SCUACAC026MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Ejercitación Generalidades de números

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1 SCUACAC026MT22-A16V1 0 SOLUCIONARIO Ejercitación Generalidades de números 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA EJERCITACIÓN GENERALIDADES DE NÚMEROS Ítem Alternativa 1 E 2 D 3 B 4 E 5 A 6 E 7 B 8 D 9 D 10 A 11 D 12 A 13 B 14 C 15 D 16 C 17 C 18 D 19 B 20 D 21 E 22 E 23 C 24 A 25 E 2

3 1. La alternativa correcta es E. El número 6, , es decimal infinito y no posee período, por lo tanto NO es racional sino irracional. 2. La alternativa correcta es D. La fracción 35 7 pertenece a los enteros, dado que La alternativa correcta es B. El resultado no puede ser un número irracional, ya que tanto el número de hombres como el número de mujeres de la ciudad son números enteros. Luego, la fracción o división de números enteros, es siempre un número racional. Por otra parte, el número de hombres podría ser el doble que el de mujeres. En tal caso la división sería igual a 2. Luego, el resultado puede ser natural, entero, racional y real. Por lo tanto, el índice de masculinidad no puede pertenecer al conjunto de los números irracionales. 4. La alternativa correcta es E. La situación descrita de los números enteros, a y b, la podemos representar en la recta numérica. De modo que si el sucesor de a (situado una unidad a la derecha de a) es igual al antecesor de b (situado una unidad a la izquierda de b), entonces b se encuentra dos unidades a la derecha de a. En la recta se representa: 3

4 Luego, el antecesor de a (situado una unidad a la izquierda de a) se encuentra a 4 unidades del sucesor de b (situado una unidad a la derecha de b). Por lo tanto, el antecesor de a se encuentra a 4 unidades del sucesor de b. 5. La alternativa correcta es A. Utilizando el método de la criba, es decir, marcando en color gris los múltiplos de números primos (sin incluir los mismos números), comenzando con el número 2, se puede reconocer que 4 columnas están formadas íntegramente por números compuestos y ninguna fila está formada solo por números compuestos (Como estrategia didáctica se puede utilizar la criba con los otros números primos para determinar todos los primos menores que 100. En la práctica basta con identificar los múltiplos de números primos menores que 10) Por lo tanto, 0 filas y 4 columnas no tienen números primos. 4

5 6. La alternativa correcta es E. n + (n + 1) + (n 1) = 3n 7. La alternativa correcta es B. I) Falsa, ya que el elemento neutro de la adición es el 0. II) Verdadera, ya que cualquier número entero multiplicado por 1 resulta el mismo número. III) Falsa, ya que el inverso aditivo de 83 es + 83 Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 8. La alternativa correcta es D. D) (p + r) es impar. Falsa, ya que al sumar dos números pares el resultado es un número par. 9. La alternativa correcta es D. El inverso multiplicativo de 10 es

6 10. La alternativa correcta es A. Si un número impar se multiplica por el antecesor de un número par se obtiene: (Impar Antecesor de un número par) = (Impar Impar) = Impar Por ejemplo, (5 Antecesor de 4) = (5 3) = 15 (Impar) 11. La alternativa correcta es D. El recíproco de un número racional producto de ambos sea igual a 1. Luego, distinto de 0, es el número, de modo que el A) Recíproco de es, que no es un número entero. B) Recíproco de es, que no es un número entero. C) Recíproco de no está definido en los reales. D) Recíproco de es 5, que es un número entero. E) Recíproco de 2 es, que no es un número entero. Por lo tanto, de los números indicados, es el número racional cuyo recíproco pertenece al conjunto de los números enteros. 12. La alternativa correcta es A. Si n es un número natural múltiplo de 3, entonces n = 3k, con k un número natural cualquiera. Es decir, 6n = 6 3k = 18k. Luego: I) Falsa, ya que 18k = 4,5k, que no siempre es un número entero. 4 18k II) Verdadera, ya que = 2k, que siempre es un número entero. 9 6

7 III) Falsa, ya que 12 18k = 1,5k, que no siempre es un número entero. Por lo tanto, solo II es verdadera. 13. La alternativa correcta es B. Como la cantidad de dulces se divide por completo y equitativamente en el número de hijos, es necesario identificar los divisores de 40, 50, 64 y 72. El número de hijos debe ser divisor de 40, 64 y 72, pero no divisor de 50. Los correspondientes divisores son: 40: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 50: {1, 2, 5, 10, 25, 50} 64: {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 72: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36, 72} El único número que es divisor de 40, 64 y 72, pero no de 50, es 4. Por lo tanto, el número de hijos de Raimundo es La alternativa correcta es C. Para determinar el largo del tren, primero se debe hallar el largo del vagón. Como está formado por tres cuadrados de 2 cm de largo, el largo del vagón es igual a 6 cm. Luego, al conectar una figura tras la otra, la longitud del tren debe ser múltiplo de 6, para lo cual debe ser múltiplo de 2 y múltiplo de 3. Para ser múltiplo de 2 es necesario que sea un número par. Para que sea múltiplo de 3 es necesario que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3. Como todos los números indicados son múltiplos de 2 por ser números pares, se debe encontrar cuál no es múltiplo de 3. Luego, A) la suma de las cifras de 120 es = 3, múltiplo de 3. B) la suma de las cifras de 186 es = 15, múltiplo de 3. C) la suma de las cifras de 200 es = 2, que no es múltiplo de 3. 7

8 D) la suma de las cifras de 282 es = 12, múltiplo de 3. E) la suma de las cifras de 300 es = 3, múltiplo de 3. Luego, 200 no es múltiplo de 3. Por ende no es múltiplo de 6. Por lo tanto, la medida que no puede corresponder al largo del tren es de 200 cm. 15. La alternativa correcta es D. Los divisores positivos de los siguientes números son: 18: {1, 2, 3, 4, 6, 12} Tiene 6 divisores. 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Tiene 8 divisores. 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Tiene 8 divisores. 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Tiene 9 divisores. 42: {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} Tiene 8 divisores. Por lo tanto, de los números indicados, el que tiene mayor cantidad de divisores es La alternativa correcta es C Como el dueño de las parcelas desea dividirlas en lotes de igual área, debemos hallar los divisores comunes a las tres (192, 264 y 312). Además, como el número de lotes debe ser el mínimo, es necesario que el área sea la máxima y además que sea divisor común, es decir, debe el número de lotes debe ser el M.C.D. Así, como 192 = 2 6 3, 264 = y 312 = , entonces, el M.C.D. es = 24. Por lo tanto, para que el número de lotes sea el mínimo, cada uno debe tener un área igual a 24 hectáreas. 8

9 17. La alternativa correcta es C. 160 = Luego, 160 tiene 2 factores primos distintos. 200 = Luego, 200 tiene 2 factores primos distintos. 210 = Luego, 210 tiene 4 factores primos distintos. 240 = Luego, 240 tiene 3 factores primos distintos. 300 = Luego, 300 tiene 3 factores primos distintos. De ellos, el que tiene mayor cantidad de factores primos distintos es La alternativa correcta es D. Según el enunciado, se sabe que el monto total a pagar será múltiplo del M.C.D. de $600 y $300, es decir será múltiplo de $300. Por ende, debe ser múltiplo de 100 y múltiplo de 3. Para que sea múltiplo de 100, las últimas dos cifras del número deben ser cero y para que sea múltiplo de 3 la suma de las cifras del número debe ser múltiplo de 3. Luego, A) es múltiplo de 300. B) es múltiplo de 300. C) es múltiplo de 300. D) no es múltiplo de 300, ya que no es múltiplo de 3. E) es múltiplo de 300. Por lo tanto, de los valores indicados $ NO puede corresponder al monto total a pagar. 19. La alternativa correcta es B. La terna de números que buscamos debe cumplir dos condiciones: deben ser primos entre sí, es decir no deben tener factores primos en común, y su m.c.m. debe ser igual a 60. Considerando primero las ternas de números que son primos entre sí. 9

10 A) 2, 3 y 5. Son primos entre sí. Todo par de números primos son primos entre sí. B) 3, 4 y 5. Son primos entre sí. El único número compuesto (4) es igual a 2 2. Luego, la terna no tiene factores primos en común. C) 2, 5 y 6. No son primos entre sí. El único número compuesto (6) es igual a 2 3. Luego, tiene como factor primo al 2, por lo cual 2 y 6 no son primos entre sí. D) 3, 5 y 12. No son primos entre sí. El único número compuesto (12) es igual a Luego, tiene como factor primo al 3, por lo cual 3 y 12 no son primos entre sí. E) 4, 12 y 20. No son primos entre sí. Todos los números son pares, con factor primo 2. Luego, no son primos entre sí. Solo en (A) y (B) se cumple que las ternas de números son primos entre sí : A) Como 2, 3 y 5 son números primos, el m.c.m. es = 30. B) Como 3 y 5 son números primos y 4 = 2 2, el m.c.m. es = 60. Por lo tanto, los números que son primos entre sí y cuyo m.c.m. es 60 son 3, 4 y La alternativa correcta es D. I) Correcta, ya que como 4,2 es decimal finito, se transforma del siguiente modo:. Simplificando esta fracción por 2, se obtiene: II) Correcta, ya que como modo: es un número periódico, transformamos del siguiente. Simplificando esta fracción por 3, se obtiene: III) Incorrecta, ya que como es un número semiperiódico (dado que tiene tanto período como anteperíodo), se transforma del siguiente modo: , Por lo tanto, solo I y II son correctas. 10

11 21. La alternativa correcta es E. I) Falsa, ya que al multiplicar cruzado se tiene que 5 15, lo que no es cierto. 3 II) Verdadera, ya que a igual denominador es mayor la fracción con mayor numerador. III) Verdadera, ya que a igual numerador es mayor la fracción con menor denominador. Por lo tanto, solo II y III son verdaderas. 22. La alternativa correcta es E. I) Falsa, ya que 54 0,054 0, , II) Verdadera, ya que ,6 7,6 5 5 III) Falsa, ya que , Por lo tanto, solo I y III son falsas. 23. La alternativa correcta es C Considerando las alternativas, se observa que existe una comparación de tres fracciones distintas. Por ello, es posible reemplazar los valores de a y b para establecer el orden correcto. Reemplazando y escribiendo en notación decimal, para comparar, se obtiene: 11

12 Como, obtenemos que. Por lo tanto, el orden correcto es. 24. La alternativa correcta es A. (1) (p+ q) es un número impar. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar que (p q + 2) es un número par, ya que p o q es par, entonces: ((par impar) + 2) = (par + 2) = par (1) p es un número impar. Con esta información y la del enunciado, no es posible determinar que (p q + 2) es un número par, ya que q puede ser impar, entonces: ((impar impar) + 2) = (impar + 2) = impar Por lo tanto la respuesta es: (1) por sí sola. 25. La alternativa correcta es E. Para que un número sea múltiplo de 12 se debe cumplir que sea divisible por los divisores de 12. Es decir, como 12 = 3 4, un número será múltiplo de 12 si es divisible tanto por 3 como por 4. Luego: (1) (n 1) es un número impar positivo. Con esta información, no se puede determinar que el número n sea múltiplo de 12, ya que solo se puede determinar que n es un número par positivo. (2) 2n es múltiplo de 6. Con esta información, no se puede determinar que el número n sea múltiplo de 12, ya que solo se puede determinar que n es múltiplo de 3. De hecho, si n es igual a 3, se cumple que 2n = 2 3 = 6, que es múltiplo de 6 y no de

13 Con ambas informaciones, no es posible determinar que el número n sea múltiplo de 12, ya que solo es posible determinar que n es un número par positivo múltiplo de 3. Por ejemplo, si n es igual a 6 se cumple que n 1 = 6 1 = 5, número impar positivo y también se cumple que 2n = 2 6 = 12 es múltiplo de 6, sin embargo, n = 6 no es múltiplo de 12. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 13