( ) m normal. UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada

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1 UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada Dirección de una curva Dado que la derivada de f (x) se define como la pendiente de la recta tangente de dicha función en el valor x ; aplicar la derivada a la función nos ofrece una ecuación de la pendiente para dicha recta tangente. Si la pendiente es igual a cero significa que en ese punto de x la función no crece ni decrece. Entonces si la derivada de f(x) es la pendiente de la recta tangente de la función en el punto x, podemos describir las siguientes ecuaciones: y ' = = mtan = tanθ Donde el ángulo θ representa la inclinación en grados de la recta tangente. Al obtener la ecuación de la derivada para la función f(x) si sustituimos un valor x en f (x) obtendremos el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, f(x)), significando lo siguiente: Si la pendiente es positiva representa un crecimiento de la función sobre el eje X. Si la pendiente es negativa, significa que la curva decrece conforme recorremos el eje X. Ejemplo: para la ecuación y = x 8 determinar: a) La ecuación de la pendiente (m) de la recta tangente para cualquier punto de x b) La pendiente de la recta tangente para x = y x =. c) El ángulo de inclinación θ de la recta tangente en x = y x =. Ecuaciones de la tangente y la normal Si la función f(x) tiene derivada en el punto x 0 entonces la función tiene una recta tangente en el punto P(x 0, f(x 0 )), cuya pendiente es: y ' = = mtan = tanθ La ecuación de la recta tangente al punto P(x 0, f(x 0 )) es (usando la ecuación punto pendiente): y y = m x x ( ) 0 tan 0 Recta normal: Dado que una recta perpendicular (con pendiente m ) a otra (con pendiente (m )) tiene que cumplir con la siguiente igualdad: m = m Entonces la pendiente de la recta normal a la tangente (es decir que es perpendicular a la tangente) quedaría: m normal = m Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez tan

2 Entonces: La ecuación de la recta normal al punto P(x 0, f(x 0 )) queda de la siguiente manera: y y0 = ( x x0 ) m tan 3 Ejemplo: Para la función f ( x) = x 3x determinar en el punto P(,): a) La ecuación de la recta tangente. b) La ecuación de la recta normal Una vez realizado esto, podemos determinar la pendiente de la recta tangente para cada función en ambos puntos y aplicar la ecuación: m m tanθ = + mm Para obtener el ángulo de intersección de las curvas en los puntos donde éstas se intersectan. Ángulo de intersección entre curvas Cuando dos líneas rectas se intersectan el ángulo θ entre ellas cumple con la siguiente igualdad: m m tanθ = + m m Para calcular el ángulo de intersección entre dos funciones curvas, primero debemos determinar en que punto se cortan. Por ejemplo: Dadas las funciones f(x)=x y g(x) = x -3 determine los puntos en el plano cartesiano donde dichas ecuaciones se cortan. Solución: Debemos igualar dichas ecuaciones f(x)=g(x) dado que en los puntos de intersección la altura de las mismas son iguales. f(x)=g(x) x=x -3 x -x-3=0 (x+)(x-3)=0 Por lo tanto las rectas se cortan en dos puntos en el eje X: En x = - y x = 3. Para determinar la altura usamos una sola ecuación: f(-)=- y f(3)=6 Por lo tanto los puntos de intersección son: P (-,-) y P (3,6). Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

3 Curvatura, centro y radio de curvatura en coordenadas cartesianas. En el lenguaje ordinario, decimos que un trozo de carretera s tiene más curvatura que otro cuando el cambio de dirección o en el ángulo θ es mayor. Mayor curvatura Menor curvatura El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente: Donde ds es un recorrido diferencial (muy pequeño) sobre la curva, dθ es un diferencial de ángulo. El centro C de curvatura se determinan geométricamente del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto. Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a cada punto de la curvatura deben ser los mismos, dicha distancia se denomina radio de curvatura ρ. La longitud del arco entre los dos puntos considerados debe cumplir con la condición ds=ρ dθ (es el despeje del radio de la curvatura instantáneo). Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x. Consideremos dos puntos sobre la función: P (x, f(x)) y P (x+, f(x)+); donde y son diferenciales muy pequeños. Donde dθ arctan = Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base, altura e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones: tanθ = ds = + = + = + = ds + ρ = = = = dθ d arctan + Para determinar las coordenadas del centro de la curvatura: 3 Ahora a partir de: = + = + = ds ds = + ds = + ds = + = + = Ejercicios: Hallar ds, ds, el radio ρ y las coordenadas del centro de la curvatura C(α, β) para un punto P(x,y) en los siguientes ejercicios: ) y = 3x ) x + 4y = 8 + = + + = + El centro de la curvatura para el punto P(x,y) de la curva se define como C, cuyas coordenadas C(α, β) y las ecuaciones para determinarlas son: + + α = x β = y + Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Actividad 3.8. Para los siguientes ejercicios realice los impares. Hallar la ecuación de la tangente y la normal en el punto dado: Hallar el punto o los puntos en que la pendiente m = 0 Hallar ds, ds, el radio ρ y las coordenadas del centro de la curvatura C(α, β) para un punto P(x,y) en: Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas correspondientes: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5