ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

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1 CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U Í A E X A M E N E X T R A O R D I A N R I O E N E R O T U R N O M A T U T I N O Elaboró: Arq. Daniel Constantino Sosa. 1

2 Geometría analítica CONTENIDO DE LA GUIA Localización de parejas de coordenadas en el plano cartesiano Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento determinado Triángulo: Recta: Circunferencia: a) Demostrar si es un triángulo: rectángulo equilátero b) Calcular área del triángulo método determinantes c) Calcular perímetro de un triángulo d) Calcular ángulos internos del triángulo a) Ecuación de la recta conocidos dos puntos b) Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente c) Intersección de dos rectas - dadas las ecuaciones Intersección de dos rectas - dados sus puntos de coordenadas d) Ecuación de la recta de la forma punto pendiente e) Ecuación general de la recta e) Distancia de un punto a una recta f) Rectas perpendiculares g) Pendiente y ángulo de Inclinación de una recta a) Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen b) Ecuación general de la circunferencia c) Pasar de la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria d) Hallar la ecuación gral. de la circunferencia que pasa por tres puntos Recta y Circunferencia: a) Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas b) Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( h, k ) y que es tangente a la recta Parábola: a) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas x b) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas y c) Hallar los elementos (vértice, foco, directriz y lado recto ) dada la ecuación general, o dado el foco y la directriz Elipse: a) Ecuación general con centro en el origen,dado un foco y la longitud del eje menor b) Ecuación general con centro en el origen,dado un vértice y la distancia focal c) Hallar los elementos (los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto) dada la ecuación general Nota: los temas indicados en la guía que no se encuentren ejemplificados en la misma, el alumno tendrá que investigarlos. 2

3 Investigar: a) Sistema de Ejes de Coordenadas Rectangulares Cartesianas b)teorema de Pitágoras c) Distancia entre dos puntos d) Método de Determinantes Demostrar que el triángulo cuyos vértices: son : A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) y C ( 7, 9 ) representan un triángulo rectángulo Localiza los puntos A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ),y C ( 7,9 ) en un sistema de ejes de coordenadas y calcula el perímetro del triángulo resultante. Formula: d (x x ) (y y ) Localiza los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Calcular el área del triangulo formado por los vértices ABC. ( utiliza el método de Determinantes). Ejemplo. DETERMINANTE: A [ ( ) ( ) ] 2 1 [ ( ) ] 2 1 (- 59 ) A 29.5 u 2 Resuelve los siguientes ejercicios Localizar los puntos y calcular el área de cada triangulo de los siguientes ejercicios 1.- A (-6, -5 ), B ( 8, 2 ) y C ( 5, - 6 ). 2.- A ( 2, -3 ), B ( - 6, 3 ) y C ( - 4, -1). ( UTILIZA EL METODO DE DETERMINANTES PARA EL ÁREA EN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) 3

4 Localización de puntos en el plano cartesiano. ( ORDENADA Y ABCISA). EJERCICIOS Localiza las siguientes parejas de coordenadas en el plano cartesiano, cada ejercicio en un plano Cartesiano. Únelos y forma el triángulo ABC 1.- A ( 3, 5 ), B ( - 7, -4 ), C ( - 5, 6 ). 2.- A ( -2, -3 ), B ( - 5, 8 ), C ( 7,- 2 ). EJEMPLO: Localizar los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Únelos y obtiene el triangulo ABC y C (5,3) B(-3,-2) x A(4,-5) Distancia entre dos puntos. CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIOS Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1.- P ( - 5, 6 ), Q ( 4, 0 ). 2.- R ( - 5, 6 ), S ( 4, 0 ). 3.- T ( - 5, 6 ), U ( 4, 0 ). 4.- V ( - 5, 6 ), W( 4, 0 ). 4

5 EJEMPLO: Hallar la distancia entre los puntos A ( 2, -5 ), B ( -2,- 3 ). Formula: d (x x ) (y y ) (x 1, y 1 ) ( 2,- 5) y (x 2, y 2 ) (- 2,- 3) d d, d unidades Punto medio de un segmento determinado. CALCULAR PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS. EJERCICIOS. Hallar las coordenadas del punto medio que divide al segmento: 1.- A ( - 3, - 2 ), B ( -2, 0 ). 2.- C ( 9, -10), D ( -4, 7 ). 3.- E ( -12,-10), F ( 1, 0 ). 4.- G ( -12, 14), H ( -2, 3 ). EJEMPLO: Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento A ( 5, 3 ), B ( 1,- 1 )? Formula: x, y x 3, y 1 5

6 Recta Pendiente conocidos dos puntos. APLICAR LA FORMULA DE PENDIENTE. EJERCICIOS Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: 1.- A ( - 1, 1 ), B ( 2, 1 ). 2.- C ( - 3, 1 ), D ( 4, 2 ). 3.- E ( 5, -1 ), F ( 2,- 4 ). 4.- G ( 1, 0 ), H ( -1, 2 ). EJEMPLO: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 1, -1 ) y ( -3, 2 )? Formula: m, m Recta Ecuación general conocidos dos puntos. APLICAR ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS. EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos: 1.- P ( 0, -2 ) y Q ( -3,1 ). 2.- R ( 2, -1 ) y S ( 7, 6 ). 3.- T ( 2,- 5 ) y U ( - 2,-3). 4.- V ( - 6,-1) y W( -5,-2 ). EJEMPLO: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (-2,1) y P 2 (0,3). Formula: y - y (x - x 1 ) ; y - y 1 ( x - ( -2)) y 1 1 ( x + 2 ) ; y - 1 x +2, y x +2+ 1, x y

7 Recta Ecuación general conocidos un punto y la pendiente. APLICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y SU PENDIENTE. EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m, 1.- P ( -2, -1 ) y m R ( 3, 4 ) y m 3.- T ( 1,- 2 ) y m 4.- V ( -,-1) y m -1 EJEMPLO : Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (-3,-1) y pendiente m - 2 Formula: y - y 1 m (x - x 1 ) y ( -1 ) - 2 ( x - (- 3)) y ( x + 3 ), y x - 6, 2x + y Recta Intersección de dos rectas. APLICAR METODO - ECUACIÓNES SIMULTANEAS. EJERCICIOS Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas x - 3y y 3x + 5y x + y y x - 3y x + 3y y 6x - 2y EJEMPLO : Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y y 3x - 4y +5 x + 2y 5 0 igualando en ec. 1 x - 2y + 5, sustituyendo x en ec. 2 3 (- 2y + 5 ) - 4y ; - 6y y y - 4y ; - 10y - 20, y, y 2 Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido x + 2( 2 ) x - 1 0, x 1 por lo tanto ( 1, 2 ). 7

8 Recta Perpendicularidad. APLICAR CONDICIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES PUNTO MEDIO. EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento indicado y es perpendicular a la recta : 1.- A ( 1, 4 ), B ( -3, -5 ). y recta 3x 4y C ( - 7,- 9 ), D ( 1, 0 ). y recta 8x + 7y E ( 8, - 10), F ( -2, -4 ). y recta x + 9y G ( - 6,11 ), H ( -6,11 ). y recta 6x 2y EJEMPLO : Encontrar la ecuación general de la recta l 1 que pasa por el punto medio del segmento A (2,-4), B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y 5 0 FORMULA x, y x y , Pm ( -0.05,1 ) Para la pendiente Para la pendiente de ml 1 5x - 5y Ax + By + C 0 m, m 1, m l 1-1 Para encontrar la ecuación de l 1 FORMULA y- y 1 m ( x - x 1 ), sustituyendo y ( x -1) y x + 1, x + y , 1x + y

9 Ecuación de la circunferencia APLICAR ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIOS. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y pasa por el punto indicado. 1.- Centro ( 0, 2 ) y punto Q ( -3,-6 ). 2.- Centro ( -4, -6 ) y punto S ( 10, -1). 3.- Centro ( -5, 5 ) y punto U ( - 2,- 4). 4.- Centro ( 8, - 9 ) y punto W ( 1, 7 ). EJEMPLO : Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 0,1 ) y pasa por el punto P 1 (- 1,- 2 ). Formula: d (x x ) (y y ) , Ecuación de la circunferencia ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2 PARA ENCONTRAR EL RADIO (x 1, y 1 ) ( 0, 1) y (x 2, y 2 ) ( -1,-2 ) r, r, r unidades PARA ENCONTRAR LA EC. GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA ( x 0 )² + ( y 1 )² ( )² x² +y² - 2y +1 10, x² +y² - 2y , x² +y² - 2y

10 Ecuación de la circunferencia APLICAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN EJERCICIOS. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y radio indicado: 1.- Centro ( 0, -2 ) y r Centro ( -6, -4 ) y r Centro ( 5, - 5 ) y r Centro ( -9, 8 ) y r EJEMPLO : Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( -5,3 ) y radio r 4 Formula: ( x h ) 2 + ( y - k ) 2 r 2 ( x (- 5)) 2 + ( y - 3 ) ( x + 5 ) 2 + ( y - 3 ) 2 16 x² +10x y² - 6y x² +y² + 10x - 6y x² +y² + 10x - 6y

11 Recta - Angulo entre dos rectas - Intersección de rectas EJEMPLO. Aplicar Pendiente, ángulo de inclinación y ecuaciones simultaneas Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (- 2,1) y ( 0,5) (x 1, y 1 ) (-2,1 ) y (x 2, y 2 ) (0, 5) m ; m 2 ; m 2 EJERCICIO α arc tan 2 ; α Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4,7) y (-3,-7) EJEMPLO. Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m 1-3 y m 2-5 Formula: tan θ, tan θ ; tan θ EJERCICIO θ Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m 1 9 y m 2-8 EJEMPLO. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (-2,1) y P 2 (0,3) y - y 1 y 2 -y x 2 - x (x - x 1 ) ; y - y 1 ( x - ( -2)) y 1 1 ( x + 2 ) ; y - 1 x +2, y x x y EJERCICIOS 1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (-10,-3) y P 2 (5,-4) 2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 ( 0,-5 ) y P 2 ( 7,6 ) 11

12 EJEMPLO. Cuál es la pendiente de la recta 2x + 5y - 1 0? Cuáles son sus intersecciones con los ejes? m - ; A 2 ; B 5 y C -1 m - ; a - ; b - La intersección con los ejes es: ( ) ( ) EJERCICIO. 1.- Cuál es la pendiente de la recta 7x + 12y ? Cuáles son sus intersecciones con los ejes? EJEMPLO. 1.- Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y y 3x - 4y APLICAR ECUACIONES SIMULTANEAS x + 2y 5 0 3x 4y +5 0 Despejando e igualando en ecuación 1, x - 2y + 5 Sustituyendo en ecuación 2, 3(- 2y +5) - 4y ; - 6y y y - 4y ; - 10y - 20, y, y 2 Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido x + 2( 2 ) x - 1 0, x 1, Por lo que el punto de intersección es P i ( 1, 2 ) EJERCICIOS. 1.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 3x - 2y y 3x - 6y Hallar el punto de intersección de las rectas: 7x +12y y 4x 4 y Hallar el punto de intersección de las rectas: x - 3y y 7x - y

13 ANGULO ENTRE DOS RECTAS EJEMPLO Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A (-3,2), B (5,4) y C (2,-5) Graficar. Formula : m m AB m BC m AC Tan de β Tan de α , 1 3(0.25) β , 1 (0.25)( 1.4) α Tan de µ µ , µ ( 1.4) La suma de los ángulos α +β + µ EJEMPLO Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son: A (1,1), B (6,4), y C (3,-7). Graficar. m AB m BC m AC Tan de β (0.6)( 4) , β Donde β ( ), Por lo tanto β

14 Continua ejercicio de pag. 13 Tan de α (3.666)(0.6) , α Tan de µ (3.666)( 4) , µ La suma de los ángulos α +β + µ ANGULO ENTRE DOS RECTAS EJEMPLO. Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar m AB m AC m BC Tan de β ( 0.111)(0.142) 0.257, β Tan de α ( 1)(0.142) 1.331, α Tan de µ ( 0.111)( 1) 0.800, µ La suma de los ángulos α + β + µ EJERCICIOS. 1.- Calcula los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son : A (-5,-3), B (9,-6), y C (1,-9). Graficar 2.- Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar 14

15 Rectas perpendiculares Aplicar Ecuación general recta Punto medio Rectas perpendiculares EJEMPLO. Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento A (2,-4) B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y 5 0 FORMULA x, y x y , Pm ( -0.05,1 ) Para la pendiente Para la pendiente de m l 1 5x - 5y -5 0 Ax + By +C 0 m, m 1, m l 1-1 Para l 1 y - y 1 m (x-x 1 ) y (x -1) y x + 1, x + y , 1x + y EJERCICIOS. 1.- Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento A (-3,8), B (5,-2) y es perpendicular a la recta 9x - 2y Encontrar la ecuación general de la recta que para por el punto medio del segmento A (0,5), B (-3,-1) y es perpendicular a la recta x + y

16 Ecuación de la circunferencia APLICAR ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJEMPLO. Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A (0,5), B (-3,-1) y C (6,- 2). Encontrar el centro y radio de la circunferencia Para A ( 0,5 ) (0) 2 + (5) 2-0D + 5E + F 0 0D + 5E+ F - 25 Ec.1 Para B ( -3,-1 ) (-3) 2 + (-1) 2-3D - 1E + F 0-3D - 1E + F - 10 Ec.2 Para C ( 6,- 2 ) (6) 2 + (-2) 2 + 6D - 2E + F 0 6D - 2E + F - 40 Ec.3 Tomando Ec.1 y Ec.2-1( 0D + 5E + F - 25 ) - 0D - 5E F D - 1E + F D - 1E + F D - 6E 15 Ec.4 Tomando Ec.2 y Ec.3-1(-3D - 1E + F -10 ) 3D + 1E - F +10 6D - 2E + F D - 2E + F D - 1E -30 Ec.5 Tomando Ec.4 y Ec.5 9(-3D - 6E 15 ) - 27D - 54E 135 3( 9D - 1E -30 ) - 27D - 3E E E , E Sustituyendo el valor de E en la Ec.4-3D - 6E 15-3D 6 ( ) 15-3D D D D Sustituyendo E y D en la Ec.1 0D + 5E + F ( ) + F - 25, F - 25, F ; F

17 Sustituyendo valores D, E y F en la ecuación general de la circunferencia. x 2 + y x y Ecuación general Para encontrar el centro y el valor del radio ( x x ) + ( y y ) ( x x ) + ( y y ) ( x ) 2 + (y ) ( x h ) 2 + ( y + k ) 2 r 2, C ( 1.711, ), r Parábola. ECUACIÓN DE LA PARABOLA EJEMPLOS. Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo v (2,-1) y cuyo f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. h 2 FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y k )² 4p ( x h ) k -1 p -1 h + p 1 ( y + 1)² 4( -1 ) ( x 2 ) 2 + p 1 y² + 2y+ 1-4( x - 2) p 1-2 y² + 2y +1-4x + 8, y² - 2y - 4x + 7 p - 1 LR 4 ( - 1 ) LR -4 LR 4 DIRECTRIZ x h p LR І 4p І x 2 - ( - 1) 3 LR 4 Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² - 2y 4x + 7 y² - 2y 4x +7 ( y² + 2y ) - 4x + 7 ( y² + 2y + 1) - 4x ( y + 1)² - 4x

18 Continua de la pag ( y + 1)² - 4 ( x 2 ) por lo tanto p -1, p -1 4 ( y k )² 4p ( x h ), v ( h, k ) f (h + p, k) vértice v ( 2,-1) foco f ( 2-1, -1), foco f (1, -1) h 2 DIRECTRIZ x h p LR І 4p І k - 1 p - 1 x 2 - ( - 1) 3 LR 4 Parábola EJEMPLO. Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (-2,-2) y cuyo foco f (-1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y k )² 4p ( x - h) h - 2 h + p - 1 k p - 1 p 1 p , por lo tanto p 1 ( y + 2)² 4(1) ( x + 2 ) y² + 4y ( x+ 8), y² + 4y + 4 4x + 8 y² + 4y - 4x - 4 0, y² - 4y - 4x + 4 LR 4 (1), LR 4 directriz x EJERCICIOS. 1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (2,-1) y cuyo foco f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. 2.- Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² - 2y 4x Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo foco f (2,-1) y cuya directriz y

19 Elipse. EJEMPLO. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (2, 0) y longitud del eje menor igual a 6. FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, f ( c,0 ) c 2, La longitud del eje es 2b 6 por lo tanto b 3 de modo que a Por lo tanto la ecuación es: 1 Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice con coordenadas v (0, - 4) y distancia focal igual a 2. FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, v ( 0,- a ), La distancia focal es 2c c 1,De las ordenadas de los vértices a 4, de modo que b 2 a 2 c 2 b , b Por lo tanto la ecuación es: 1 EJERCICIOS. 1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (0,-6) y longitud del eje menor igual a Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, longitud del eje mayor igual a 18 y foco f( 0,3) y longitud del eje menor igual a 12 Elipse. EJEMPLO Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x y FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, LR, 1, a 2 25 y b 2 16 por lo tanto a 5, b 4 entonces c c 3, foco f ( 0, 3 ) y f (0, -3 ), los vértices son v ( 0,5 ) y v (0,-5 ), la excentricidad 1, El lado recto LR 19

20 EJERCICIOS. 1.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x 2 + 9y Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 9x 2 + 5y Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. x 2 + 3y Geometría analítica Solís Rodolfo Tercera reimpresión Editorial: Lumaza México 1994 Num. Pág. 197 Bibliográfia. Geometría y Trigonometría Dr. J. A. Baldor Primera edición Publicación Cultural Num. Pág. 405 Algebra A. Baldor Publicación Cultural Edición 1983 Núm. Pág. 198 Consulta matemático Lic. L. Galdós Editorial: cultural Nap. 994 Matemáticas 3 Eduardo Basurto Hidalgo Editorial PEARSON Primera edición 2010 Núm. Pág