TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO

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1 2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración En la figura 2.1. hemos localizado los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) asi como también el segmento de recta fig 2.1. Al trazar por el punto P 1 una paralela al eje x y por P 2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P 1 RP 2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica: Pero: ; y Luego, Observaciones: Prof: Ing. Héctor González C. 1

2 i. En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo ii. iii. Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 no afecta el valor de la distancia. Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P 1 y P 2 es paralelo al eje x (fig.2.2.) entonces puesto que y 1 = y 2 fig Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig (b)), entonces puesto que x 2 = x Coordenadas del punto Medio de un segmento Al Considerar el segmento la (fig. 2.3.) cuyos extremos son los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ), mostrados en Prof: Ing. Héctor González C. 2

3 L Luego aplicando las siguientes fórmulas que permiten calcular el punto medio de un segmento, son las siguientes: Xm X1 + X2 2 Ym Y1 + Y2 2 E Ejemplo: Dado los siguientes puntos en el plano P1(2, 3) y P2( -4, 5 ), encontrar: a) Distancia entre los dos puntos b) Coordenadas del punto Medio Solución parte a Luego aplicando la fórmula anterior se tiene que: X1 := 2 Y1 := 3 X2 := 4 Y2 := 5 d := ( X2 X1) 2 + ( Y2 Y1) 2 d = bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb Parte b) X1 X2 Xm:= + Xm = 1 2 Y1 Y2 Ym := + Ym = 4 2 Luego las coordenadas del punto medio son: M(-1, 4) b Prof: Ing. Héctor González C. 3

4 2.3 Pendiente e Inclinación de una Recta D El ángulo θ que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L (fig. 2.4.). Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, m tan( θ) (1) El número m se conoce como PENDIENTE de la recta L Observaciones: Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente m = tan (90º) no está definida. FIG 2.4 Si P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (fig.2.5(b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene: Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas. El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100. (2) Prof: Ing. Héctor González C. 4

5 La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, por lo tanto se tiene que: Si = 0 o entonces m= 0 (fig (a)) Si 0 o < < 90 o entonces m > 0 (fig (b)) Si 90 º < < 180 o entonces m < 0 (fig (c)) Fig f 2.4 Ecuaciones de la Línea Recta Ecuación de la recta que pasa por el origen Considere la recta L que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x, como se muestra en la (fig. 2.6.) Fig 2.6 Tómese sobre la recta los puntos P 1 (x 1, y 1 ),P 2 (x 2, y 2 ) y P 3 (x 3, y 3 ). Al proyectar los puntos P 1, P 2 y P 3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P 1, P 2, P 3. Prof: Ing. Héctor González C. 5

6 Como los triángulos OP 1 P 1, OP 2 P 2 y OP 3 P 3 son semejantes; se tiene que: Por lo tanto la ecuación de dicha recta que pasa por el origen queda de la siguiente manera Y = mx Por lo tanto, es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m Ecuación de la recta conocida su pendiente y su intercepto con el eje y Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 2.7.) Fig 2.7 Cuando se tiene una recta que no pasa por el origen y tiene corte con el eje Y, como se aprecia en la figura, este punto de corte se denomina ( b ), que es el intercepto con el eje Y, por lo tanto la ecuación queda: y = mx + b ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida Considere la recta l que pasa por un punto dado P 1 (x 1, y 1 ) y cuya pendiente m también es conocida. Prof: Ing. Héctor González C. 6

7 Fig 2.8 Fig 2.8 Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1) Como P 1 (x 1, y 1 ) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene: y 1 = mx 1 + b (2) Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y y 1 = m(x x 1 ) (3) La ecuación (3) se denomina la ecuación de la recta Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(X1, Y1) P2(X2, Y2) Prof: Ing. Héctor González C. 7

8 Sea l la recta que pasa por los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) y llámese m 1 su pendiente. (Fig 2.9) Fig 2.9 Como l pasa por el punto P 1 (x 1, y 1 ) y tiene pendiente m 1, se tiene que la ecuación anterior es y y 1 = m 1 (x x1) (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P 2 (x 2, y 2 ) l, entonces satisface su ecuación y su pendiente es m Y2 Y1 X2 X1(2) Sustituyendo (2) en (1) se obtiene La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta Ecuación General de la Recta La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta. (3) Prof: Ing. Héctor González C. 8

9 2.5 Ángulos entre dos rectas Sean l 1 y l 2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ 1 y θ 2 respectivamente. Al cortarse las rectas l 1 y l 2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig ), esto es: β 1 = β 2 = θ 1 θ 2 y α 1 = α 2 = β 1. Fig 2.10 Se define el ANGULO entrel 1 y l 2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l 2 hacia l 1. En este caso, el ángulo entre l 1 y l 2 viene dado por: β 1 = θ 1 - θ 2 (1) El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: tan β 1 = tan (θ 1 - θ 2) y por último en términos de las pendientes se tiene: tan β 1 Esta ecuación permite obtener el ángulo entre 2 rectas, conocidas las pendientes de cada una de las rectas. 2.6 Rectas Paralelas y Perpendiculares Prof: Ing. Héctor González C. 9

10 Sean l 1 y l 2 dos rectas no verticales con pendientes m 1 y m 2 respectivamente. Entonces: i) l 1 es paralela a l 2 (l 1 l 2 ) m 1 = m 2 ii) l 1 es perpendicular a l 2 (l 1 l 2 ) m 1. m 2 = -1 Fig 2.11 Rectas Paralelas y Perpendiculares 2.7 Intersección entre dos Rectas La intersección entre dos rectas, simplemente son las coordenadas x e y del punto de intersección que resulta resolviendo dichas ecuaciones mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos vistos en los cursos de álgebra. 2.8 Distancia entre dos rectas Paralelas Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones: l: y = mx + b 1 ó l: mx y + b 1 = 0 r: y = mx + b 2 ó r: mx y + b 2 = 0 Supóngase además que 0 < b 1 < b 2. Sean B 1 y B 2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y (fig ). Prof: Ing. Héctor González C. 10

11 Fig 2.12 Distancia entre Rectas Paralelas De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que: Igualmente,. Pero que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que: es la distancia entre las rectas paralelas l y r EJERCICIOS RESUELTOS Prof: Ing. Héctor González C. 11

12 EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) Solución: x 2 x 1 = 3 2 = 1 ; y 2 y 1 = 5 (-3) = 13 Luego, EJEMPLO 2 Sean P 1 (-1, 1) y P 2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento Solución: Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m ) entonces: Por lo tanto las coordenadas del punto medio es M(1, ½) EJEMPLO 3 Graficar la siguiente ecuación: y = 2x 5 Para graficar cualquier función lineal, se debe tomar como mínimo dos o más puntos Definiendo f(x) = 2x 5, tomando algunos puntos, se obtiene: f( 0) = 5 f 1 ( ) = 3 f( 3) = 11 Se obtiene la siguiente gráfica Prof: Ing. Héctor González C. 12

13 Nótese que la ecuación es de la forma Y = mx + b, donde se deduce que b = -5 y pendiente m = 2 (Positiva) EJERCICIOS PROPUESTOS Prof: Ing. Héctor González C. 13

14 1) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8) 2) Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles 3) Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1(-7, 7), P 2(2, 0), P 3(10, 3) y P 4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. 4) Demostrar que los puntos P 1(0, 5), P 2(6, -3) y P 3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo 5) Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo 6) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. 7) Encuentre la distancia del punto P(6, 1) a la recta 5x + 12y 31 = 0. Ilustre la situación. 8) Trazar las rectas 3x + 4y 10 = 0, y, 3x + 4y = 0. Además dibújelas en el papel milimetrado 9) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-5,-7) y B(3,-4) 10) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y es perpendicular a la recta 2x 5y = 8 Prof: Ing. Héctor González C. 14

15 11) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-3/4,-1/2), y es paralela a la recta x+3y = 1 12) Encontrar el ángulo entre las siguientes rectas a) y-3x+1=0 3y+2x-2=0 b) 3y+x-1=0 y+2x+1=0 c) x=-y x-y-1=0 d) y=-3x+1 y= 2x+2 13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: a) O(4; 5) y es // a la recta 3.x + 4.y = 2 b) P(-1; 1) y es // a la recta y + 2.x = 0 c) Q(2; 1) y es // a la recta 3.y + 3 = 0 d) R(4; 3) y es a la recta 5.x + y = 4 e) S(-2; -1) y es a la recta y = 2.x f) T(1; -3) y es a la recta x + y + 1 = 0 14 ) Representar gráficamente las siguientes ecuaciones indicando la pendiente y el punto de intercepto con el eje y: a - y - 3.x + = 0 d - 2.x - y = 0 g - y - 2.x/3 + 2 = 0 b - 3.x/5 +y - 1 = 0 e - -2.x - y + 6 = 0 h - 2.y = -6.x c - 2.x + 6.y - 12 = 0 f - x - 2.y + 8 = 0 Prof: Ing. Héctor González C. 15