrario a decir menor que es mayor que ; y lo contrario a decir igual a es diferente que. Negación de una proposición 1 Consultado el 15 de febrero de 2012 en : 2

3 Negar una proposición, significa cambiar su valor de verdad inicial u original, construyendo otra proposición. Proposición Valor de Negación de la Proposición Valor de verdad verdad 7 es múltiplo de 2 F 7 NO es múltiplo de 2 V 2 es primo V 2 NO es primo F F V Actividad 1 1. Indica con una X cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas a. que susto! b. fuera! c. Egipto está ubicado en Asía. d. El 2 es un número par y primo. e. f. Quién es? 2. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones y halla su valor de verdad, completando el siguiente cuadro. Proposición a. b. 7 es menor o igual que 3 c. d. e. 19 es múltiplo de 6 f. g. Todos los hombres son mortales Valor de verdad Negación Valor de verdad Conectivos lógicos Las proposiciones que hemos trabajado anteriormente, son proposiciones simples, a continuación iniciaremos a construir a partir de estas proposiciones (simples) otras, las cuales se llaman proposiciones compuestas. 3

4 Proposiciones compuestas Para construir proposiciones compuestas, es necesario utilizar conectivos lógicos. Algunos conectivos lógicos aparecen en la siguiente tabla: Nombre Conectivo lógico Símbolo Conjunción y Disyunción o Disyunción exclusiva o o Implicación Si entonces Doble implicación Si y sólo si Ejemplos de proposiciones compuestas 1. El número 2 es par y es primo Proposiciones simples: P: el número 2 es par. Q: el número 2 es primo (es primo). 2. Si 6 es un número divisible por 2 entonces el número 6 es par. Proposiciones simples: P: 6 es un número es divisible por 2. Q: el número 6 es par. 3. O 5 es un número es par o 5 es impar no es primo si y sólo si 8 tiene más de dos divisores. Proposiciones simples: P: 8 no es primo. Q: 8 tiene más de dos divisores. Valor de verdad de una proposición compuesta 4

5 Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, es necesario, hacer uso de las tablas de verdad, las cuales nos dan, las posibles combinaciones, de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Tabla de verdad para la conjunción (y) P Q P Q V V V V F F F V F F F F La anterior tabla, nos está diciendo: que una proposición compuesta cuyo conector lógico es la y es verdadera, únicamente cuando las proposiciones simples que la componen son verdaderas. Ejemplos 1. 4 es par y 4 es divisible entre 2. (V) (V) (V) 2. 5 es primo y 5 es par. (F) (V) (F) 3.. Tabla de verdad para la disyunción (o) P Q P Q V V V V F V F V V F F F Ejemplos 1. 4 es par o 4 es divisible entre 2. (V) (V) (V) 2. 5 es primo y o es par

6 Para el caso de la disyunción, diremos que una proposición compuesta, en la que aparece el conector lógico o, es falsa, solo cuando las proposiciones simples que la componen son falsas. En caso contrario, la proposición compuesta será verdadera. Tabla de verdad para la disyunción exclusiva (ó) P Q P Q V V F V F V F V V F F F Actividad Qué nos está queriendo decir esta última tabla y las que siguen? Cita por lo menos cinco ejemplos distintos a los anteriormente dados, en donde aparezcan diferentes casos y concluye de manera similar con las tablas que se muestran a continuación. Tabla de verdad para la implicación (Si entonces ) Ejemplo P Q P Q V V V V F F F V V F F V 1. Si 6 es un número divisible por 2 entonces el número 6 es par. (V) (V) (V) Tabla de verdad para la doble implicación ( si y sólo sí ) P Q P Q V V V V F F 6

7 F V F F F V Ejemplo 1. 6 es un número compuesto si y sólo si el número 6 no es primo. (V) (V) (V) Actividad Cuantificadores Se usan generalmente en las proposiciones, las cuales llamaremos proposiciones cuantificadas; y son aquellas en las que aparecen o está implícito un cuantificador existencial o universal, unos de estos pueden ser: algunos, existe un, no todos y todos. Cuantificado Universal. ( ) El símbolo del cuantificador universal es: Se lee: para todos, cualquiera, todos o todo. Ejemplos 1. Los camaleones cambian de color. 2. Todos los camaleones cambian de color. 3. Todos los peces viven en el agua. Consideremos que es el conjunto de los números naturales 4., es par. Cuantificador Existencial ( ) El símbolo del cuantificador universal es: Se lee: algunos, no todos, unos. Ejemplos 7

8 1. Algunas aves no vuelan. 2. Existen mamíferos que nadan en el mar. 3. A unos hombres no les gustan las mujeres. 4. No todos aprendemos de la misma manera. 5. Algunos números son primos. Consideremos que es el conjunto de los números naturales 6., es par. Negación de proposiciones con cuantificadores Para negar una proposición cuantificada, se debe cambiar el cuantificador y negar la proposición. Ejemplos: 1. Todos los números naturales son primos, Su negación es: Algunos números naturales no son primos. Actividad A. Indica cuales de las siguientes proposiciones son cuantificadas. 1. Algunos televisores son blancos y negros. 2. Las aves vuelan. 3. Todos los sábados practico algún deporte. 4. No todos los libros de la biblioteca son de matemáticas. 5. Ningún estudiante pierde el examen. 6. El invierno es en el mes de agosto. 7. Todos los colombianos son antioqueños. 8. La savia va por los tallos de los árboles. 9. Algunos hongos son comestibles. 10. No todo lo que brilla es oro. 11. Todos los deportistas son buenos gimnastas. 12. Ningún ingeniero estudia matemáticas. 13. Algunos médicos son pediatras. 14. Todos los insectos son invertebrados. 15. Algunos hombres de ciencia son soberbios. 16. Todos los hombres son felices 17. No todos los vehículos en Colombia están en buen estado. Recuerda: Para negar una proposición cuantificada, se debe cambiar el cuantificador (de universal a existencial y de existencial a universal) y negar la proposición (se puede colocar no o buscar un antónimo o contrario). 8

9 B. Di cuales de las proposiciones del ejercicio A son universales y cuales son existenciales. C. Escribe el valor de verdad de las proposiciones del ejercicio A D. Niega las proposiciones del ejercicio A. E. Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. a. Los camaleones cambian de color. b. Todos los camaleones cambian de color. c. Todos los peces viven en el agua. d., es par. e. Algunas aves no vuelan. f. Existen mamíferos que nadan en el mar. g. A unos hombres no les gustan las mujeres. h. No todos aprendemos de la misma manera. i. Algunos números son primos. j., es impar. k.,. 9

10 Evaluación cognitiva de lógica matemática. Nombres y apellidos Grado Código 1. Una proposición lógica es aquella de la cual podemos afirmar si es verdadera o falsa. Una de los siguientes enunciados NO corresponde a una proposición lógica: A. La raíz cuadra de 25 es igual a 5. B. El cuadrado tiene 4 lados. C. La medida de los ángulos interiores en un triángulo suman 180. D. estudiaste para la prueba cognitiva de matemáticas? 2. Las proposiciones lógicas pueden tener o no cuantificadores, los cuantificadores que se han estudiado son los cuantificadores universales y existenciales. La proposición lógica que corresponde a una proposición con un cuantificador existencial es: A. Todos los cuadrados tiene ángulos rectos. B. Cualquier número natural puede ser par o impar. C. Cada ciudadano mayor de edad puede ejercer el derecho al voto. D. Algunos hombres son sabios. 3. Negar una proposición consiste en cambiar su valor de verdad. La negación de la proposición todo cuadrado tiene cuatro lados, es: A. Todo cuadrado no tiene cuatro lados B. Algunos cuadrados tienen cuatro lados. C. Existen cuadrados que tiene cuatro lados. D. Unos cuadrados no tienen cuatro lados. 4. Para negar una proposición lógica con cuantificadores se debe tener en cuenta: A. Negar la proposición B. Cambiar el cuantificador C. Cambiar el cuantificador y dejar la misma proposición. D. Cambiar el cuantificador y negar la misma proposición 5. Una de las siguientes proposiciones compuesta es verdadera: A. Si 4 es par, entonces 8 es divisible por 3. B. 2 es primo si y sólo si, 2 tiene más de dos divisores. C. 5 es primo o 5 es par. D. 5 no tiene dos divisores o 13 es un número impar. 6. Cuál de las siguientes proposiciones está escrita como una expresión matemática? A es mayor que 19. B. Todo número natural tiene un antecesor y un sucesor. C. Existe un único número natural que es par. D. x, x. 7. Una de las siguientes proposiciones es verdadera: A. Todo numero natural tiene un antecesor (por ejemplo el antecesor del 10, es el 9). B. Cada número natural es primo. C. Cualquier número natural es divisible entre siete. D. Existe sólo un número natural que es par y primo. 10

11 Teoría de Conjuntos Representación de Conjuntos No podemos decir certeramente que es un conjunto, por ahora tendremos únicamente una idea intuitiva de lo que es un conjunto, porque generalmente su definición esta asocia a un sinónimo. Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos o un encierro de objetos. Cada objeto de un conjunto se llamará elemento del conjunto. Acordaremos además lo siguiente: Los conjuntos se nombran usando letras mayúsculas del abecedario: A, B, C, D, E,, X, Y, Z. Cómo nombrar el alfabeto de las letras mayúsculas?, es decir, {A, B, C,, X, Y, Z} Los conjuntos se pueden representar, mediante diagramas de Venn y lineales o entre llaves. Ejemplos Diagramas Llaves: {,,,, } {,,,,, } 11

12 Relación de pertenencia Los objetos pueden estar o no en un conjunto, en el caso de que estén en el conjunto, diremos que dicho objeto pertenece al conjunto. Para lo cual asumiremos la siguiente simbología: Ejemplo En el conjunto V, podemos establecer las siguientes relaciones: La relación de pertenencia es una relación única y exclusivamente entre elemento y conjunto. Por ahora, lo siguiente no es posible Porque es un conjunto, al igual que. Por lo tanto, dos conjuntos no se pueden relacionar con la relación de pertenencia. Para ello existen otras relaciones que veremos más adelante, como la de contenencia. Actividad 2 Determinación de conjuntos. Clases de conjuntos Determinación de conjuntos Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión. 12

13 Extensión Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos, es decir, se nombra uno por uno todos sus elementos. Ejemplo Comprensión {,,,, } {,,,,,, } Un conjunto se determina por comprensión cuando se nombra la propiedad que caracteriza a todos sus elementos. Ejemplo Clases de conjuntos Los conjuntos pueden ser finitos, infinitos, unitarios, o vacíos. Conjunto finito Es aquel en el que podemos enumerar todos sus elementos. Conjunto infinito Es aquel conjunto que no es finito. Conjunto vacío Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento y se puede representar de dos maneras distintas: Conjunto unitario Es aquel conjunto que solo tiene un elemento. 13

14 Actividad Relación entre conjuntos Relación de inclusión Un conjunto está incluido en otro conjunto, si cada uno de sus elementos también está en el otro conjunto. Esta relación de inclusión, también se conoce como relación de contenencia. En otras palabras diremos que un conjunto A está incluido o es subconjunto de un conjunto B, si y sólo si, todo elemento de A es elemento del conjunto B. En símbolos esto es, Además podemos observar con el siguiente ejemplo (y esto en general) que los elementos que no están en B, no pueden estar en A., Ejemplo Propiedades de la inclusión La inclusión cumple con dos propiedades, la primera se llama propiedad reflexiva y la segunda propiedad transitiva. Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo, es decir, Propiedad transitiva. Si entonces 14

15 Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos son iguales, si tienen exactamente los mismos elementos, en este caso podremos decir que el conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si, todos los elementos de A están en B y todos los elementos del conjunto B están en A. Taller 1. Escribe cada una de las siguientes proposiciones utilizando símbolos matemáticos: a) 2 no es mayor que 5 b) Cualquier número impar menor que 10. c) 7 es menor que 14 y mayor que 2. d) Si x es un número natural, entonces x es mayor que Escribe pro extensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) X={x/x } b) Y={x/x } c) Z={x/x es un número impar entre 13 y 21 } 3. Escribe la relación que exista entre cada para de conjuntos (, ). a) A={x/x es mamífero} y B= {x/x es ballena} b) D={x/x es múltiplos de 3, menores que 14} y E={x/x es múltiplos de 5, menores que 19} c) F={a,b,c,d} y G={c,d,a,b} 4. Dibuja un diagrama de Venn para cada par de conjuntos del ejercicio anterior 5. Escribe por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos: A B C D

16 6. Observa: el siguiente diagrama de Venn representa el conjunto A. Fíjate que todos sus elementos tienen una característica común: la suma de sus dígitos es igual a A Determina por compresión al conjunto A. A= {x/x es un numero de dos cifras cuyos dígitos suman 5} Ahora determina por extensión los siguientes conjuntos a) B= {x/x es un numero de dos cifras cuyos dígitos suman 7} b) C={x/x es un numero de dos cifras iguales} 7. El conjunto de los números naturales {,,,, } es un conjunto infinito. a) Halla un subconjunto de que también sea un conjunto infinito. b) Halla un subconjunto del subconjunto que hallaste anteriormente, que también sea infinito. 8. Si A= {1,2,3, 12}, forma subconjuntos que tengan las siguientes propiedades: a) Números impares menores que 13. b) Números divisores de 12. c) Números pares mayores que 5 y menores que 10. d) Múltiplos de 2 menores o iguales que completa el diagrama con los siguientes conjuntos definidos por comprensión: R={x/x } S={x/ } T={x/ } P={x/x } Q={x/x es par y menor que 18} R T S Q P 16

17 Re pasando y re visando mis saberes A. Completa la tabla con el valor de verdad o la proposición correspondiente. Valor de verdad (Proposición ) (Negación) La luna es una estrella La luna no es una estrella V Valor de verdad El sol es un planeta Colombia está ubicado en Europa 5 es impar B. Resalta con rojo las proposiciones simples y con azul las proposiciones compuestas. 1. Los cuadriláteros tienen cuatro lados. 7. Siete veces siete es igual a En año 2012 el mes de febrero tiene es un número primo. días. 9. Los números amigos son aquellos en 3. La alineación de los planetas será en el año los que la suma de los divisores de uno es el otro. 4. El Vaticano está ubicado en Roma. 10. Los números 220 y 284 son números 5. La raíz cuadrada de 25 es 5 si y sólo si 5 veces 5 es 25. amigos. 11. En 1636, Fermat reveló que y 6. Si el sol emite una serie de partículas conocidas como viento solar, entonces, estas se propagan en los confines de nuestro sistema solar eran amigos. 12. Un palíndromo es una palabra, número o frase que se lee igual hacia adelante que hacia atrás C. Escribe una proposición simple de tal manera que el valor de verdad de las proposiciones compuestas sea verdadero. 1. El perro es mamífero y. 2. Si la circunferencia es una figura plana, entonces. 3. Si 220 y 284 son números amigos, entonces. 4. O el número 330 es par o es un número palíndromo o. D. Teniendo en cuenta las siguientes proposiciones simples y su valor de verdad, encuentra el valor de verdad de las proposiciones compuestas: p: las memorias USB son un dispositivo de almacenamiento. q: El procesador de texto es una herramienta ofimática. r: Un micrófono es un dispositivo periférico de salida. 17

18 Quiz 1) El padre de la Teoria de Conjuntos fue Cantor Kroneecker Gauss 2) Un conjunto es una colección... de objetos no definidos bien definida de objetos de cualquier clase de términos no definido 3) Cuántas formas hay para determinar un conjunto? Hay una forma Hay cuatro formas Hay dos formas 4) A = {x/x es país fronterizo con Perú} El conjunto esta por... Comprensión Extensión Tabular 5) B = {x/x es una vocal de Internet} El conjunto es... Unitario. Infinito. Finito. 6) Los que representan conjuntos disjuntos son... A = {e, m, a, i, l} y B = {c, o, r, e} C = {3, 6, 9} y D = {4, 8, 12} E = {2, 4, 8} y F = {3, 4, 5} 7) La unión de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A U B = {c, h, a} A U B = {a, c, h, l, r, t} A U B = {l, r, t} 8) La intersección de conjuntos de A = {n, e, w, s} y B = {n, o, t, i, c, a} Es un conjunto vacío 18

19 Es un conjunto unitario Es un conjunto universal 9) La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A - B = { c, h, a } A - B = { r, l } A - B = { t } 10) Si U = {letras de la palabra evaluación} y A = {vocal de la palabra internet}. El complemento de A es A' = {n, t, r} A' = {a, c, l, n, o, u, v} A' = {v, a, l, u, c} Operaciones con conjuntos. Números enteros y su representación 19