FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

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1 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página 8. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos radianes corresponden a los 0 de una circunferencia? b) Cuántos grados mide radián? c) Cuántos grados mide un ángulo de radianes? d) Cuántos radianes equivalen a 70? 0 a) b) 7 7',8" 0 c) d) 0 Página 9. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 0 b) 7 c) 90 d) 7 e) 00 f ) 00 Expresa el resultado en función de y luego en forma decimal. Por ejemplo: 0 0 rad rad 0, rad 80 a) 0 rad 0, rad 0 b) 7 rad, rad 0 c) 90 rad,7 rad 0 d) 7, rad 0 e) 00 0 rad,9 rad 0 9 f) 00 rad, rad 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

2 . Pasa a grados los siguientes ángulos: a) rad b) 0,8 rad c) rad d) rad e), rad f) rad 0 0 a) ' 9," b) 0,8 7 ' 9,8" 0 c) 0 d) e), 00 ',8" f) 80. Completa la siguiente tabla y añade las razones trigonométricas seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado: GRADOS RADIANES GRADOS RADIANES 7 La tabla completa está en el siguiente apartado página siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera. Página. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: cos a + b) cos a cos b sen a sen b cos a b) cos a + b)) cos a cos b) sen a sen b) cos a cos b sen a sen b) cos a cos b + sen a sen b. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: tg a + b) tg a + tg b tg a tg b tg a b) tg a + b)) tg a + tg b) tg a tg b) *) tg a + tg b) tg a tg b) tg a tg b + tg a tg b sen a) sen a *) Como 8 tg a) tg a cos a) cos a Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

3 UNIDAD. Demuestra la fórmula II. a partir de las siguientes fórmulas: sen a b) tg a b) cos a b) sen a b) sen a cos b cos a sen b cos a b) cos a cos b + sen a sen b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b *) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b.. Si sen 0, y sen 7 0,, halla cos, tg, cos 7 y tg 7. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 9 y de, utilizando las fórmulas I) y II). sen 0, cos sen 0,0 0,98 0, tg 0, 0,98 sen 7 0, cos 7 sen 7 0, 0,8 0, tg 7 0,7 0, , luego: sen 9 sen + 7) sen cos 7 + cos sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 cos 9 cos + 7) cos cos 7 sen sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, tg + tg 7 0, + 0,7 tg 9 tg + 7), tg tg 7 0, 0,7 ) Podría calcularse tg 9 sen 9. 7, luego: cos 9 sen sen 7 ) sen 7 cos cos 7 sen 0, 0,98 0,8 0, 0,8 cos cos 7 ) cos 7 cos + sen 7 sen 0,8 0,98 + 0, 0, 0,90 sen a cos b cos a sen b cos a cos b + sen a sen b tg 7 tg 0,7 0, tg tg 7 ) 0,78 + tg 7 tg + 0,7 0, *) tg a tg b + tg a tg b Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

4 . Demuestra la siguiente igualdad: cos a + b) + cos a b) sen a + b) + sen a b) tg a cos a + b) + cos a b) sen a + b) + sen a b) cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a sen a cos b sen a tg a. Demuestra las tres fórmulas III.), III.) y III.) haciendo a b en las fórmulas I). sen a sen a + a) sen a cos a + cos a sen a sen a cos a cos a cos a + a) cos a cos a sen a sen a cos a sen a tg a tg a + a) tg a + tg a tg a tg a tg a tg a 7. Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de las de 0. sen 0 sen 0) sen 0 cos 0 cos 0 cos 0) cos 0 sen 0 ) ) tg 0 tg 0 tg 0) / / / tg 0 /) /9 / 8. Halla las razones trigonométricas de 90 a partir de las de. sen 90 sen ) sen cos cos 90 cos ) cos sen ) ) 0 tg tg 90 tg ) 8 No existe. tg 9. Demuestra que: sen a sen a sen a + sen a sen a sen a sen a + sen a cos a + cos a sen a sen a cos a sen a cos a) cos a sen a + sen a cos a sen a + cos a) + cos a Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

5 UNIDAD Página 0. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV., IV. y IV.. cos a cos ) cos sen Por la igualdad fundamental: De aquí: cos a + sen a 8 cos a + sen a) Sumando ambas igualdades: + cos a cos a 8 cos a + cos a 8 cos a ± b) Restando las igualdades -ª -ª): cos a sen a 8 sen a cos a 8 sen a ± Por último: a a a a + cos a cos a cos a ± tg a sen a/ cos a/ + cos a ± cos a + cos a. Sabiendo que cos 78 0,, calcula sen 78 y tg 78. Averigua las razones trigonométricas de 9 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. cos 78 0, sen 78 cos 78 0, 0,98 0,98 tg 78,9 0, 78 cos 78 0, sen 9 sen 0, 78 + cos , cos 9 cos 0,77 78 cos 78 0, tg 9 tg 0,8 + cos , Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

6 . Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de cos 0 0,. cos 0 0, 0 0, sen 0 sen 0, 0 + 0, cos 0 cos 0,8 0 0, tg 0 tg 0,77 + 0,. Halla las razones trigonométricas de a partir de cos cos sen sen cos cos 90 0 tg tg + 0. Demuestra que tg a sen a + sen a tg a. tg a sen a + sen a tg a cos a + sen a sen a cos a cos a) + sen a sen a + ) sen a ) sen a sen a tg a cos a cos a + cos a cos a cos a cos a cos a sen a sen a. Demuestra que tg a. sen a + sen a sen a sen a sen a + sen a sen a sen a cos a sen a + sen a cos a sen a cos a) cos a tg a sen a + cos a) + cos a Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

7 UNIDAD Página. Para demostrar las fórmulas V.) y V.), da los siguientes pasos: Expresa en función de a y b : cos a + b)... cos a b)... Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores: a + b A a b B A + B 8 a b cos a + b) cos a cos b sen a sen b cos a b) cos a cos b + sen a sen b Sumando 8 cos a + b) + cos a b) cos a cos b ) Restando 8 cos a + b) cos a b) sen a sen b ) a + b A A + B A B Llamando 8 a, b al resolver el sistema) a b B Luego, sustituyendo en ) y ), se obtiene: A + B ) 8 cos A + cos B cos cos A + B ) 8 cos A cos B sen sen 7. Transforma en producto y calcula: A B A B A B a) sen 7 sen b) cos 7 + cos c) cos 7 cos a) sen 7 sen cos sen cos sen b) cos 7 + cos cos cos cos cos c) cos 7 cos sen sen sen cos 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

8 8. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado: sen a + sen a cos a + cos a sen a + sen a cos a + cos a a + a a a sen cos sen a tg a a + a a a cos a cos cos Página 7. Resuelve estas ecuaciones: a) cos x + cos x 0 b) sen x 0 c) tg x tg x 0 d) sen x + cos x ± + 8 ± a) cos x Las tres soluciones son válidas se comprueba en la ecuación inicial). b) sen x 0 8 sen x 8 sen x ± ± Si sen x 8 x, x Si sen x 8 x, x Todas las soluciones son válidas. c) tg x tg x 0 8 tg x tg x ) 0 Todas las soluciones son válidas. d) sen x + cos x *) 8 cos x) + cos x * ) Como sen x + cos x 8 sen x cos x / 8 x 0, x 00 8 x 80 cos x + cos x 8 cos x cos x + 0 tg x 0 8 x 0, x 80 tg x 8 x, x ± 9 8 ± cos x / Entonces: Si cos x 8 x 0 Si cos x 8 x 0, x 0 00 Las tres soluciones son válidas. Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 70

9 UNIDAD. Resuelve: a) cos x + cos x b) tg x + cos x 0 c) cos x/) cos x d) sen x cos x sen x 0 a) cos x + cos x 8 cos x sen x) + cos x 8 8 cos x cos x)) + cos x 8 cos x ) + cos x cos x + cos x ò 8 cos x + cos x 0 8 ± ± 8 cos x Si cos x 0, 8 x 9',", x 9'," Si cos x 8 x 80 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas. tg x b) tg x + cos x cos x 0 8 tg x tg x sen x/cos x 8 + cos x cos x 0 8 tg x sen x/cos x) 8 sen x cos x + cos x 0 8 sen x cos x + cos x cos x sen x) 0 8 cos x sen x 8 cos x sen x + cos x sen x) 0 8 cos x sen x + sen x sen x) 8 8 cos x + sen x sen x) cos x 0 + sen x sen ± + 8 x 0 8 sen x Si cos x 0 8 x 90, x 70 Si sen x 8 x 0, x 0 0 Si sen x 8 x 90 x Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas. x + cos x c) cos cos x 8 cos x cos x cos x 8 cos x + cos x cos x + cos x + cos x 8 cos x + cos x 0 8 cos x cos x + ) 0 Si cos x 0 8 x 90, x 70 Si cos x 8 x 80 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: x 90 y x 80 0/ /8 0, / Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

10 d) sen x cos x sen x 0 8 sen x cos x sen x) sen x cos x + sen x sen x) 0 8 sen x sen x) 0 Si sen x 0 8 x 0, x 80 Si sen x 8 sen x ± ò x 0, x 0, x 0, x 0 Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.. Transforma en producto sen x sen x y resuelve después la ecuación sen x sen x 0. x + x x x sen x sen x 0 8 cos sen 0 8 cos x sen x cos x 0 sen x 0 Si cos x 0 8 Si sen x 0 ò x 0, x 80 Comprobamos que las seis soluciones son válidas.. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x) cos x + cos ) b) sen x + sen x 0 x 90 8 x x 70 8 x x x x x ) a) sen x) sen x cos x) cos sen x Entonces, la ecuación queda: sen x sen x 8 sen x 8 sen x Si sen x 8 x 7 rad, x rad Al comprobar vemos: 7 7 x 8 sen x) sen ) sen 7 cos x) cos ) cos cos 7 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

11 UNIDAD Luego la solución es válida, pues: sen x) cos x) + cos + ) x 8 sen x) sen ) sen ) cos x) cos ) cos ) cos ) Luego también es válida esta solución, pues: sen x) cos x) + cos + ) Por tanto, las dos soluciones son válidas: x 7 rad y x rad b) sen x) sen cos x cos sen x cos x sen x Luego la ecuación queda: cos x sen x + sen x 0 8 cos x + sen x cos x + sen x 0 8 cos x sen x 8 x rad, x 7 rad Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican: a) tg x b) sen x cos x c) sen x d) sen x tg x a) x 0 + k 0 o bien x 00 + k 0 Las dos soluciones quedan recogidas en: x 0 + k 80 + k rad b) x + k rad c) Si sen x 8 x + k rad Si sen x 8 x d) En ese caso debe ocurrir que: + k rad O bien sen x 0 8 x k rad O bien cos x 8 x k rad 8 x + k rad 8 x k rad Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

12 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Grados y radianes Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a) b) c) 7 d) e) f) Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que: radianes 80. a) 0 b) 0 c) 0 d) e) 0 f) 80 9 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a), b), c) d),7 0 0 a), 8 ' 7" b), 8 0' 7" 0 0 c) 8 8' " d),7 7 ' 8" Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en función de y en forma decimal. a) 0 b) 08 c) d) 0 e) 70 f) Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por,... 0 a) 0,7 rad 80 9 a) 0 0,7 rad b) 08,88 rad c), rad d) 0,9 rad 0 0 e) 70,7 rad f) 7, rad Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

13 UNIDAD Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora: a) cos cos 0 + cos cos + cos b) tg + cos tg 0 + sen sen c) sen sen + sen sen Comprueba el resultado obtenido utilizando la calculadora. a) 0 + ) 0 + b) ) 0 c) ) + 0 Prueba que: a) sen + cos + cos b) sen + sen sen a) sen + cos + cos + + ) + b) sen + sen sen + + Halla el valor exacto de cada una de estas expresiones sin utilizar la calculadora: a) sen + sen + sen b) cos cos 0 + cos cos 7 c) sen cos + tg + tg Comprueba los resultados con la calculadora. a) b) ) ) ) c) Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

14 7 Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) sen + cos sen b)cos + tg tg c) cos + sen cos sen Comprueba los resultados con la calculadora. ) a) + ) b) c) En cada caso halla, en radianes, dos valores para el ángulo a tales que: a) sen a 0, b)cos a 0,8 c) tg a, d)sen a 0, a) a 0,; a,8 b) a 0,9; a, c) a 0,98; a, d) a 0,8; a,8 9 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) rad b), rad c) rad Ten en cuenta que:,7;,;,7;,8 a). cuadrante b). er cuadrante c). cuadrante Fórmulas trigonométricas 0 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 7 sabiendo que sen 7 sen 0 + ) sen 0 cos + cos 0 sen + + Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

15 UNIDAD cos 7 cos 0 + ) cos 0 cos sen 0 sen tg 0 + tg / + + )/ tg 7 tg 0 + ) tg 0 tg / )/ + + ) NOTA: También podemos resolverlo como sigue: sen ) + + tg 7 cos Sabiendo que sen x y que < x <, calcula, sin hallar previamente el valor de x: x a) sen x b) tg c) sen x + ) x d) cos x ) e) cos f ) tg x + ) Calcula cos x y tg x y después aplica las fórmulas. cos x sen x 9 Negativo, por ser del. cuadrante). sen x tg x cos x a) sen x sen x cos x ) x cos x /) b) tg 9/ + cos x + /) / Signo positivo, pues si x é. cuadrante, entonces c) sen ) x + sen x cos + cos x sen + ) 0 x é. er cuadrante. Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 77

16 d) cos ) x cos x cos + sen x sen ) + 0 x *) + cos x / e) cos / 0 *) x Signo positivo, porque é. er cuadrante. 0 0 tg x + tg / tg x tg / / + /) / + / f) tg x + ) 7 Página Halla las razones trigonométricas del ángulo de de dos formas, considerando: a) 0 b) a) sen sen 0) sen cos 0 cos sen 0 0,889 cos cos 0) cos cos 0 + sen sen ,99 sen + tg cos + 8 0,799 0 cos 0 / b) sen sen 0, cos 0 + / + cos cos 0,998 0,889 tg 0, ,998 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 78

17 UNIDAD Sabiendo que sen x / y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: x a) sen x b)tg c) cos 0 x) sen x cos x, tg x > 0 8 x é. er x cuadrante é. er cuadrante 8 sen x/ > 0 cos x/ > 0 tg x/ > 0 cos x sen x 9 / tg x / a) sen x sen x cos x x cos x / b) tg + cos x + / c) cos 0 x) cos 0 cos x + sen 0 sen x + + Si tg a / y 90 < a < 80, calcula: a) sen a b)cos < a < 80 8 Además, tg a a ) sen a > 0 cos a < 0 é. er cuadrante tg a cos 9 a 8 cos a cos a sen a cos a + a) sen a) ) sen cos a cos sen a 0 9 a ) Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 79

18 b) cos ) 80 a cos 80 cos a + sen 80 sen a cos a + cos a + /) 0 0 Sabemos que cos x y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula: a) sen x b)cos + x) c) cos x x d)tg e) sen x f ) cos cos x / sen x < 0 8 x é. er x cuadrante ò é. cuadrante 9 a) sen x cos x 7 b) cos + x) cos cos x sen sen x cos x c) cos x cos x sen 9 7 x x cos x + / d) tg cos x / e) sen x) f) cos ) x sen cos x cos sen x cos x x x x cos cos + sen sen cos ) 8 7 x ) + cos x / 8 ) 8 8 Si cos 78 0, y sen 7 0,, calcula sen, cos y tg sen 78 cos 78 0, 0,98 cos 7 sen 7 0, 0,8 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 80

19 UNIDAD Ahora, ya podemos calcular: sen sen 78 7) sen 78 cos 7 cos 78 sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, cos cos 78 7) cos 78 cos 7 + sen 78 sen 7 sen 0, tg 0,8877 cos 0,78 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 7 Si tg a + b) y tg a, halla tg b. tg a + b) tg a + tg b 8 + tg b 8 tg a tg b + tg b Luego: tg b + tg b 8 7 tg b 8 8 tg b tg b tg b /7) /7 9 tg b /9 / Ecuaciones trigonométricas 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x sen x + 0 b)sen x sen x 0 c) cos x cos x 0 b) y c) son ecuaciones de.º grado incompletas. a) cos x sen x + 0 cos x cos x 0 8 cos x cos x cos x 0 x 90 x 70 Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k Lo que podemos expresar como: x 90 + k 80 + k Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

20 b) sen x sen x ) sen x 0 8 x 0, x 80 sen x 8 x 90 Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 90 + k 0 O, de otra forma: x k k 80 + k x + k 90 + k 0 x así incluye las soluciones x y x anteriores) c) cos x cos x ) 0 8 cos x 0 8 x 90, x 70 8 cos x 8 x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k + k NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x 90 + k 80 + k 9 Resuelve: a) sen x cos x b) cos x sen x 0 c) cos x + sen x d) tg x tg x 0 a) cos x) cos x 8 cos x 8 cos x cos x 0 8 x 90 x 70 8 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

21 UNIDAD Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 O, lo que es lo mismo: + k + k x 90 + k 80 + k b) sen x) sen x 0 8 sen x sen x 8 sen x ± Si sen x 8 x, x Si sen x 8 x, x Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego: x + k 0 x + k 0 x + k 0 x + k 0 O, lo que es lo mismo: 7 + k + k + k + k x + k 90 + k c) sen x) + sen x 8 sen x + sen x 8 8 sen x sen x 0 8 ± + 8 ± 8 sen x Las tres soluciones son válidas, es decir: 8 x 90 / 8 x 0, x 0 x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k k + k + k Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

22 d) tg x tg x ) 0 8 tg x 0 8 x 0, x 80 8 tg x 8 x 0, x 0 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las cuatro son válidas. Entonces: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x k 80 k y x 0 + k 80 + k 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen x + cos x b)sen x cos x 0 Desarrolla sen x y saca factor común. c) cos x sen x + 0 Desarrolla cos x y sustituye cos x sen x. d)sen + x sen x 0 a) sen cos x cos sen x + cos cos x + sen sen x ) ) cos x sen x + cos x + sen x cos x + cos x 8 cos x Comprobamos y vemos que: x 8 sen ) + cos ) sen ) + cos ) x / x / x 8 sen ) + cos ) ) ) sen + cos 8 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

23 UNIDAD Son válidas las dos soluciones. Luego: x + k 0 + k 0 x + k 00 + k 0 b) sen x cos x cos x 0 8 cos x sen x cos x) Comprobamos las soluciones. Todas son válidas: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x + k 0 x + k 0 + k + k + k + k También podríamos expresarlas como: x 90 + k 80 x + k 80 + k + k c) cos x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x + sen x 0 8 ± 9 + ± 8 sen x Comprobamos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k d) sen cos x + cos sen x sen x 0 cos x 0 8 x 90, x 70 sen x cos x 8 x, x cos x + sen x sen x 0 / 8 x 0, x 0 8 Imposible, pues sen x Ì Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

24 cos x sen x 0 8 cos x sen x cos x sen x 8 x, x Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego: x + k + k 0 x + k + k 0 Podemos agrupar las dos soluciones en: x Resuelve estas ecuaciones: a) sen x cos x + cos x 0 + k + k 80 Al hacer sen x cos x, resulta una ecuación bicuadrada. Haz cos x z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes. b) sen x + sen x cos x cos x 0 Divide por cos x y obtendrás una ecuación con tg x. c) cos x + cos x 0 d)tg + cos x e) sen x + cos x 0 a) cos x) cos x + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x cos x cos x cos x + 0 Sea cos x z 8 cos x z Así: x z ± 9 8 z z ± z 8 cos x ± z 8 cos x ± x 0 x 80 x, x x, x 8 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

25 UNIDAD Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto: x k 0 k x 80 + k 0 + k x + k 0 x + k 0 x + k 0 x + k k O, agrupando las soluciones: + k + k + k x k 80 k x + k 90 + k b) Dividiendo por cos x: sen x cos x + sen x cos x cos x 0 8 tg x + tg x 0 8 cos x cos x ± + 8 ± 7 8 tg x 8 8 Las cuatro soluciones son válidas: x '," + k 0 x '," + k 0 x + k 0 x + k 0 O, lo que es lo mismo: x '," + k 80 x + k k + k + k + k + k + k 8 x '," x '," 8 x x Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 87

26 + cos x c) + cos x cos x + cos x cos x 0 8 cos x 0 8 x 90, x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 Agrupando las soluciones: + k + k x 90 + k 80 + k cos x d) + cos x 8 cos x + + cos x cos x + cos x 8 + cos x 8 cos x + cos x 8 cos x + cos x 0 8 ± cos x Luego: x k 0 k cos x e) + cos x sen x cos x + cos x cos x) cos x + cos x + cos x 0 8 cos x cos x cos x cos x ) 0 8 Se comprueba que son válidas todas. Por tanto: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k + k Agrupando las soluciones quedaría: x 90 + k 80 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k ± + k 8 x 0 8 Imposible!, pues cos x Ì cos x 0 8 x 90, x 70 cos x / 8 x 0, x Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

27 UNIDAD Identidades trigonométricas Demuestra que: sen a + b) sen a b) tg a + tg b tg a tg b Aplica las fórmulas de sen a + b) y sen a b). Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica. sen a + b) sen a b) sen a cos b + cos a sen b sen a cos b cos a sen b *) sen a cos b cos a sen b + cos a cos b cos a cos b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b tg a + tg b tg a tg b *) Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b. Prueba que tg x cos x sen x tg x. Sustituye cos x + cos x. x + cos x Como cos ± 8 cos x Y sustituyendo en la expresión: + cos x tg x cos x sen x + cos x sen x sen x cos x sen x + cos x) sen x cos x cos x *) sen x [ + cos x cos x] sen x tg x cos x cos x *) Sacando factor común. Demuestra que: cos x + ) cos x + ) cos x Desarrolla y sustituye las razones de y. Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 89

28 cos x + ) cos x + ) [ cos x cos sen x sen ] [ cos x cos sen x sen ] [ cos x) sen x) ] [ cos x) ) sen x) ] cos x sen x + cos x + sen x cos x Demuestra que: cos a cos a b) + sen a sen a b) cos b Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común. cos a cos a b) + sen a sen a b) cos a cos a cos b + sen a sen b) + sen a sen a cos b cos a sen b) cos a cos b + cos a sen a sen b + sen a cos b sen a cos a sen b cos a cos b + sen a cos b *) cos b cos a + sen a) cos b cos b *) Extraemos factor común. Página PARA RESOLVER En una circunferencia de cm de radio, un arco mide 0 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes. 0 cm a cm Como la circunferencia completa 00, cm) son rad, entonces: 00, 0 0 a, 7 7' " 8 a 0, rad a 00, Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 90

29 UNIDAD 7 En una determinada circunferencia, a un arco de cm de longitud le corresponde un ángulo de, radianes. Cuál es el radio de esa circunferencia? cm, rad, rad rad cm 8 R,8 cm R cm, 8 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y tal que sus razones trigonométricas coincidan con las de. 0 < a < ò a 9 Demuestra: cos a b) cos a + b) + tg a tg b tg a tg b cos a b) cos a + b) cos a cos b + sen a sen b cos a cos b sen a sen b *) cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b *) Dividimos numerador y denominador entre: + tg a tg b tg a tg b cos a cos b 0 Simplifica la expresión: Calcula su valor para a. sen a cos a sen a cos a sen a sen a cos a cos a sen a Por tanto, si a ò sen a cos a cos a sen a ) Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

30 Prueba que: sen a sen a sen a + sen a sen a sen a sen a + sen a tg sen a sen a cos a sen a cos a) sen a + sen a cos a sen a + cos a) cos a tg + cos a a a Simplifica: cos + a) cos a) cos a Al desarrollar el numerador, obtendrás una diferencia de cuadrados. cos + a) cos a) cos a cos cos a sen sen a) cos cos a + sen sen a) cos a sen a cos cos a sen sen a) cos a sen a [ /) cos a /) sen a] / cos a / sen a cos a sen a cos a sen a cos a sen a cos a sen a Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x + sen x b)tg x tg x c) cos x cos x + cos x 0 d) sen x tg x x e) sen + cos x 0 f ) sen x cos x sen x g) tg x + tg x ) a) cos x sen x + sen x 8 sen x sen x + sen x 8 8 sen x sen x ± sen x ± 8 x 90 / 8 x 0, x 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

31 UNIDAD Las tres soluciones son válidas: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k b) tg x tg x 8 tg x tg x 8 tg x 8 tg x 8 tg x ± 8 Las cuatro soluciones son válidas: x 0 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 Agrupando: x 0, x 0 x 0, x k + k + k + k x 0 + k 80 x 0 + k 80 + k + k c) cos x cos x sen x) + cos x cos x cos x + cos x) + cos x cos x cos x + cos x 0 8 cos x cos x + cos x ) cos x 0 8 x 90, x 70 ± + 8 ± cos x ±, 8 Imposible!, pues cos x 0, 8 x 8 ',", x 9 8' 8,9" Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

32 Las soluciones son todas válidas: x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k x 8 '," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k Agrupadas, serían: x 90 + k 80 + k x 8 '," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k tg x d) sen x 8 sen x sen x tg x tg x 8 tg x sen 8 sen x sen x x sen x 8 cos x cos x 8 sen x cos x sen x sen x sen x cos x 8 8 sen x cos x sen x cos x) sen x cos x + cos x cos x) sen x 0 8 x 0, x 80 cos ± + 8 x cos x 0 8 cos x 8 x 0 x / 8 x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k Que, agrupando soluciones, quedaría: x k 80 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k 9 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

33 UNIDAD cos x cos x e) + cos x 0 8 cos x) 8 8 cos x + cos x cos x) 8 cos x cos x 0 8 ± + 8 ± 8 cos x 8 x 0 / 8 x 0, x 0 Al comprobar, vemos que las tres soluciones son válidas: x k 0 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k f) sen x cos x cos x sen x 8 sen cos x sen x 8 8 sen x sen x) sen x 8 sen x sen x sen x 8 8 sen x 0 8 x 0, x 80 sen x 8 sen x ± 8 x 0, x 0 x 0, x 0 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro: x k 80 k x 0 + k 90 + k g) tg /) + tg x + tg x + tg x 8 + tg x 8 tg /) tg x tg x 8 + tg x + tg x tg x tg x 8 tg x tg x tg x tg x ) 0 8 tg x 0 8 x 8 0, x 80 tg x 8 x 7 ',", x '," Las cuatro soluciones son válidas: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 7 '," + k 0 x '," + k k + k Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

34 O, lo que es lo mismo: x k 80 k x 7 '," + k 80 + k Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen x sen x cos x sen x + sen x b) cos x + cos x sen x + sen x c) cos x + cos x d)sen x cos x sen x cos x Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos en productos. x + x x x a) cos sen cos x cos x sen x cos x 8 sen x 8 sen x 8 x 0, x 0 Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k sen x cos x sen x sen x) b) cos x cos x cos x cos x sen x cos x 8 8 sen x 8 sen x 8 cos x 8 x 0 8 x + k 0 x 0 8 x 7 + k 0 x 90 8 x 9 + k 0 x 0 8 x + k 0 + k 7 + k + k + k Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas. 9 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

35 UNIDAD sen x cos x cos x c) 8 tg x 8 sen x sen x sen x tg x Ambas soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k d) sen x sen x cos x cos x 8 8 cos x sen x sen x sen x 8 dividimos entre sen x) sen x 8 cos x sen x 8 8 tg x 8 cos x x 8 x 7, + k 0 8 x 8 x 7, + k 0 x 7 8 x 7, + k 0 x 9 8 x 7, + k 0 Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas: x 7, + k 90 x 0 x 0 a) Demuestra que: sen x sen x cos x sen x b)resuelve la ecuación sen x sen x 0. a) Haz sen x sen x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen x por el resultado anterior. a) sen x sen x + x) sen x cos x + cos x sen x sen x cos x cos x + cos x sen x) sen x sen x cos x + sen x cos x sen x sen x cos x sen x b) sen x sen x 0 8 por el resultado del apartado anterior: sen x cos x sen x sen x 0 8 sen x sen x) sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x 0 8 sen x sen x ) sen x 0 8 x 0, x 0 sen x ±/ 8 x 0, x 0, x 0, x 0 Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como: x k 80 k x 0 + k 80 /) + k x 0 + k 80 /) + k Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 97

36 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos a + b) cos a b) cos a sen b b) sen a + b sen a b sen a sen b ) ) c) cos a b cos a + b ) ) sen a sen b a) cos a + b) cos a b) cos a cos b sen a sen b) cos a cos b + sen a sen b) cos a cos b sen a sen b cos a sen b) cos a) sen b cos a cos a sen b sen b + cos a sen b cos a sen b b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia: [ ) sen a + b + sen a b )] [ ) sen a + b sen a b )] *) a b [ sen cos ] [ cos sen ] cos a + cos b + cos a cos b cos a) + cos b) + cos a) cos b) a cos a) cos b) sen a sen b sen a sen b b *) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: a + b + a b a y a + b a b b c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora: a b + a + b a y a b a + b b a b cos ) cos ) a b [ cos ) + cos )] [ cos ) cos )] a b a + b a + b a b a b [ cos cos ] [ sen sen ] [ cos cos ] [ sen sen ] a a + b b a b Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 98

37 UNIDAD + cos a + cos b cos a cos b cos a) cos b) sen a sen b sen a sen b NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue: a b cos ) cos ) sen ) + sen ) a + b sen ) sen ) *) *) Por el apartado b). a + b a b sen a sen b 7 Simplifica la expresión: sen a cos a cos a sen a sen a cos a sen a) cos a sen a cos a sen a cos a sen a sen a cos a a b sen a cos a sen a sen a cos a + sen a) sen a a + b 8 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: x + y 0 a) sen x sen y sen x + cos y b) cos x sen y Haz cos y sen y y cos x sen x. sen x + cos y c) x + y 90 a) De la segunda ecuación: Como: x + y x y cos sen x y x y x + y 0 8 cos 0 sen 8 sen 8 Así: x + y 0 x y 0 x y x y 8 sen x y 0 x 80 8 x 90 8 y 0 Luego la solución es: 90, 0) Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 99

38 b) Como cos y sen y cos x sen x El sistema queda: sen x + sen y sen x sen y 8 Sumando ambas igualdades) 8 sen y 0 8 sen y 0 8 y 0 Sustituyendo en la segunda ecuación por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: sen x sen y 0 sen x sen y 0 cos x 0 8 cos x Luego la solución es: 0, 0) cos x 8 x 0 cos x 8 x 80 é.º cuadrante c) x + y 90 8 complementarios 8 sen x cos y Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: cos y + cos y 8 cos y 8 cos y 8 y x 90 y Luego la solución es: 0, 0) 9 Justifica que para cualquier ángulo a se verifica: cos a sen a + cos a Desarrollamos la primera parte de la igualdad: cos a) cos cos a + sen sen a ) cos a + sen a) cos a + sen a) cos a + sen a) cos a + sen a ) 0 Expresa sen a y cos a en función de sen a y cos a. sen a sen a) sen a cos a sen a cos a cos a sen a) sen a cos a sen a cos a) cos a cos a) cos a sen a cos a sen a) sen a cos a) cos a + sen a cos a sen a sen a cos a cos a + sen a sen a cos a 00 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

39 UNIDAD Página CUESTIONES TEÓRICAS Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que miden / y / radianes? + 8 son suplementarios, luego: sen sen ) sen cos cos ; tg tg Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo a: a) sen a); cos a); tg a) b) sen + a); cos + a); tg + a) c) sen a); cos a); tg a) sen a) sen a a) 8 tg a) tg a cos a) cos a sen + a) sen a b) cos + a) cos a 8 tg + a) tg a sen a) sen a c) 8 tg a) tg a cos a) cos a Expresa Ax) en función de sen x y cos x: a) Ax) sen x) sen x) b) Ax) cos x) + cos + x) c) Ax) sen + x) + cos x) a) A x) sen x) sen x) sen x sen x sen x b) A x) cos x) + cos + x) cos x + cos x) 0 c) A x) sen + x) + cos x) sen x + cos x Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

40 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y cos x, dando a x valores comprendidos entre 0 y radianes y represéntala gráficamente. x y cos x PARA PROFUNDIZAR Representa las funciones: a) y cos x + ) b)y sen x + ) c) y cos x d)y sen x ) ) a) b) Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

41 UNIDAD c) d) Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen x + sen y sen x + cos y / cos x + y) / a) b) c) cos x + cos y cos x sen y / sen x y) / a) Despejando en la segunda ecuación: cos x cos y *) Como sen x cos x entonces: sen x cos y) cos y + cos y cos y cos y Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: sen x + sen y 8 cos y cos y + sen y 8 8 sen y cos y cos y Elevamos al cuadrado: sen y + cos y cos y) cos y cos y) sen y + cos y cos y cos y cos y) cos y cos y cos y) + cos y) cos y cos y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: + cos y) cos y cos y) cos y + cos y cos y cos y 8 8 cos ± y cos y cos y 8 y 0 8 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

42 Sustituyendo en *), se tiene: cos x 8 x 0 b) sen x + cos y cos x sen y Sumando: c) sen x + cos x + cos y sen y 8 + cos y sen y 8 8 cos y 8 cos y 8 cos y 8 y Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuación: sen x + cos y 8 sen x sen x 8 sen x 8 sen x ± Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así: Luego la solución es: 0, ) Como x, y é. er cuadrante y además cos x + y) > 0 sen x y) > 0 Teniendo esto en cuenta: sen x 8 x 0 8 cos x + y) 8 x + y 0 sen x y) 8 x y 0 Sumamos ambas ecuaciones) x 90 8 x Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: La solución es, por tanto:, ) x + y é. er cuadrante x y é. er cuadrante y 0 x 0 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

43 UNIDAD 7 Demuestra que: tg x/ tg x/ tg x/ a) sen x b) cos x c) tg x + tg x/ + tg x/ tg x/ a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad: tg x/) + tg x/) cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x + cos x) + cos x + cos x cos x + cos x) + cos x) cos x) + cos x cos x sen x sen x cos x + cos x + cos x tg + cos x cos x b) x/) + cos x cos x + tg x/) cos x + + cos x + cos x + cos x + cos x cos x cos x tg x/) + cos x + cos x c) tg x/) + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x) cos x + cos x + cos x) cos x) cos x cos x sen x sen x tg x cos x cos x cos x Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

44 AUTOEVALUACIÓN. Expresa en grados: rad, rad, rad. rad rad 0 rad ' 0''. Expresa en radianes dando el resultado en función de y como número decimal: a) 0 b) c) 0 a) 0 rad,0 rad b) rad,9 rad c) 0 rad,7 rad. En una circunferencia de cm de diámetro dibujamos un ángulo de rad. Qué longitud tendrá el arco correspondiente? 8 cm l 8 cm. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo: a) y cos x b) y cos x c) y cos x 7 Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica: /,...), /,...), /,...). La gráfica corresponde a la b) y cos x. Su periodo es. 0 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

45 UNIDAD ) ) ), 8 y cos 8,, 8 y cos 8,, 8 y cos 0 8, 0 ) ) ) ). Si cos a y a <, halla: a a) sen a b) cos + a) c) tg d) sen a cos a a < 8 sen a 8 sen a ) a) sen a sen a cos a ) ) 8 b) cos + a) cos a a cos a /) c) tg + cos a + /) d) sen a sen cos a cos sen a 8 8. Demuestra cada una de estas igualdades: a) tg a ) tg a tg a 8 b)sen a + b) sen a b) sen a sen b sen a cos a sen a sen a cos a cos a a) tg a cos a cos a sen a sen a cos a ) tg a tg a ) b) sen a + b) sen a b) sen a cos b + cos a sen b) sen a cos b cos a sen b) sen a cos b cos a sen b sen a sen b) sen a) sen b sen a sen a sen b sen b + sen a sen b sen a sen b Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas 07

46 7. Resuelve: a) cos x cos + x b)tg x cos x sen x a) cos x cos + x ) ) cos x sen x sen x) 8 sen x sen x + sen x 0 sen x + sen x 0 8 sen x sen x + ) 0 sen x 0 sen x x 0 x 80 x 0 x 0 Soluciones: x 0k; x k; x 0 + 0k; x 0 + 0k, b) tg x cos x + cos x sen x 8 tg x sen x 8 8 tg x + tg x cos x sen x 8 sen x 8 tg x + cos x sen x 8 cos x x 8 tg x + 0k x + 0k 8. Simplifica: sen 0 + sen 0 sen a a) b) + tg cos 0 + cos 0 cos a sen cos sen 0 + sen 0 sen a) tg cos 0 + cos cos cos cos sen b) + tg a sen cos a sen + ) a a a ) cos a ) cos a + cos a cos a + cos a sen a sen a cos a sen a a ) 08 Unidad. Funciones y fórmulas trigonométricas

47 ANOTACIONES

48 ANOTACIONES

49 ANOTACIONES