MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 3: Sucesiones LibrosMareaVerde.tk

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1 MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

2 0 Sucesioes Ídice. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. DEFINICIONES.. FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN.. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.. TIPOS DE SUCESIONES: CONVERGENTES, DIVERGENTES Y OSCILANTES.. SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.6. MONOTONÍA Y ACOTACIÓN.7. APLICACIONES DE LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.. REFLEXIONES SOBRE EL INFINITO.. CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES DE SUCESIONES.. EL NÚMERO e.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMO Resume Qué tiee e comú coceptos ta dispares como el úmero de coejos hijos egedrados por ua pareja de coejos, la estructura de u copo de ieve o el iterés que obteemos al depositar determiada catidad de diero e ua etidad fiaciera? Detrás de estos casos os ecotramos co el cocepto de sucesió. Las sucesioes uméricas tiee gra importacia y utilidad e muchísimos aspectos de la vida real, alguo de los cuales irás descubriedo a lo largo de este capítulo. Además reflexioamos sobre el ifiito, qué se etiede por límite de ua sucesió? Ya los griegos se pregutaba si algo co u úmero ifiito de sumados podía dar u resultado fiito, como e la célebre Paradoja de Aquiles y la tortuga. E el capítulo de úmeros reales hemos mecioado al úmero e. Ahora lo vamos a defiir y aalizaremos alguas de sus aplicacioes. Lo utilizaremos para trabajar co los logaritmos y sus propiedades. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

3 0 Sucesioes. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes Ua sucesió de úmeros reales es ua secuecia ordeada de úmeros. Ejemplo: Las siguietes secuecias so sucesioes: a),,,,, 6, b),, 6, 8, 0,, c),,,,,,... 6 Defiició: Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació etre los úmeros aturales y los úmeros reales: f: N R Ejemplo: a E el ejemplo aterior, la sucesió,, 6, 8, 0,, la podemos ver como: 6 8 auque la otació que usamos ormalmete para decir que a le correspode es utilizar el térmio geeral de ua sucesió: b =. f: N R b = de la misma forma la sucesió,,,,,,... se puede escribir como: 6 f: N R c = / Se llama térmio de ua sucesió a cada uo de los elemetos que costituye la sucesió. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

4 0 Sucesioes Ejemplo: E la sucesió a) tedríamos que: a =, ya que es el térmio de la sucesió que ocupa el quito lugar. E la sucesió b), el tercer térmio, se deotaría b y correspodería al 6 E la sucesió c), por ejemplo c = Lo realmete importate a la hora de ombrar los térmios de ua sucesió es el subídice porque deota el lugar que ocupa e la sucesió. Las letras co las que se desiga la sucesió so distitas para sucesioes distitas y suele ser letras miúsculas. Auque ua sucesió es ua fució, usualmete o se utiliza la otació de fució sio que úicamete se escribe su térmio geeral. Se llama térmio geeral de ua sucesió al térmio que ocupa el lugar ésimo y se escribe co la letra que deote a la sucesió (por ejemplo a) co subídice : (a ) Ejemplo: E los casos que estamos cosiderado, los térmios geerales de las sucesioes so: a =, b = y c = /. Actividades resueltas E las sucesioes ateriores, observamos que: a 0 = 0, b = 6 y c 7 = 7 Actividades propuestas. Escribe los diez primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) 7, 0,, 6, b),, 0, 7, c),,, 7, d) 0,, 8,,. Escribe el térmio que ocupa el lugar 00 de cada ua de las sucesioes ateriores.. Sabemos que u cuerpo co desidad suficiete que cae libremete sobre la Tierra tiee ua velocidad que aumeta 9 8 m/s. Si e el primer segudo su velocidad es de 0 m/s, escribe e tu cuadero la velocidad e los segudos idicados e la tabla. Observas algua regla que te permita coocer la velocidad al cabo de 0 segudos? Represeta gráficamete esta sucesió. Tiempo e segudos 0 Velocidad e m/s 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

5 0 Sucesioes.. Formas de defiir ua sucesió Existe varias formas de defiir ua sucesió:. Dado ua propiedad que cumpla los térmios de esa sucesió Ejemplo: Sucesió de los úmeros pares:,, 6, 8, 0, Sucesió de los úmeros primos:,,, 7,,.. Sucesió de los úmeros aturales acabados e 7: 7, 7, 7, 7,... Sucesió de los cuadrados de los úmeros aturales:,, 9, 6, Sucesió de los cubos de los úmeros aturales:, 8, 7, 6,. Dado su térmio geeral o térmio ésimo: Es ua expresió algebraica e fució de. Ejemplo: a = + Sabiedo esto, podemos costruir los térmios de la sucesió si más que sustituir por los úmeros aturales. Así, tedríamos: a = + = 6 a = + = 9 a = + = a = + =.. d = () d = () = d = () = d = () = d = () = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

6 06 Sucesioes. Por ua ley de recurrecia: Es ua expresió que permite obteer u térmio a partir de los ateriores. Ejemplo: La sucesió:,,,,, 8,,,, coocida como Sucesió de Fiboacci se obtiee co la siguiete ley de recurrecia: a = a =, a = a + a Es decir, cada térmio, salvo los dos primeros, se obtiee como suma de los dos ateriores.. No siempre se puede defiir la sucesió por los métodos ateriores Ejemplo: La sucesió formada por las cifras decimales de :,,,, 9,, Forma ua sucesió pero igoramos la propiedad, la fórmula del térmio geeral o la ley de recurrecia que os permita, por ejemplo, coocer la cifra que ocupa el lugar u trilló. Hoy, co ayuda de los ordeadores, ya sabes que se ha logrado coocer muchas de las cifras de, e 0 más de dos billoes. Actividades resueltas Sea la sucesió de térmio geeral: a = +. Sus cico primeros térmios so: a = 6, a = 8, a = 0, a =, a =. Dada la sucesió e forma recurrete: a =, a = a + Sus cuatro primeros térmios so: a = (ya viee dado), a = + =, a = + =, a = + = 7 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

7 07 Sucesioes Actividades propuestas. Escribe los cuatro primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) a = + b) b = c) c =, c = c + d) d =, d =, d = d + d. Escribe la expresió del térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) {,,,,,,,, } b) {0,, 8,,,, } c) {,, 6, 8, 0, } d),, 0 7, 7 9, 6, E ua sucesió el primer térmio es y los demás se obtiee sumado al térmio aterior. Hallar los 0 primeros térmios de la sucesió. 7. Escribe el térmio geeral de las sucesioes: a) 6, 8,, 6, b),, /, 6/, 7/, c) 7, 0 7, 0 07, 0,007, d),, 8,,, 8. U satélite artificial se puso e órbita a las 0 horas y 0 miutos. Tarda e dar ua vuelta completa a su órbita 90 miutos. A) Completa e tu cuadero la tabla adjuta. B) Escribe ua expresió geeral que te permita coocer la hora e que ha completado la vuelta ésima. C) Busca ua expresió que te permita coocer la hora e fució de la hora de la órbita aterior. D) Busca ua expresió que te permita coocer la hora e fució de la primera. E) Cuátas vueltas completas habrá dado 0 días más tarde a las 9 horas? Nº de órbitas 6 Hora e la que la ha completado Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

8 08 Sucesioes.. Progresioes aritméticas y geométricas Ya cooces de cursos ateriores dos tipos de sucesioes, las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas. Recuerda que: Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros reales e la que la diferecia etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. A esta costate se le llama diferecia de la progresió y se suele deotar co la letra d. Es decir, cada térmio se obtiee sumado al aterior la diferecia, d: Ejemplo: a + = a + d Si a = y d = los cico primeros térmios de la progresió aritmética so: a =, a = a + d = + = a = a + d = + = 8 a = a + d = 8 + = a = a + d = + = Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es costate. A esta costate se deomia razó de la progresió y se suele deotar co a la letra r. Es decir, r siedo u úmero atural y siempre que a sea distito de cero. a O lo que es lo mismo, cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por la razó r: Ejemplo: a + = a r U padre plaea meter e ua hucha el día que su hijo recié acido cumpla u año y duplicar la catidad e cada uo de sus cumpleaños. Cuáto debe meter e la hucha el día que su hijo cumple años? La sucesió cuyos térmios so el diero que mete e la hucha cada año es: {,,, 8, 6, }. Cuado cumple años debe meter e la hucha 6 euros. Observamos que los térmios de la sucesió va aumetado de forma que cada térmio es el aterior multiplicado por. Este tipo de sucesioes se llama progresioes geométricas. Recuerda que: El térmio geeral de ua progresió aritmética es: a = a + ( ) d El térmio geeral de ua progresió geométrica es: a = a r Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

9 09 Sucesioes La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética viee dada por: S ( a a El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dado por: P = a a = a r La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dada por: r a a a S = = ( r ) siempre que r. r r Actividades resueltas El térmio de la progresió aritmética co a = 7 y d = es: ). a = a + ( ) d = 7 + = 7 + = 9. La suma de los primeros térmios de esa progresió es: ( a a) (7 9) S 6. El térmio de la progresió geométrica {,,, 8, 6, } es: a = a r = = 6 El producto de los primeros térmios de esa progresió es: P = a a (6) La suma de los primeros térmios de esa progresió es: r a a 6 S =. r Actividades propuestas 9. Escribe los primeros térmios de las sucesioes siguietes e idica si so progresioes aritméticas, progresioes geométricas o de otro tipo. a) a = b) a = + 7 c) a = ( ) d) a 0. E las sucesioes del problema aterior que sea progresioes aritméticas, calcula la suma de los 6 primeros térmios.. E las que sea progresioes geométricas, calcula el producto de los 6 primeros térmios y la suma de los 6 primeros térmios. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

10 0 Sucesioes.. Tipos de sucesioes: covergetes, divergetes y oscilates Actividad resuelta Teemos e la mao u cuadrado de papel de área. Cortamos las cuatro esquias por los putos medios de los lados. El uevo cuadrado, qué área tiee? Dejamos los recortes ecima de la mesa. Qué área de recortes hay sobre la mesa? Co el uevo cuadrado que teemos e la mao efectuamos la misma operació de cortar las cuatro esquias y dejarlas sobre la mesa, y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Y los recortes que queda sobre la mesa? Halla la suma de las ifiitas áreas de recortes así obteidas. El área del primer cuadrado os dice que mide u. Al cortar las cuatro esquias el uevo cuadrado tiee u área de / u. Dejamos sobre la mesa las cuatro esquias, por lo que estamos dejado sobre la mesa u área / u. Volvemos a cortar las cuatro esquias, y así sucesivamete. E la mao teemos las siguietes áreas:, /, /, /8, Teemos cada vez meos papel e la mao. Algua vez os quedaremos si ada de papel e la mao? Si siempre cortamos la mitad de lo que os queda, uca llegamos a teer 0. Ecima de la mesa vamos dejado las siguietes áreas: /, / + /, / + / + /8 + Y la catidad de papel que teemos sobre la mesa? Sumamos y sumamos trocitos de papel, pero uca tedremos más del iicial,, y i siquiera llegaremos uca a teer. Actividades resueltas Hay sucesioes como la progresió geométrica, /, /, /8, /6, de razó /, co térmio geeral: a = (/) que se acerca a u cierto úmero real, auque puede ocurrir que uca llegue a alcazarlo. Esta progresió geométrica tiede a 0. Decimos etoces que es covergete, que coverge a 0, o que su límite es 0: lím a lím 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

11 Sucesioes La sucesió a i, o coverge a. es covergete, tiee como límite lím a lím i Otras sucesioes como la progresió geométrica,,,,,, de razó, co térmio geeral a = () + o se acerca a u úico valor, sio que oscila etre y. No tiee límite. Se dice que es ua sucesió oscilate. Otras sucesioes, como la progresió geométrica,, 8, 6, de razó, co térmio geeral a = o se acerca a u úmero real, sio que crece y crece idefiidamete. No tiee límite. No es covergete. Al aumetar los valores de la sucesió puede superar a cualquier úmero por grade que éste sea. Se dice que su límite es ifiito y que la sucesió es divergete. lím a lím. Recuerda que: Las sucesioes puede ser covergetes, si tiee como límite u úmero L, divergetes, si tiede a ifiito, y oscilates... Mootoía y acotació Actividades resueltas La sucesió,, 8, 6, es moótoa creciete pero o está acotada. La sucesió,,,,,, o es moótoa, pero si está acotada. La sucesió, /, /, /8, /6, es moótoa decreciete y está acotada. La sucesió /, / + /, / + / + /8 + es moótoa creciete y está acotada. A la vista de estos ejemplos vamos a defiir cuádo ua sucesió es moótoa y cuádo está acotada. Defiició: Ua sucesió a está acotada si existe k tal que a < k para todo. Defiició: Ua sucesió a es moótoa creciete e setido estricto si para todo se verifica que a < a +. Ua sucesió a es moótoa decreciete e setido estricto si para todo se verifica que a > a +. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

12 Sucesioes.6. Suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica Actividades resueltas E la actividad resuelta del apartado aterior vimos que la catidad de papel que dejábamos sobre la mesa: a = / + / + /8 + + /, se aproximaba a tato como quisiéramos, pero uca iba a ser. Esto es ua idea difícil! Los griegos tardaro e comprederla. Puedes leer sobre ello e la revista la Paradoja de Zeo de Aquiles y la tortuga. No compredía cómo ua suma ifiita, es decir, co ifiitos sumados, podía dar u resultado fiito, e uestro caso,. Recuerda que: lím Este resultado ya lo cooces de º de ESO. Vamos a revisar lo que ya cooces: A) Suma de u úmero ilimitado de térmios cosecutivos de ua progresió geométrica Depediedo del valor de r será posible o o obteer la suma de u úmero ilimitado de térmios: a) Si r =, la progresió es la progresió costate formada por el primer térmio: {a, a, a, a } y si a es positivo la suma de los térmios será cada vez mayor. Si fuera a egativo sería la suma cada vez mayor e valor absoluto, pero egativa. Por tato, si el úmero de térmios es ilimitado, esta suma es ifiita. Es divergete. b) Si r >, los térmios crece idefiidamete y el valor de la suma para u úmero ilimitado de térmios, tambié es ifiito. Es divergete. c) Si r <, la suma de sus térmios se aproxima, cuado es grade, a a S r. Observamos que la suma o depede del úmero de térmios, ya que al hacerse cada vez más pequeños, llega u mometo e que o se cosidera. Es covergete. d) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos: {a, a, a, a, } y S es igual a cero si es par, e igual a a si es impar. La suma de la serie oscila etre esos dos valores para u úmero fiito de térmios. Para u úmero de térmios ilimitado o sabemos si es par o impar, co lo que la suma o se puede realizar a o ser que a 0, caso e que a S 0. E el resto de r los casos decimos que la suma de ifiitos térmios o existe pues su valor es oscilate. e) Si r <, los térmios oscila etre valores positivos y egativos, creciedo e valor absoluto. La suma de sus ifiitos térmios o existe pues su valor tambié es oscilate. E resume, La suma de u úmero ilimitado de térmios de ua progresió geométrica de primer térmio o ulo sólo toma u valor fiito si r <, y etoces viee dada por: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

13 Sucesioes a S. r E el resto de los casos, o vale ifiito y es divergete, o o existe pues oscila. Actividades resueltas Calcula la suma de todos los térmios de la progresió geométrica cuyo primer térmio es y la razó /. a S = r E ua progresió geométrica la razó es / y la suma de todos sus térmios es 8. Cuáto vale el primer térmio? Despejamos a de: Actividades propuestas = 8 a S y: a = S ( r) = 8 ( /) = 6 r. Calcula la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 6,, /, /,. Teemos u cuadrado de área e la mao, y lo cortamos por las líeas de putos como idica la figura. El trozo mayor lo dejamos sobre la mesa y os quedamos e la mao co el cuadrado, al que volvemos a cortar de la misma forma. Y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Crece o dismiuye? Escribe el térmio geeral de la sucesió de áreas que teemos e la mao. Y los recortes que queda sobre la mesa? Crece el área sobre la mesa o dismiuye? Vamos sumado áreas, calcula la suma de estas áreas si hubiéramos hecho ifiitos cortes.. El error de Euler: Euler fue u gra matemático, pero se ecotró co el siguiete problema. Quizás tú seas capaz de ayudarle a resolverlo. Hizo la siguiete suma, dode r es u úmero positivo: r r... r... r r r a Primero sumó la primera parte, aplicado la fórmula S : r r r r r r r r r r Luego la seguda: r r... r... r Y al sumar ambas obtuvo: 0, que evidetemete está mal pues la suma de ifiitos r r úmeros positivos o puede ser 0. Dóde está el error? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

14 Sucesioes.7. Aplicacioes de las progresioes geométricas Fracció geeratriz El curso pasado estudiaste cómo pasar de u decimal periódico puro o periódico mixto a ua fracció. Ahora vamos a utilizar las progresioes geométricas para que compredas mejor el proceso. Ejemplo: Si teemos u úmero decimal periódico puro, lo podemos escribir como: '7 = O lo que es lo mismo: dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <, cuya 00 suma ifiita vale: S a. Por tato: r = = + = + = Si teemos u úmero decimal periódico mixto, se utiliza u proceso similar: O lo que es lo mismo: 8 = E este caso, los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = 0 <. Por tato: = = + + = Nota Co este proceso estamos ilustrado el cocepto de fracció geeratriz como aplicació de las progresioes geométricas, pero a efectos prácticos, es más cómodo efectuarlo segú el proceso que ya cooces. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

15 Sucesioes Capitalizació compuesta Ya cooces el iterés compuesto pero vamos a revisarlo a la vista de las progresioes geométricas. Si depositamos e ua etidad fiaciera ua catidad de diero C 0 durate u tiempo t y u rédito r dado e tato por uo, obtedremos u beeficio I = C 0 r t llamado iterés. La pricipal característica de la capitalizació compuesta es que los itereses que se geera e u año, pasa a formar parte del capital iicial y produce itereses e los periodos siguietes. Etoces: Al fial del primer año, el capital será el capital iicial C 0 juto co los itereses producidos durate ese año. Es decir: C = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C 0 ( + r) Al fial del segudo año, el capital que tedremos será el capital que teíamos al fializar el primer año más los itereses producidos ese segudo año. Es decir: C = C + C r = C ( + r) = C 0 ( + r) ( + r) = C 0 ( + r) Observado los capitales obteidos: C, C,, C cocluimos que se trata de ua progresió geométrica de razó ( + r). Por tato: El año ésimo, tedremos: El capital fial obteido después de años dado u capital iicial C 0 y u rédito r dado e tato por uo, es: C = C 0 ( + r) Actividades resueltas Veamos la fracció geeratriz de, como aplicació de las progresioes geométricas. O lo que es lo mismo:, = + 0, + 0,00 + 0, dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <, cuya 00 suma ifiita vale: a S. Por tato: r + 00 = = + = + = = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

16 6 Sucesioes Depositamos e u baco 00 al % de capitalizació compuesta durate tres años. Cuáto diero tedríamos al fializar el tercer año? Utilizamos la expresió: C t = C 0 ( + r) t dode C 0 = 00, r = 0,0 pues es el tato por uo y t = años. Por tato: C t = C 0 ( + r) t = 00( + 0 0) = Actividades propuestas. Calcula la fracció geeratriz del úmero U empresario acude a ua etidad fiaciera para iformarse sobre cómo ivertir los 6000 de beeficios que ha teido e u mes. Le platea dos opcioes: Mateer ese capital durate años al % aual o recibir el % del capital durate los dos primeros años y el % los tres años restates. Qué opció le iteresa más? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

17 7 Sucesioes. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.. Reflexioes sobre el ifiito Cuado e el uso de los pricipios del etedimieto o os limitamos a aplicar uestra razó a objetos de la experiecia, sio que os atrevemos a extederla más allá de los límites de ésta, se origia demostracioes que o espera cofirmació e la experiecia i puede teer refutació El ifiito, como igú otro problema, siempre ha comovido profudamete el alma de los seres humaos. El ifiito como igua otra idea, ha teido ua ifluecia estimulate y fértil e la mete. Pero el ifiito ecesita, más que igú otro cocepto, clarificarse David Hilbert Vamos a reflexioar u poco sobre el ifiito matemático. Reflexió : U juego Dos amigos u poco aburridos, Daiel y Jorge, decide jugar a u juego que cosiste e que Daiel escriba úmeros y Jorge los borre. El procedimieto propuesto por Daiel es: A las cico meos u miuto yo escribo los úmeros y, y tú borras el. A las cico meos medio miuto yo escribo y, y tú borras el. A las cico meos u tercio de miuto yo escribo y 6 y tú borras el. Y así sucesivamete. Naturalmete juega co la imagiació. Daiel preguta a Jorge: A las cico meos ua cetésima de miuto, cuátos úmeros te quedará por borrar? Y a las cico meos ua milloésima de miuto? E qué mometo borrarás el úmero 000? Hay algú úmero que o puedas borrar ates de las cico? Ayuda a Jorge a respoder. Reflexió : El hotel ifiito Para el dueño de u hotel es u disgusto teer que decir a u cliete que o le queda habitacioes. Pero, qué ocurriría si el hotel tuviera ifiitas habitacioes umeradas,,,,? Imagia que el hotel está completo y llega u uevo cliete, cómo lo alojarías? Muy fácil. El dueño pasa al cliete de la habitació a la, al de la a la, al de la a la y de este modo le queda libre la habitació. Y si llegara 00 clietes más? Y si mil? Muy fácil, Pasa al cliete a la habitació 0 dejado libres las 00 primeras habitacioes. E el segudo pasa al cliete de la habitació a la habitació 00 dejado libres las 000 primeras habitacioes. Y si llegara tatos clietes como hay? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

18 8 Sucesioes E el último caso tiee que pesar u poco más. Ya está! Pasa al cliete a la habitació, al a la habitació =, al a la habitació = 6, y así sucesivamete. Le queda ocupadas las habitacioes pares y libres todas las impares. Reflexió : La tabla de Caratheodory Teemos la siguiete tabla ifiita: 0 / / /8 /6 / 0 / / /8 / / 0 / / /8 / / 0 / /6 /8 / / 0. Sabemos que e ua tabla, si sumamos primero todas las filas y luego por columas, os debe dar lo mismo que si primero sumamos todas las columas y luego las filas. Pero esta tabla es ifiita. Mira lo que sale! Al sumar por filas, ya sabemos que la primera fila suma. Ve sumado las otras filas y luego los resultados de las sumas por filas. Ahora empieza a sumar por columas. Y luego los resultados de las sumas por columas. Por último suma por diagoales. Te sorprede el resultado? Cojutos fiitos y cojutos ifiitos Los cojutos fiitos tiee propiedades que o tiee los cojutos ifiitos. Al reflexioar sobre las cuestioes ateriores te habrás dado cueta que propiedades muy evidetes de los cojutos fiitos, o las cumple los cojutos ifiitos. U cojuto A es fiito si o es posible establecer ua correspodecia biuívoca etre A y ua parte de A, distita del propio A. Al úmero de elemetos de u cojuto fiito lo llamamos su cardial. Pero como hemos visto e el hotel co ifiitas habitacioes, e u cojuto ifiito podemos establecer ua correspodecia biuívoca etre el cojuto de los úmeros aturales, N, y el cojuto de los úmeros pares, P, que es ua parte de los aturales y distita de N. Co el Hotel ifiito hemos visto que + =, + 00 =, = e icluso + =. El cardial de los úmeros aturales se deomia ifiito umerable y es el mismo que el de los úmeros eteros, Z, y el de los úmeros racioales, Q. Si embargo el ifiito de los úmeros irracioales y el de los úmeros reales es mucho mayor, es la potecia del cotiuo. No es posible establecer ua correspodecia biuívoca etre los úmeros racioales y los úmeros reales del itervalo (0, ). Co la Tabla de Caratheodory hemos comprobado que hay otras propiedades que o se verifica. No se verifica la propiedad asociativa, y al agruparlos de distitas formas se obtiee resultados diferetes. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

19 9 Sucesioes.. Cálculo de alguos límites No hay u procedimieto geeral e ifalible que permita coocer si ua sucesió es covergete y calcular su límite. E el capítulo dedicado a límite de fucioes aprederás co mayor rigor el cocepto de límite de ua fució (las sucesioes so fucioes) y uevos procedimietos que podrá servirte para calcular el límite de las sucesioes, pero tedrás que teer cuidado co que las sucesioes o so fucioes cotiuas. La represetació gráfica de ua sucesió, al ser ua aplicació de los úmeros aturales e los úmeros reales, está formada por putos sueltos. Ya hemos calculado alguos límites como: La sucesió /, /, /8,, /, tiee u úmero ifiito de térmios, pero tiee límite, se acerca a 0 tato como queramos, y ese límite es u úmero fiito, 0. La sucesió,, 8,,, tiee u úmero ifiito de térmios, pero o tiee límite, podemos ecotrar térmios de la sucesió ta grades como queramos. Es divergete. Tiede a ifiito. La suma / + / + /8 + / es ua suma de ifiitos térmios. Qué quiere decir sumar ifiitos térmios? Lo que queremos decir co ello es que esa suma coverge a (e el caso de la catidad de papel que teíamos sobre la mesa, esto quiere decir que podemos teer sobre la mesa ua catidad de papel ta próxima a como queramos). Vamos ahora a calcular alguos límites secillos. Actividades resueltas La sucesió a tiee como límite /. Para comprobarlo le damos a valores muy grades y observamos que podemos acercaros a / tato como queramos: a 0 0' ' ' Es atural que para valores muy grades de el del umerador y el del deomiador ya ifluya muy poco comparados co y co. Por ello podemos decir que: Actividades propuestas 7. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) a b) lím a lím lím lím. a ( ) 7 c) a d) a. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

20 0 Sucesioes Actividades resueltas La sucesió La sucesió La sucesió Comprobamos, utilizado la calculadora y dado valores grades a que: a tiee como límite 0. a tiee como límite. a o es covergete, tiede a ifiito. La sucesió a o es covergete, es la sucesió:,, 7, 6, y tiede a ifiito. Actividades propuestas 8. Calcula el límite de las sucesioes siguietes, si es que lo tiee: a) b) a 6 a 7 c) a d) a 6 9. Escribe ua sucesió cuyo límite sea, y otra de límite Calcula el límite de las sucesioes siguietes, si es que lo tiee: a) lím 6 b) lím 7 7 c) lím 6 d) lím Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

21 Sucesioes.. El úmero e Vamos a defiir el úmero e como el límite de ua sucesió, pero ates vamos a aalizar situacioes que ya cooces que os ayude a comprederlo. Situació : Crecimieto de uas algas Los residuos vegetales de las calles y jardies de Madrid se lleva a la plata de compostaje de Migas Calietes, dode se obtiee compost que, de uevo, se utiliza para aboar estos jardies. Allí se ivestiga sobre la forma e que los microorgaismos se reproduce y actúa co más rapidez trasformado los restos de poda e compost. Imagia que si somete ua catidad C de microorgaismos (bacterias y Plata de compostaje de Migas Calietes, Madrid hogos) a u determiado proceso durate u mes estos se ha icremetado y se obtiee ua catidad doble, C + C = C de microorgaismos. Acelera el proceso, añadiedo por ejemplo más oxígeo, de forma que dure sólo medio mes, pero se obtiee sólo la mitad, C + C/ = C( + /) auque etoces se realiza dos ciclos e u mes por lo que al fial del mes se obtiee ua catidad de microorgaismos de C( + /) + (/)(C( + /)) = C( + /) de microorgaismos al fial del mes. Y si realiza cico ciclos al mes, obteiedo e cada ciclo la quita parte? Primer ciclo: C + C/ = C( + /) Segudo ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Tercer ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Cuarto ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Quito ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) E geeral si se hace ciclos al mes obteiedo e cada ciclo / de la catidad tratada, al fial del mes teemos ua catidad C( + /) de microorgaismos. Observa que al aumetar el úmero de ciclos, aumeta la catidad de microorgaismos, pero hay u límite o crece hasta el ifiito? Situació : Iterés compuesto Ya hemos estudiado el iterés compuesto. Si u capital C se poe a u iterés del % aual durate u año, al fial del año se obtiee C + 0 0C = C( + 0 0). Si los itereses se acumula cada medio año al cabo del año se obtiee C( + 0 0/), y si es cada cuarto de año (cada trimestre) se tiee C( + 0 0/). E geeral si el año se divide e itervalos se obtedría: C( + 0 0/) Podría uo hacerse milloario e u año ivirtiedo 00 euros e esas codicioes? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

22 Sucesioes Situació : La espiral La figura del marge es la cocha del Nautilus. Forma ua espiral que se llama espiral equiagular, logarítmica, geométrica Dibuja ua teiedo e cueta que cuado sus águlos cetrales está e progresió aritmética, sus radios está e progresió geométrica. Marca u puto O. Toma ua uidad OA =. Marca los águlos cetrales de AOB = 0º; AOC = 80º, AOD = 0º Sobre la recta que cotiee a O y a B, marca B a ua distacia de. OB = OA. Marca C (sobre OC) a ua distacia de OC = OB = OA Pero si el águlo fuera 0º/, el radio habría que multiplicarlo por /. De esta forma obtedríamos uevos putos. Estamos viedo que e distitas situacioes aparece sucesioes parecidas: Defiició: C( + /), C( + 0 0/). Se defie el úmero e como e lím. Es el límite de ua sucesió! Si damos a valores (co ua calculadora o u ordeador) podemos aproximarlo:,, 7,,, Para = 00 obteemos 708. Para = 000 obteemos 76. Para igual a u milló, 788 Utilizamos el desarrollo de u biomio por Newto. Recuerda: ( a b) a a b a Como a = a =, y b = /, teemos que: b a b... b Tomamos límites ( ) ( ) ( )( )!!......!!!... = = Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

23 Sucesioes e lím......!!!! Resulta que e tambié es la suma de ua serie. Ahora el valor de e lo obteemos de ua forma mucho más rápida. Nos basta la suma de 8 térmios para obteer cico cifras decimales de e, mietras que co la sucesió los obteíamos co igual a u milló. e 788 e es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas. Ahora ya sabemos resolver las situacioes de partida: la catidad de microorgaismos de la plata de compostaje si se aumeta el úmero de ciclos e u mes, tiede a Ce C 788. Nuca llegaría a triplicar la catidad C de microorgaismos. E la situació de iterés compuesto, os pregutábamos si podría uo hacerse milloario e u año ivirtiedo 00 euros e esas codicioes. Teemos que calcular el límite: 0'0 0'0 lím lím 00e No os hacemos milloarios. Pero vamos a apreder a calcular estos límites. 0'0 Límites tipo e E geeral para calcular el límite: A lím Vamos completado la defiició de e, dividiedo primero por A. El deomiador /A tiede a ifiito, y lo completamos e el expoete, multiplicado y dividiedo por /A. A lím lím A lím Esta técica podemos usarla si teemos u límite co u expoete que tieda a ifiito y cuya base tieda a, lo que llamamos ua idetermiació tipo. A A A e A Actividades resueltas Calcula el límite: lím Primero comprobamos que es u límite tipo e, el expoete tiede a ifiito, y la base: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

24 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF Sucesioes, tiede a. Queremos completar el primer de la defiició de e, para lo que teemos que dividir: Para coseguir el segudo, dividimos por. Hacemos que el expoete coicida co. ) ( ) ( lím lím lím lím El límite de la base hemos coseguido que sea e. El límite del expoete sabemos calcularlo: 8 8 ) ( Por tato: e e e lím. Actividades propuestas. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) a 6 b) a c) 7 a d) a

25 Sucesioes.. Fució expoecial y fució logaritmo Fució expoecial E º de ESO (ºB) ya has estudiado la fució expoecial y la fució logaritmo, pero ahora que cooces mejor el úmero e parece iteresate que aalicemos algo sobre ellas, y resolvamos uevos problemas. La fució expoecial de base e se defie como y = e x. Ahora ya sabes bie qué es lo que sigifica. Alguas de sus propiedades so: x x x x x x. e lím......!!!!. e 0 =, y e x > 0 para todo x.. Es siempre estrictamete creciete, lo que permite resolver ecuacioes expoeciales.. Cuado x tiede a +, e x tiede a +, pero. Cuado x tiede a, e x tiede a 0. Actividades resueltas Resuelve la ecuació: e x+ = e x. Para resolver ecuacioes expoeciales debemos coseguir que las bases sea iguales y basta, etoces, co igualar los expoetes: e x+ = e x x+ = x x =. Actividades propuestas. Calcula /e co tres cifras decimales exactas.. Calcula e co tres cifras decimales exactas. Fució logaritmo La fució logaritmo e base e, es decir, logaritmo eperiao, se defie como: l x = y x = e y Aplicado esa defiició se demuestra que: El logaritmo de es cero (e cualquier base). El logaritmo de la base es. Solo tiee logaritmos los úmeros positivos, es decir, Dom(l) = +. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

26 6 Sucesioes Cuado x tiede a +, l x tiede a +. Cuado x tiede a 0, l x tiede a. Es siempre estrictamete creciete, lo que permite resolver ecuacioes logarítmicas. Propiedades de los logaritmos El logaritmo de u producto (e cualquier base) es igual a la suma de los logaritmos de sus factores. log (ab) = log(a) + log(b) El logaritmo de u cociete (e cualquier base) es igual al logaritmo del dividedo meos el logaritmo del divisor. log (a/b) = log(a) log(b) El logaritmo de ua potecia (e cualquier base) es igual al expoete multiplicado por el logaritmo de la base de la potecia. log (a b ) = blog(a) Actividades resueltas Resuelve las ecuacioes: a) e x+ = e. b) l(x) = l(). Para resolver ecuacioes logarítmicas despejamos el logaritmo e ambos miembros, y luego, igualamos. a) e x+ = e x + = x =. b) l(x) = l() x = x = / =. Actividades propuestas. Calcula el logaritmo eperiao de /e y de e.. Resuelve la ecuació l(x + ) + l(x) = 6. Resuelve la ecuació: 8 x x =. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

27 7 Sucesioes CURIOSIDADES. REVISTA A) El ivetor del ajedrez Ya vimos e el capítulo sobre potecias la leyeda sobre el ajedrez. Ahora puedes utilizar tus coocimietos sobre progresioes para hacer los cálculos: Cueta la leyeda cómo el ivetor del ajedrez presetó su iveto a u prícipe de la Idia. El prícipe quedó ta impresioado que quiso premiarle geerosamete, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El ivetor del ajedrez formuló su petició del modo siguiete: "Deseo que me etregues u grao de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la seguda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quita, y así sucesivamete hasta la casilla 6". La sorpresa fue cuado el secretario del prícipe calculó la catidad de trigo que represetaba la petició del ivetor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era isuficiete para obteer el trigo que pedía. Qué tipo de progresió se utiliza? Aritmética o geométrica? Cuál es la razó? Cuátos trilloes de graos de trigo pedía aproximadamete? Podrías hallar el total de graos de trigo utilizado fórmulas y usado la calculadora? Potecias de e el teis Las potecias de tambié aparece e los toreos de teis. E muchos toreos se efreta los jugadores de la siguiete forma: E la fial juega dos jugadores; e la semifial hay cuatro; e los cuartos de fial hay ocho jugadores. Así, e cada roda adicioal la catidad de jugadores se duplica, tal como ocurría co los graos de trigo e el tablero de ajedrez. Si el toreo tuviera rodas, te imagias cuátos habría? Pues, podría participar casi todos los habitates de España!! y co rodas, podría participar todos los habitates del plaeta!! Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

28 8 Sucesioes Sucesió de Fiboacci Para los que pesáis que es imposible ver Matemáticas fuera del aula y mucho meos e la aturaleza, os presetamos uo de los más bellos coceptos matemáticos estrechamete relacioado co la aturaleza y el arte. Se trata de ua sucesió muy simple, e la que cada térmio es la suma de los dos ateriores. La sucesió comieza por el úmero, Y sigue co,,,, 8,,,,, 89,,, 77, 60, 987, 97, 8, ya que = 0 + ; = + ; = + ; = + ; 8 = + ; = + 8; = 8 + etc. Ua de las propiedades más curiosas, es que el cociete de dos úmeros cosecutivos de la sucesió se aproxima a la llamada secció áurea o divia proporció, que ya cooces, el úmero de oro descubierto por los reacetistas, = 680, que se ombra co la letra griega. La sucesió formada por los cocietes de úmeros cosecutivos de la sucesió de Fiboacci se acerca rápidamete hacia el úmero de oro. Los griegos y reacetistas estaba fasciados co este úmero y lo cosideraba el ideal de la belleza. De hecho, Leoardo da Vici e su obra El hombre de Vitrubio utiliza este úmero para coseguir las perfectas proporcioes de su obra. Cómo puede ser que el cociete de dos úmeros de ua secuecia ivetada por el hombre se relacioe co la belleza? Pues porque la sucesió de Fiboacci está estrechamete relacioada co la aturaleza. Se cree que Leoardo ecotró estos úmeros cuado estudiaba el crecimieto de las poblacioes de coejos. Supogamos que ua pareja de coejos tarda u mes e alcazar la edad fértil, y a partir de ese mometo cada vez egedra otra pareja de coejos, que a su vez egedrará cada mes ua pareja de coejos. Cuátos coejos habrá al cabo de u determiado úmero de meses? Pues sí, cada mes habrá u úmero de coejos que coicide co cada uo de los térmios de la sucesió de Fiboacci. Parece magia, verdad? Pues muchas platas, como las piñas o las margaritas sigue ua disposició relacioada tambié co la sucesió de Fiboacci, lo que ilustra la famosa frase de Galileo La aturaleza está escrita e leguaje matemático. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

29 9 Sucesioes Los griegos y el ifiito El cocepto de ifiito ha costado tiempo y esfuerzo a la humaidad etederlo. Los griegos opiaba que el úmero de graos de area del mudo era ifiito, hasta que Arquímedes escribió el Areario, tratado e el que estimaba ese úmero, que e efecto es muy grade, pero o ifiito. Paradoja de Aquiles y la tortuga E ese mismo setido, los griegos o podría compreder que si sumaba ifiitas catidades les pudiera dar ua catidad fiita. Así aparece la paradoja de Zeó de Aquiles y la tortuga. Aquiles, el de los pies ligeros, echa ua carrera co ua tortuga. Da a la tortuga ua gra vetaja, pogamos L estadios. E poco tiempo Aquiles recorre los L estadios, pero al llegar allí descubre que la tortuga ha avazado u cierto trecho, supogamos que L/0. Avaza de uevo hasta dode se ecotraba la tortuga, pero al llegar, ésta de uevo ha avazado. De este modo Aquiles uca gaará la carrera, pues al llegar a la posició dode se ecotraba la tortuga, ésta ya se ha movido. La experiecia les decía que Aquiles sí alcazaba a la tortuga, pero o lograba comprederlo. Tú ya les podrías ayudar pues ya sabes sumar series ifiitas e progresió geométrica de razó meor que : a S r S = L + L/0 + L/0 + = L 0L 9 0 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

30 0 Sucesioes RESUMEN Cocepto Defiició Ejemplos Sucesió Progresió aritmética Fució etre los úmeros aturales, N, y los reales,.,,,,, 9,. Sucesió de úmeros reales e la que la diferecia d etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. Térmio geeral: a = a k + ( k) d Suma de los primeros térmios: S ( a a ),, 8,,, 7, a = + S 8 = (8/) ( + ( + 8)) = Progresió geométrica El úmero e Es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es costate. Es decir, ai a i r. Térmio geeral: a = a k r -k Suma: S = r a a = r ( a r ), para r r a Suma ifiita: S, para 0 < r <. r Producto: P = a = a r a e lím, 6,,,, /, /, /8 a 8 ( ) S8 76 P 9 = ( 8 ) 9 = ( ) 9 a ( ) S e es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas: e 788 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

31 Sucesioes EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sucesioes. Calcula el térmio que ocupa el lugar 000 de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es igual a y la diferecia es.. El térmio octavo de ua progresió aritmética es y la diferecia /. Halla el primer térmio y el térmio 00.. Calcula los lados de u triágulo rectágulo sabiedo que sus medidas, expresadas e metros, está e progresió aritmética de diferecia.. Calcula la suma de los múltiplos de compredidos etre 000 y La suma de 6 úmeros e progresió aritmética es 8 y el térmio 6 es 60. Halla el primer térmio. 6. El producto de térmios e progresió geométrica es 8 y el primer térmio es. Escribe el resto de térmios. 7. Por el alquiler de ua casa se acuerda pagar 700 euros al mes durate el primer año, y cada año se aumetará el alquiler e 0 euros mesuales. Cuáto se pagará mesualmete al cabo de 0 años? 8. El quito térmio de ua progresió geométrica es 8 y el primero es. Halla los cico primeros térmios de dicha progresió. 9. Halla x para que x, x +, (x + ) esté e progresió geométrica. 0. A ua cuerda de 0 m de logitud se le da dos cortes, de modo que uo de los trozos extremos tiee ua logitud de 0 m. Sabiedo que las logitudes de los trozos está e progresió geométrica, determia la logitud de cada trozo.. Halla la fracció geeratriz del úmero decimal 0..., como suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada.. Se tiee ua cuba de vio que cotiee litros. El de diciembre se vació la mitad del coteido; al día siguiete se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamete todos los días. Qué catidad de vio se sacó el día de diciembre?. Dado u cuadrado de m de lado, uimos dos a dos los putos medios de sus lados; obteemos u uevo cuadrado, e el que volvemos a efectuar la misma operació, y así sucesivamete. Halla la suma de las ifiitas áreas así obteidas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

32 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF Sucesioes. Triágulo de Sierpiski: Vamos a costruir u fractal. Se parte de u triágulo equilátero. Se ue los putos medios de los lados y se forma cuatro triágulos. Se elimia el triágulo cetral. E cada uo de los otros tres triágulos se repite el proceso. Y así sucesivamete. A la figura formada por iteració ifiita se la deomia Triágulo de Sierpiski, y es u fractal. A) Imagia que el primer triágulo tiee u área A. Cuado aplicamos la primera iteració, el área es (/)A. Y e la seguda? Escribe la sucesió de las áreas. Es creciete o decreciete? B) Imagia ahora que la logitud de cada lado del triágulo iicial es L. Escribe la sucesió de las logitudes. Es creciete o decreciete? Límite de sucesioes. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 c) a d) 7 a 6. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 c) a d) 7 a 7. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 7 c) a 8 0 d) 7 a 8. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a 6 7 c) a 8 0 d) 7 a 9. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) 7 6 a c) 8 a 0. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) a c) 8 a. Calcula el límite de las sucesioes siguietes: a) 6 a b) 6 a c) a

33 Sucesioes Expoecial y logarítmica. La població de peces de ua piscifactoría sigue u modelo de crecimieto expoecial y ha pasado de 00 ejemplares a 00 e 60 días. Qué població tedrá e 00 días?. Igresamos e u baco euros al % de iterés compuesto aual. E cuáto tiempo habremos duplicado uestro diero?. Vaesa ha comprado u coche por euros. Se estima que el precio se devalúa u 0 % cada año. A cuáto lo podrá veder al cabo de años? Si tiee u accidete e que el coche queda destrozado cuado tiee 7 años, cuáto le pagará la compañía de seguros?. La escala de Richter relacioa la itesidad de u terremoto, x, co su eergía y (e ergios): log y = + x. Calcula la eergía de u terremoto: a) de ua itesidad e dicha escala, y b) de ua itesidad Jua ha visto cucarachas e su casa. Mira de que tipo es y se etera que se triplica cada mes siguiedo u modelo expoecial. Estima que e este mometo podría teer 0. Si o hiciera ada, cuátas tedría al cabo de meses? 7. E la fórmula del térmio ésimo de ua progresió geométrica, despeja, aplicado logaritmos. 8. Nieves tiee u gra frasco de perfume muy cocetrado de u litro. Saca co ua pipeta 0 cm que sustituye co agua. Vuelve a sacar de la mezcla co ua pipeta 0 cm que vuelve a sustituir co agua. Así hasta coseguir ua mezcla co el 7 % de la iicial. Cuátas operacioes ha debido hacer? 9. Resuelve, tomado logaritmos, la ecuació expoecial: (0 99) = Utiliza la calculadora para estimar el valor de 6. Estima tambié 6.. Resuelve las ecuacioes: a) x = 8 x b) 7 x c) 8 x d) 7 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

34 Sucesioes AUTOEVALUACIÓN. Cuál es la razó de la siguiete progresió geométrica: a = 7? a) 7 b) c) d) No es ua progresió geométrica. E la sucesió de múltiplos de, el ocupa el lugar: a) b) c) d). La suma de los diez primeros térmios de la progresió aritmética:, 0,, 0, es: a) 0 b) 7 c) d) 0. La sucesió, /, /, /,...: a) Es ua progresió geométrica de razó b) Es ua progresió aritmética de diferecia c) Es ua progresió geométrica de razó / d) Es ua progresió aritmética de diferecia /. x. La solució de la ecuació 6 es: a) 0 b) 8 c) 0 d) 0 6. La progresió aritmética cuyo primer térmio es y su diferecia, tiee como térmio geeral: a) a = b) a = + c) a = d) a = 7. Pepa está preparado el exame de selectividad. Para o dejar toda la materia para el fial ha decidido estudiar cada día el doble de págias que el día aterior. Si el primer día estudió dos págias, cuátas habrá estudiado al cabo de días? a) 6 b) c) 0 d) 8 8. A Luis le ha tocado 6000 e la lotería y decide depositarlos e el baco a u tipo de iterés compuesto del %. Cuáto diero tedrá al cabo de años? a) 60 b) 60 c) 78,0 d) 799, La sucesió a tiee como límite: 6 a) 0 b) c) / d) 7 0. La sucesió a tiee como límite: a) e b) c) e d) e Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo : Sucesioes Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF