FUNCIONES LINEAL Y POTENCIA

Transcripción

1 FUNCIONES LINEAL Y POTENCIA La función lineal La función lineal puede describirse en forma genérica con la fórmula y = ax + c, donde a (la pendiente) y c (la ordenada al origen) son constantes. La gráfica de abajo representa dos ejemplos; en ambos casos c = ; para la línea con puntos negros a = y para la línea con puntos huecos a =. Nótese que ambas líneas cruzan el punto (, ) y crecen en forma diferente, de acuerdo con el valor de la pendiente a. 5 y = x 5 5 y = x Tomando dos puntos arbitrarios sobre la recta, se puede calcular empíricamente la pendiente. Por ejemplo, para la función y = x, tomando los puntos (5, ) y (, ), la pendiente viene dada por: m = y x = = 5 En este caso sabemos de antemano que m = a =. Otra forma de obtener la pendiente es calculando la derivada de y con respecto a x: dy d m = = ( x) = H. T. Arita 5

2 Con lo que corroboramos que la pendiente es constante e igual al parámetro a. (O sea, corroboramos que estamos lidiando con una línea recta). Veamos ahora qué pasa si cambiamos el valor de la constante c. Las dos líneas, por tener la misma pendiente (), son paralelas. Lo que cambia es la altura, o sea, la distancia desde el eje de las abscisas. Como bien sabía Euclides desde hace mucho tiempo, las líneas paralelas están separadas en cualquier tramo por una distancia constante. En este ejemplo, la distancia entre las dos líneas es igual a = 8 unidades. Para un valor de x =, el valor de y es igual a la c correspondiente, es decir, y, que son las ordenadas al origen. 6 5 y = x + y = x

3 La función potencia Después de aburrirlos con conceptos básicos sobre las líneas rectas, pasemos a la parte divertida, la función potencia. Los conceptos fundamentales sobre la función lineal nos servirán para entender las propiedades de la función potencia. La fórmula general de la función potencia es: y = ax b + c Aunque generalmente el parámetro c se ignora, lo pongo aquí para ver la analogía con la función lineal. De entrada, podemos ver que la función lineal es un caso particular de la función potencia en la que b =. Es importante recalcar que la forma de la función potencia depende tanto del exponente b como de a y c. Veamos ejemplos para entender el concepto. Los casos diferentes son: b < - b = - - < b < b = < b < b = b > La gran mayoría de las aplicaciones en biología implican valores positivos de b. El caso b = es la función lineal. Veamos primero los casos más familiares, en los que el valor de b es mayor que y = x 5 y = x 5 5 5

4 En la gráfica se puede ver cómo los parámetros a y b son determinantes de la forma y posición de las curvas. Vemos también que la pendiente no es constante (se trata de curvas), por lo que no podemos emplear la relación empírica para calcularla (a menos que tuviéramos una delta x infinitesimalmente pequeña). Sin embargo, podemos recurrir al cálculo diferencial (no se asusten, es muy sencillo en este caso). Las pendientes de las curvas están dadas por: dy m = d m = ( x ) = x d m = (x ) = x En los dos casos, la pendiente aumenta al aumentar x, o sea, la curva se hace más empinada para valores más grandes de x. Nótese que el valor de la pendiente depende no sólo de b, sino también de a. (En el ejemplo, las dos funciones tienen b =, pero las pendientes son diferentes debido al valor de a; de hecho la pendiente en su forma general es m = abx (b-) ). En su forma logarítmica, las dos funciones se convierten en: log( y) = log( x) log( y) = log( x) + log().5 log (y).5.5 log (y) = log(x) + log() log (y) = log(x) log (x)

5 Las dos líneas tienen la misma pendiente (b = ), pero una de ellas tiene una ordenada al origen diferente de (log () =.). Hay que recordar que la escala es logarítmica, de manera que el origen (punto (, )) corresponde en realidad a (, ) en las unidades originales. (Recordar que log () = ). Como en la escala logarítmica la ordenada al origen y la altura de la recta están determinadas por el parámetro a, hay quienes se van con la finta y piensan que que a es simplemente un parámetro de posición. Hay que recordar, sin embargo, que a en la escala original es fundamental para calcular la pendiente de la gráfica, o sea, para determinar la velocidad de crecimiento de y. El parámetro a no es directamente equiparable con el parámetro c de nuestro ejemplo de la función lineal. Veamos ahora qué pasa con diferentes valores de b: y = x 6 5 y = x log(y) = log( x).5.5 log(y) = log( x)

6 En la gráfica en escala natural, es claro que la función y = x crece mucho más rápido que y = x. De hecho, la pendiente de la primera función es d m = ( x) = x que crece mucho más rápido que m = x, correspondiente a la segunda función. En otras palabras, la gráfica de la ecuación de tercer grado se hace mucho más empinada al aumentar los valores de x. En la versión logarítmica, esto se hace evidente en la mayor altura de la línea correspondiente a la función de tercer grado. Esta mayor altura está dada por la pendiente () que es mayor que la de la función de segundo grado (). Nótese que ambas rectas pasan por el punto (, ), correspondiente a los valores (, ) en las unidades originales. Los ejemplos anteriores se pueden aplicar al cálculo de la superficie y el volumen de una esfera, que vienen dados por las fórmulas En la escala natural las gráficas se parecen a los ejemplos anteriores, sólo que las pendientes son 8πr para la superficie y πr para el volumen. A = πr V = πr 5 V 5 5 A A V En la escala logarítmica se puede ver claramente que para radios pequeños el valor de la superficie es mayor que el del volumen (aunque la comparación no es válida por la diferencia de unidades). Se puede demostrar que el punto donde se cruzan las líneas es cuando r = (y para la escala log-log, log() =.77).

7 Veamos ahora el caso cuando b es positivo pero menor que. (Recordar que cuando b = se trata de la función lineal). 5.5 y = x y = x Las funciones producen curvas que aparentan tender a una asíntota. Aunque algunos investigadores han pensado que este tipo de funciones tienen asíntota, es fácil ver que ese no es el caso. Las pendientes para las dos funciones son dy m = d m = ( x d m = ( x / / ) = x ) = x / / = x = x Vemos que las pendientes se hace más pequeñas al aumentar x (las curvas se hacen cada vez menos empinadas). El cambio se va haciendo menor para valores más altos de x, lo que produce el espejismo de la asíntota. Para valores muy, muy grandes de x la pendiente es cercana a cero (línea horizontal), pero nunca llega a ser igual a.

8 .7.6 log(y) =.5 log(x) log(y) =.5 log(x) En escala logarítmica las funciones se ven muy parecidas a los casos anteriores en donde b >. Claro está, en estos casos la pendiente es más pequeña (noten los valores en la escala de log(y)). El ejemplo típico de la función potencia para < b < es la curva especies-área (SAR). En esta relación, el exponente b se expresa como z, la que generalmente tiene valores de entre. y.5.