Tabla de Contenidos. Resolviendo Ecuaciones. Operaciones Inversas. Slide 1 / 107. Slide 2 / 107. Slide 4 / 107. Slide 3 / 107.

Transcripción

1 Slide 1 / 107 Slide 2 / 107 Tabla de Contenidos Resolviendo Ecuaciones Operaciones Inversas Ecuaciones de un paso Ecuaciones de dos pasos Ecuaciones de Multi-pasos Variables en ambos lados Más Ecuaciones Transformando Fórmulas Click on a topic to go to that section. Slide / 107 Slide 4 / 107 Qué es una ecuación? Operaciones Inversas Una ecuación es un enunciado matemático, en símbolos, tal que dos cosas son exactamente lo mismo (o equivalentes). Las ecuaciones se escriben con un signo igual, como lo siguiente 2+= Volver a la Tabla de Contenidos 9-2=7 Slide / 107 Las ecuaciones también se pueden usar para indicar la igualdad de dos expresiones que contienen una o más variables. En los números reales podemos decir, por ejemplo, que para cualquier valor de x se cumple que 4x + 1 = 14-1 si x =, entonces 4() + 1 = = 1 1 = 1 Slide 6 / 107 Al definir las variables, recordemos Las letras del principio del alfabeto como a, b, c... a menudo denotan las constantes en el contexto de una discusión sobre un caso particular. Mientras que las letras del final del alfabeto,como x, y, z..., son generalmente reservadas para las variables, es una convención iniciada por Descartes. Inténtalo! Escribe una ecuación con una variable y que un compañero de la clase identifique la variable y su valor.

2 Slide 7 / 107 Slide 8 / 107 Una ecuación puede ser comparada con una balanza equilibrada. Ambos lados necesitan contener la misma cantidad con el fin de que este "equilibrada". Por ejemplo, = 0 representa una ecuación porque ambas partes se reducen a = 0 0 = 0 Cualquiera de los valores numéricos en esta ecuación pueden ser representados por una variable. Ejemplos: 20 + c = 0 x + 0 = = y Slide 9 / 107 Slide 10 / 107 Por qué estamos resolviendo ecuaciones? Primero evaluábamos expresiones donde nos daban el valor de la variable y teníamos que encontrar la expresión reducida. Ahora, se nos dice que simplifiquemos y encontremos el valor de la variable. Con el fin de resolver una ecuación que contienen una variable, es necesario utilizar las operaciones inversas (opuesto/deshacer) en ambos lados de la ecuación. Recordemos las inversas de cada operación: Cuando resolvemos ecuaciones, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación para determinar su valor (el valor que hace que la ecuación sea verdadera). Suma Multiplicación Resta División Slide 11 / 107 Slide 12 / 107 Hay cuatro propiedades de la igualdad que vamos a usar para resolver ecuaciones. Ellas son las siguientes: Propiedad de la Suma Si a=b, entonces a+c=b+c para todos lo números reales a, b, y c. El mismo número puede ser agregado a cada lado de la ecuación sin cambiar la solución de la misma. Propiedad de la Resta Si a=b, entonces a-c=b-c para todos los números reales a, b, y c. El mismo número puede ser restado de cada lado de la ecuación sin cambiar la solución de la misma. Propiedad de la Multiplicación Si a=b, y c 0, entonces ac=bc para todos los números reales a, b y c. Cada lado de la ecuación puede ser multiplicado por el mismo número distinto de cero sin modificar la solución de la ecuación. Para resolver la "x"en la siguiente ecuación... x + 7 = 2 Determinamos que operación se muestra (en este caso, es una suma). Hacemos la inversa a ambos lados. x + 7 = x = 2 En la ecuación original, reemplazamos la x por el valor 2 y vemos si hace verdadera la ecuación. x + 7 = = 2 2 = 2 Propiedad de la División Si a=b, y c 0, entonces a/c=b/c para todos los números reales a, b, y c. Cada lado de la ecuación puede ser dividido por el mismo número distinto de cero sin cambiar la solución de la ecuación.

3 Slide 1 / 107 Slide 14 / 107 Piensa acerca de esto... Para cada ecuación, escribir la operación inversa necesaria para resolver la variable. a.) y +7 = 14 restar move7 b.) a - 21 = 10 sumar move 21 c.) s = 2 dividir move por d.) x = multiplicar movepor Para resolver c - = 12 Cuál método es mejor? Por qué? Celeste Sumar a cada ladode la ecuación c - = c = 1 Ariel Restar 12 de cada lado y luego sumar 1 a cada lado de la ecuación. c - = c - 1 = c = 1 Slide 1 / 107 Piensa acerca de esto... En la expresión A cuál de ellos pertenece el "-"? Slide 16 / Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación? 7x = 49 Pertenece a la x? Al? A ambos? La respuesta es que hay un solo negativo por lo que se usa una sola vez ya sea con la variable o con el. Generalmente, se lo asignamos al para evitar la creación de una variable negativa. Asi: A B C D Suma Resta Multiplicación División Slide 17 / 107 Slide 18 / Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación? x - = -12 A B C D Suma Resta Multiplicación División Ecuaciones en un paso Volver a la Tabla de contenidos

4 Slide 19 / 107 Slide 20 / 107 Ejemplos: Para resolver ecuaciones, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable. Recuerda que usamos las operaciones inversas con el fin de aislar la variable en un lado de la ecuación. Hagas lo que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado! y + 9 = La operación inversa de sumar 9 es restar 9 y = 7 6m = La inversa de multiplicar por 6 es dividir por 6 m = 12 Recuerda - Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado!!! Slide 21 / 107 Ecuaciones de un paso Resolver cada ecuación y luego hacer click en la caja para ver el x - 8 = -2 desarrollo y la solución. 2 = x click to show x = 6 click to show 8 = x 7 = x + x + 2 = click to show -2-2 click to show 4 = x x = -16 x + = 1 = x click to show x = -2 click inverse -2 = x show operation to x = 1 click to show x = -4x = click to -4 show x = -2 = x click to show - = x Slide 22 / 107 Ecuaciones de un paso (-6) x (2) = 10 (2) 2 x = 20 click to show x -6 = 6 x = -216 click to show (-6) Slide 2 / 107 Slide 24 / 107 Resolver x - 6 = Resolver j + 1 = -17

5 Slide 2 / 107 Slide 26 / 107 Resolver -11 = -x 6 Resolver x 9 = 12 Slide 27 / 107 Slide 28 / Resolver 1 = 17y 8 Resolver w - 17 = 7 Slide 29 / 107 Slide 0 / Resolver - = x 7 10 Resolver 2 + t = 11

6 Slide 1 / 107 Slide 2 / Resolver 108 = 12r Ecuaciones de Dos Pasos Volver a la Tabla de Contenidos Slide / 107 Aveces tenemos que hacer más de un paso para resolver una ecuación. Recuerda que para resolver una ecuación, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable. Esto significa que hay que deshacer en orden inverso (PEMDSR): 1 : Suma y Resta 2 : Multiplicación y División : Exponentes 4 : Paréntesis Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado! Ejemplos: Slide 4 / 107 x + 4 = Deshacer primero la suma x = 6 Deshacer en segundo lugar la multiplicación x = 2-4y - 11 = Deshacer primero la resta -4y = Deshacer en segundo lugar la multiplicación y = Recuerda - Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerla del otro lado!!! 6-7x = x = x = -11 Slide / 107 Ecuaciones de Dos Pasos Resolver cada ecuación y luego hacer click en la caja para ver el desarrollo y la solución. x + 10 = x = 6 x = 12-4x - = x = x = Resolver la ecuación. x - 6 = -6 Slide 6 / 107-2x + = x = x = x = x = x = 7 8-2x = x = x = 8

7 1 Resolver la ecuación. 16 = m - 8 Slide 7 / Resolver la ecuación x 2-6 = 0 Slide 8 / Resolver la ecuación. r - 2 = -12 Slide 9 / Resolver la ecuación. 12 = -2n - 4 Slide 40 / Resolver la ecuación. x 4-7 = 1 Slide 41 / Resolver la ecuación. - x + = -12 Slide 42 / 107

8 Slide 4 / 107 Slide 44 / 107 Pasos para resolver Ecuaciones con Múltiples Pasos Ecuaciones con Multi- Pasos Como las ecuaciones se vuelven más complejas, deberías: 1. Simplificar cada lado de la ecuación. (Combinando términos semejantes y aplicando propiedad distributiva) 2. Usar las operaciones inversas para resolver la ecuación. Volver a la Tabla de Contenidos Recuerda que lo que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado de la misma! Ejemplos: Slide 4 / = -2x x -1 = 2x - 9 Combinar los términos semejantes Deshacer primero la resta -6 = 2x 2 2 En segundo lugar deshacer la multiplicación - = x Slide 46 / 107 Ahora intenta con un ejemplo. Cada término se repite hacia abajo tantas veces como sea necesario mientras se va resolviendo la ecuación. -7x + + 6x = -6 7x - x - 8 = 24 4x - 8 = 24 Combinar los términos semejantes Deshacer primero la resta 4x = Deshacer en segundo lugar la multiplicación x = 8 x = -9 answer Slide 47 / 107 Slide 48 / 107 Ahora intenta con otro ejemplo. Cada término se repite hacia abajo tantas veces como sea necesario mientras se va resolviendo la ecuación. 6x - + x = 44 Comprueba siempre que ambos lados de la ecuación estén simplificados antes de comenzar a resolver la ecuación. A veces, es necesario aplicar la propiedad distributiva con el fin de simplificar parte de la ecuación. x = -9 answer

9 Slide 49 / 107 Slide 0 / 107 Propiedad distributiva Para todos los números reales a, b, c a(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab - ac Ejemplos (20 + 6) = (20) + (6) 9(0-2) = 9(0) - 9(2) ( + 2x) = () + (2x) -2(4x - 7) = -2(4x) - (-2)(7) Ejemplos: Slide 1 / 107 (1 + 6x) = x = 18 Distribuir el en el lado izquierdo - - Deshacer primero la suma 0x = En segundo lugar deshacer la multiplicación x = 6 2x + 6(x - ) = 14 2x + 6x - 18 = 14 Distribuir el 6 través del (x - ) 8x - 18 = 14 Combinar los términos semejantes Deshacer la resta 8x = Deshacer la multiplicación x = 4 ( x ) = 9 Slide 2 / 107 Ahora aplica la propiedad distributiva y resuelve...(cada número/ símbolo se puede repetir las veces que sea necesario, haz click sobre él y arrastra hacia abajo) x = answer Slide / 107 Slide 4 / 107 Ahora aplica la propiedad distributiva y resuelve...(cada número/ símbolo se puede repetir las veces que sea necesario, haz click sobre él y arrastra hacia abajo) 19 Resolver. + 2t + 4t = -6 6 ( -2x + 9 ) = 102 x = -4 answer

10 Slide / 107 Slide 6 / Resolver. 19 = x 21 Resolver. 8x - 4-2x - 11 = -27 Slide 7 / 107 Slide 8 / Resolver. -4 = -27y (-1y) Resolver. 9-4y y = 4 Slide 9 / 107 Slide 60 / Resolver. 6(-8 + b) = 78 2 Resolver. 18 = -6(1-1k)

11 Slide 61 / 107 Slide 62 / Resolver. 2w + 8(w + ) = 4 27 Resolver. 4 = 4x - 2(x + 6) Slide 6 / 107 Slide 64 / Resolver. r - r + 2(r + 4) = 24 Variables en ambos lados Volver a la Tabla de Contenidos Recuerda... Slide 6 / Simplificar ambos lados de la ecuación. 2. Juntar los términos con variables de un lado de la ecuación. (Sumar o restar uno de los términos a ambos lados de la ecuación). Resolver la ecuación. Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado! Ejemplo: Slide 66 / 107 4x + 8 = 2x x -2x Restar 2x en ambos lados 2x + 8 = Deshacer la suma 2x = Deshacer la multiplicación x = 9 Qué pasaría si lo resolvieras un poco diferente? 4x + 8 = 2x x -4x Restar 4x en ambos lados 8 = -2x Deshacer la suma -18 = -2x -2-2 Deshacer la multiplicación 9 = x Recomendación: Cancela la menor cantidad de la variable!

12 Ejemplo: Slide 67 / 107 6r - = 7r + 7-2r 6r - = r + 7 Simplificar cada lado de la ecuación -r -r Restar r en ambos lados (es menor que 6r) r - = Deshacer la resta r = 12 Intenta estos: Slide 68 / 107 6x - 2 = x + 1 4(x + 1) = 2x -2 t - 8 = 9t x -x 4x + 4 = 2x -2 -t -t x - 2 = 1-2x -2x -8 = 4t x + 4 = x = = 4t 2x = x = 2 2 = t 2 x = - Slide 69 / 107 Slide 70 / 107 A veces, se obtiene una respuesta interesante. Qué piensas acerca de esto? Cuál es el valor de x? x - 1 = x + 1 A veces, se obtiene una respuesta interesante. Qué piensas acerca de esto? Cuál es el valor de x? (x - 1) = x - Ya que la ecuación es falsa, "no hay solución"! move this y ningún valor que haga verdadera a esta ecuación. Ya que esta ecuación es verdadera, hay infinita cantidad de soluciones! La ecuación se llama identidad. move this Cualquier valor hace verdadera a esta ecuación. Intenta estos: Slide 71 / 107 4y = 2(y + 1) + (y - 1) 14 - (2x + ) = -2x + 9 9m - 8 = 9m + 4 4y = 2y y x - = -2x + 9-9m - 9m 4y = y x = -2x = 4 -y -y +2x +2x Sin Solución -y = -1 9 = 9 y = 1 Identidad Distancia de Sofia (velocidad tiempo) Slide 72 / 107 Sofia y Diego salieron de la escuela a las :00 p.m. y se fueron a su casa por la misma ruta en bicicleta. Sofia viajo a una velocidad de 12 kmph y Diego en su bicicleta a 9 mph. Sofia llego a su casa 1 minutos antes que Diego Cuánto tiempo le llevo a Sofia llegar a su casa? Define Relacionar t = Tiempo de Sofia en horas t = Tiempo de Diego en horas igual Distanci de Diego (velocidad tiempo) Escribir 12t = 9(t+0.2)

13 Slide 7 / 107 Slide 74 / t = 9(t + 0.2) 12t = 9t t -9t t = 2.2 t = 0.7 Le llevó a Sofia 0.7h, o 4 min, llegar a su casa. Step 1 - (pull) Step 2 - (pull) Step - (pull) 29 Resolver. 7f + 7 = f + 9 Slide 7 / 107 Slide 76 / Resolver. h - 4 = -h Resolver. w w = 6 + w Slide 77 / 107 Slide 78 / Resolver. (x - ) = x + 19 Resolver. -4m + 8-2(m + ) = 4m - 8

14 Slide 79 / 107 Slide 80 / Resolver. 28-7r = 7(4 - r) Más Ecuaciones Volver a la Tabla de Contenido Recuerda... Slide 81 / Simplificar cada lado de la ecuación. 2. Juntar los términos que contienen la variable de un lado de la ecuación. (Sumar o restar uno de los términos en ambos lados de la ecuación). Resolver la Ecuación. (Deshacer primero la suma o la resta, la multiplicación o división en segundo lugar) Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, debes hacerlo del otro lado! Ejemplos: x = 6 x = 6 0 x = x = 10 Slide 82 / 107 Multiplicar a ambos lados por su recíproco -14 2x - = + x -x - x Restar x de ambos lados -14 x - = + + Deshacer la resta 1 x = Slide 8 / 107 Hay más de un camino para resolver una ecuación con distributiva. Multiplicando por el recíproco (- + x) = 72 (- + x) = x = x = 27 x = 9 (- + x) = 72 Multiplicando por el LCM (- + x) = 72 (- + x) = 72 (- + x) = x = x = x = 9 Resolver - x + 1 = Slide 84 / 107

15 Slide 8 / 107 Slide 86 / Resolver 1-2b + b = Resolver 2 x + 8 = 7 + x Slide 87 / 107 Slide 88 / Resolver 2 (8 - c) = 16 9 Resolver -6(7 - y) + 4y = 10(2y - 4) Slide 89 / 107 Slide 90 / Resolver 1 2 (6-2z) = - 9 z - 1 (-4z + 6) Resolver 9.47x = 7.4x

16 Slide 91 / 107 Slide 92 / Resolver 4 Resolver x = 7.94x (8-2m) + 8m = 4(4 + m) Slide 9 / 107 Slide 94 / Resolver 1 2 (2y - 4) = (y + 2) - y Transformando Fórmulas Volver a la Tabla de Contenidos Slide 9 / 107 Slide 96 / 107 Ejemplo: Las fórmulas muestran la relación entre dos o más variables. Puedes transformar una fórmula para describir una cantidad en función de otras siguiendo los mismos pasos que en la resolución de una ecuación. Transformar la fórmula d = r t para encontrar una fórmula para el tiempo en términos de la distancia y la rapidez. Qué significado tiene "tiempo en términos de la distancia y la rapidez"? d = r t r r Dividir ambos lados por r d r = t

17 Slide 97 / 107 Slide 98 / 107 Ejemplos V = l wh V = w l h P = 2l + 2w -2w -2w P - 2w = 2l 2 2 P - 2w = l 2 Resolver para w Resolver para l Ejemplo: Para convertir la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celsius, usas la fórmula: C = 9 (F - 2) Transformar esta fórmula para encontrar la temperatura en grados Fahrenheit en términos de grados Celsius. (ver la siguiente página) Slide 99 / 107 Slide 100 / 107 Resolver la fórmula para F C = (F - 2) C = F C + = F C + 2 = F 9 ( ) 9 Transformar la fórmula del área de un círculo para encontrar el radio cuando se da el área. A = r 2 A A = r 2 = r Slide 101 / 107 Slide 102 / 107 Resolver la ecuación para la variable dada. m n (q) m n mq n = = p para p q = p (q) q p 2(t + r) = para t 2(t + r) = 2 2 t + r = 2 - r - r t = 2 - r 4 La fórmula I = prt da el interés, I, ganado por el principal, p, a una tasa anual de interés, r, a lo largo de t años. Resolver esta ecuación para p. A p = B p = C p = D p = Irt Ir t I rt It r

18 Slide 10 / 107 Slide 104 / La velocidad de un satélite en una órbita alrededor de la Tierra se encuentra usando la fórmula v 2 = Gm. En r esta fórmula, m representa la masa de la Tierra. Transformar esta fórmula para encontrar la masa de la Tierra. A m = B m = C m = D m = v 2 - r G rv 2 - G v 2 G - r rv 2 G 47 Resolver para t en términos de s 4(t - s) = 7 A t = 7 + s 4 B t = 28 + s C t = 7 - s 4 D t = 7 + s 4 Slide 10 / 107 Slide 106 / Resolver para w 49 Resolver para h A = lw V = r 2 h A w = Al B w = C w = A l l A A h = V - r 2 B h = C h = D h = V r 2 V r 2 V r Slide 107 / 107