SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

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1 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 1 PÁGINA 172 El capitán del barco está midiendo con la regla la distancia entre dos puntos del mapa. Señala 11,3 cm. Cuál es la distancia real entre esos dos puntos? 11,3 cm 11,3 10 km 113 km en la realidad. Sabiendo que el capitán mide 1,80 m de alto, cuál es la longitud real del pez que se ve en la fotografía? Longitud del pez en la fotografía 2 cm Longitud del capitán en la fotografía 3 cm 3 cm 2 cm 1,80 m 2 cm 1,2 m 1,80 m 3 cm El pez mide, en la realidad, 1,2 m. La maqueta del barco está realizada de modo que una longitud de 1 cm corresponde a 1 m en la realidad. Si el volumen de agua que desplaza la maqueta cuando está hundida hasta la línea de flotación es de cm 3, cuál es el volumen de agua que desplaza el barco? El barco desplaza m 3 de agua. PÁGINA 173 TE CONVIENE RECORDAR 1 Los dos triángulos siguientes tienen los ángulos iguales. Los lados del segundo son la mitad de los del primero. Epresa esas relaciones utilizando la nomenclatura adecuada. B A c b a C A' B' c' a' b' C' Por ejemplo: A A' a 2a', o bien, BC 2 B'C' Sigue tú. (A' se lee A prima. Análogamente a', B', c' ). A A' a 2a' o b 2b' o c 2c' o B B' BC 2 B'C' AC 2 A'C' AB 2 A'B' C C'

2 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 2 2 Identifica igualdades entre los ángulos 1, 2, 3, 4 que ves a la derecha, y justifícalas nombrando la relación entre ellos. 1 2 por ser correspondientes. 3 4 por ser alternos internos PÁGINA Toma una hoja de papel cuadriculado y dibuja sobre ella una ampliación del dibujo de abajo al doble de tamaño.

3 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 3 2 Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Construye otro triángulo cuyos lados sean el doble de largos. Observa que ambos triángulos tienen la misma forma, son semejantes. Cuál es la razón de semejanza? 3 cm 5 cm 4 cm 6 cm 10 cm 8 cm La razón de semejanza es Las dimensiones de un rectángulo son 2 cm y 3 cm. Cuáles de los siguientes rectángulos son semejantes a él? Di, cuando lo sean, cuál es la razón de semejanza: a) 36 cm y 54 cm b) 12 cm y 20 cm c) 10 cm y 15 cm a) Sí es semejante. La razón de semejanza es b) No es semejante al primer rectángulo c) Sí es semejante. La razón de semejanza es

4 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 4 PÁGINA Este es el plano de una clase. Calcula sus dimensiones, su superficie y la distancia a la que se encuentra Carmen de la pizarra. CARMEN PIZARRA ESCALA 1:250 1 cm en el plano corresponde a 250 cm en la realidad. ANCHO DE LA CLASE LARGO DE LA CLASE SUPERFICIE DE LA CLASE DISTANCIA CARMEN-PIZARRA PLANO 4,6 cm 7,2 cm 33,12 cm 2 4,5 cm REALIDAD 11,5 m 18 m 207 m 2 11,25 m 2 Sabemos que la distancia real del punto A al B es de 8 km. Halla la escala de este plano y las distancias reales AC, AD y CD. AB en el plano 2,5 cm 8 km cm Escala: 2,

5 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 5 La escala es 1: AC 3 cm AC real cm 9,6 km AD 4 cm AD real ,8 km CD 2 cm CD real ,4 km PÁGINA Dibuja en tu cuaderno una figura parecida a esta y amplíala al doble de tamaño mediante el método de la proyección. FALTA 2mat Actividad de construcción de respuesta abierta. Es muy importante que los alumnos y alumnas sean rigurosos a la hora de tomar las medidas correspondientes. 2 Dibuja en tu cuaderno un pentágono irregular. Redúcelo a su tercera parte proyectando desde un punto interior. Vuelve a hacerlo tomando como punto de proyección uno de los vértices. Actividad de construcción de respuesta abierta. Debemos resaltar que en el método de proyección, cuando queremos reducir o ampliar una figura, el punto de proyección puede estar en el interior, en el eterior o en uno de los vértices de la figura. Se puede proponer la misma actividad ampliando el pentágono al triple de su tamaño.

6 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 6 PÁGINA Traza dos rectas cualesquiera, r y s. Señala en r cuatro puntos, A, B, C y D, de modo que: AB 1 cm, BC 2 cm, CD 3 cm. A 1 cm B C 2 cm 3 cm D r a b c d A' u 2u 3u B' C' D' s Traza rectas paralelas, a, b, c y d, que pasen por A, B, C y D. Llama A', B', C' y D' a los puntos en que estas rectas cortan a s. Comprueba que: B'C' 2 A'B' y C'D' 3 A'B' Actividad de construcción. En el enunciado del ejercicio se propone una posible construcción sobre la que se puedan hacer las comprobaciones que se piden. 2 a) Comprueba que las rectas a, b y c del dibujo son paralelas. - c b) Calcula. a) Se comprueba (por ejemplo, con regla y escuadra) que las rectas dadas a, b y c son paralelas. c) Cálculo de : 2 cm 1 cm a b 1,6 cm 1 2 1,6 3,2 cm

7 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 7 PÁGINA Haz en tu cuaderno esta construcción y calcula y calcula los los valores de e y ,5 A'B' 6 cm A'B' 4,5 B'C' 3 cm B'C' O 3 cm A 4,5 cm 4 cm 2 cm B C A' B' y r C' s 2 Eplica por qué los triángulos ONP y OMQ están en posición de Thales. Calcula la longitud MN. O 3m 2m N 40 P NP es paralelo a MQ porque los ángulos N y se puede aplicar el Teorema de Tales: 2 7 M ,5 m 7m Q M son iguales (40 ). Por tanto, PÁGINA BC y DE son dos postes clavados verticalmente en el suelo. ABD es una cuerda tensa. ACE es el nivel del suelo. Eplica por qué los triángulos ABC y ADE están en posición de Tales. F 3,2 m 10 m F 5 m F F

8 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 8 Los dos triángulos tienen un ángulo común, Los lados opuestos a A, BC y DE, son paralelos, pues ambos son perpendiculares al suelo. Por tanto, los triángulos ABC y ADE están en posición de Tales. Así: A ,2 4,8 m 15 2 En el triángulo ABC, A 33 y C 90. En el triángulo A'B'C', B', 57 y C' 90. Eplica por qué son semejantes. En ABC, B Por tanto, ABC y A'B'C' son rectángulos con un ángulo agudo igual. Son, pues, semejantes. 3 Demuestra que los triángulos ABC, AHB y BHC son semejantes, comprobando que sus lados son proporcionales. B A 64 H 225 C AB 136 ABC BC 255 AC 289 BH 120 BHC HC 225 BC 255 AHB AH 64 HB 120 AB 136 ABC semejante a AHB: AB BC AC ,125 AH HB AB AHB semejante a BHC: BH HC BC HB 1,875 AH AB

9 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 9 4 Eplica por qué dos triángulos rectángulos isósceles son, necesariamente, semejantes. Los dos triángulos tienen un ángulo igual, el recto. Y los otros dos también son iguales dos a dos: mide cada uno de los otros ángulos 2 Por tanto, los dos triángulos son iguales. 5 Demuestra que los triángulos adjuntos son semejantes. 28,8 cm 12 cm 12 cm 5 cm Los dos triángulos son rectángulos y tienen dos lados proporcionales: ,8 Por tanto, los triángulos son semejantes. PÁGINA Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el momento en que una estaca de 2 m arroja una sombra de 1,25 m ,4 m 1,25 El edificio mide 78,4 metros.

10 9 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág Las sombras de estos árboles medían, a las cinco de la tarde, 12 m, 8 m, 6 m y 4 m, respectivamente. El árbol pequeño mide 2,5 m. Cuánto miden los demás? 2,5 4 0,625 es la razón de semejanza. 12 0,625 7,5 m 8 0,625 5 m 6 0,625 3,75 m Son las longitudes respectivas de los otros tres árboles. PÁGINA Observa de qué ingenioso método se vale Ramón para averiguar la altura del edificio: Se sitúa de tal manera que la parte alta de la verja y la parte alta del edificio estén alineadas con sus ojos. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo. a) Eplica por qué los triángulos ABC y CDE son semejantes. b) Calcula ED. c) Calcula la altura del edificio. a) El ángulo A del triángulo ABC y el ángulo C del triángulo CDE son iguales (AB y CD son paralelos). El ángulo B del triángulo ABC y el ángulo D del triángulo CDE son iguales (AB y CD son paralelos y el edificio y la verja son paralelos).

11 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 11 El ángulo C del triángulo ABC y el ángulo E del triángulo CDE son iguales (el edificio y la verja son paralelos). Por el primer criterio de semejanza de triángulos, ABC y CDE son semejantes. b) 3 1,56 1,44 m BC 1,44 m ED 1,44 6,5 2,4 ED 3,9 m c) Altura del edificio: 3, ,9 m

12 Pág. 1 PÁGINA 186 EJERCICIOS Semejanza de figuras 1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple de su tamaño: 2 En un mapa a escala 1 : la distancia entre dos pueblos, P y Q, es 11 cm. Cuál es la distancia real entre P y Q? La distancia real entre otros dos pueblos, M y N, es 18 km. A qué distancia estarán en el mapa? Distancia real entre P y Q: cm ,5 km Distancia en el mapa entre M y N: (18 km cm) : cm

13 9 Pág. 2 3 Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1:50 tiene las siguientes medidas: largo: 32 cm, ancho: 24 cm, alto: 8 cm Halla las dimensiones reales del aparato. Largo cm 16 m Ancho cm 12 m Alto cm 4 m 4 Mide sobre el plano AB, BC y AC. Averigua cuáles son las verdaderas distancias entre esos tres pueblos. ESCALA 1: AB BC AC DISTANCIA EN EL PLANO 4 cm 4,5 cm 1,7 cm DISTANCIA REAL 16 km 18 km 6,8 km 5 Sabiendo que la distancia real entre A y B (en línea recta) es 6,4 km, halla la escala y las distancias reales BC, CD y AD. AB en el planto 2 cm 6,4 km cm Escala 1:

14 Pág. 3 AB CD AD DISTANCIA EN EL PLANO 2,5 cm 3,5 cm 6,4 cm DISTANCIA REAL 8 km 11,2 km 20,48 km 6 La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 220 km. En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. Cuál es la escala del mapa? 220 km cm 11 La escala es 1: Cecilia es la chica de la derecha y mide 161 cm. Calcula las estaturas de los otros tres. Midiendo sobre la fotografía la estatura de los cuatro jóvenes (de los pies a la cabeza), obtenemos, de izquierda a derecha: 4,2 cm 4 cm 4,4 cm 3,6 cm Conocemos la estatura real de Cecilia, 161 cm. Por tanto: 1 61 cm 44,72 es la razón de semejanza 3,6 cm La estatura real de los otros tres es, aproimadamente: 4,2 44,72 187,8 cm 4 44,72 178,8 cm 4,4 44,72 196,7 cm

15 Pág. 4 8 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm 20 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él, mide 6 cm. Halla: a) La razón de semejanza para pasar del primero al segundo. b) El lado mayor del segundo. c) Las áreas de ambos rectángulos. a) 6 cm 0,75 8 cm b) 20 0,75 15 cm c) Área del primero 8 cm 20 cm 160 cm 2 Área del segundo 6 cm 15 cm 90 cm 2 9 Nos aseguran que estos dos triángulos son semejantes: 8 cm C A 24 5 cm B B' cm A' 10 cm C' Halla los lados y los ángulos que les faltan a cada uno de ellos. A' A 24 B B' 125 C 180 ( ) 31 C AC 8 AC A'C' 0,8 0,8 A'C' 10 BC B'C' 0,8 5 0,8 4 cm AB A'B' 0,8 5 A'B' 0,8 A'B' 5 0,8 6,25 cm 10 Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 15 cm. a) Cuál es la razón de semejanza? b) Halla los otros dos lados del segundo triángulo. c) El primer triángulo es rectángulo. Podemos asegurar que el segundo también lo será?

16 Pág. 5 a) 1 5 cm 5 3 cm Razón de semejanza 5 b) cm cm c) Dos triángulos semejantes tienen los ángulos respectivamente iguales. Por tanto, si uno es rectángulo, también lo es el otro. PÁGINA 187 TEOREMA DE TALES 11 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de. Qué teorema estás aplicando? Aplicando el Teorema de Tales: ,8 cm 5 5 a 5 cm 7 cm 2 cm c b 12 Observa cómo se parte un segmento AB en tres partes iguales: A B r P N Por uno de sus etremos se traza una recta r, cualquiera. Sobre ella, se toman tres segmentos iguales. Se unen A y N. Por Q y P se trazan paralelas a AN. Se obtienen así los puntos señalados con flechas, con los que se parte el segmento AB en tres trozos iguales. Traza un segmento AB de 7 cm y pártelo en cinco trozos iguales. A Q 7 cm B M

17 Pág Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta las medidas que se dan en el dibujo, podemos asegurar que c es paralela a las rectas a y b? En qué te basas? qué te basas? 1,5 cm 3 cm a b c 1 cm 2 cm Las medidas en cada una de las rectas negras son proporcionales: 1 1,5 2 3 Por tanto, la recta c es paralela a las rectas a y b. 14 Los triángulos formados por una farola, un poste vertical y su sombra están en posición de Tales. Justifícalo. Tienen un ángulo igual, el recto, y los lados opuestos a este ángulo, las hipotenusas, son paralelos. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 15 Eplica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. Entre estos triángulos, hay algunos semejantes entre sí. Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada uno de ellos:

18 Pág. 7 Si dos triángulos son rectángulos y, además, tienen un ángulo agudo igual, entonces tienen tres ángulos iguales. Por tanto, son semejantes El ángulo desconocido mide El ángulo desconocido mide El ángulo desconocido mide 45. La hipotenusa es la diagonal de un cuadrado. Sus ángulos agudos miden 45 cada uno El ángulo desconocido mide El ángulo desconocido mide 27. es semejante a, pues sus dos ángulos agudos miden 27 y 63. es semejante a, pues sus dos ángulos agudos miden 41 y 49. es semejante a, pues sus dos ángulos miden, ambos, Eplica por qué estos dos triángulos isósceles 40 son semejantes partiéndolos en triángulos rectángulos. 40 Si dividimos cada triángulo isósceles, por el ángulo que conocemos, en dos triángulos rectángulos, los cuatro triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos agudos iguales, el de El triángulo grande ABC y el pequeño, rojo, son rectángulos. Eplica por qué son semejantes. Puesto que son semejantes, los situamos en posición de Tales para que se aprecie cuáles son los lados correspondientes en la semejanza. B 15 y 20 A 1 25 C 15 y

19 Pág. 8 Halla los lados e y del triángulo verde. 15 y y PÁGINA Procediendo como en el ejercicio anterior, calcula los lados y, z del triángulo verde. B y y z 2 2 A 25 C z La hipotenusa del triángulo ABC es AC. Si los dos triángulos son semejantes: y z y 20 y cm z 20 z cm CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES 19 Haz en tu cuaderno un pentágono irregular. Amplíalo al doble de su tamaño: a) Proyectándolo desde un punto eterior. b) Proyectándolo desde un punto interior. c) Proyectándolo desde uno de sus vértices. j p Construcción libre. Por ejemplo: a) b) c)

20 Pág Para construir un pentágono regular de 2 cm de lado, copiamos un pentágono regular cualquiera (figura roja), alargamos dos de sus lados consecutivos hasta 2 cm y completamos una figura semejante a la roja con los lados paralelos. Calca en tu cuaderno el pentágono rojo y, procediendo como arriba, dibuja un pentágono regular de 3 cm de lado. 2 cm 2 cm APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 21 El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gato reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. A qué altura se encuentra el gato? Los triángulos formados por Leticia y el charco y el poste con el charco, son rectángulos. Además, los ángulos que forman con el charco son iguales. Luego, los dos triángulos son semejantes. 1,44 1,6 4 1,44 3,6 m mide el poste 4 1,6 El gato se encuentra a 3,6 m de altura.

21 Pág Un gran pino, a las once de la mañana de un cierto día, arroja una sombra de 6,5 m. Próimo a él, una caseta de 2,8 m de altura proyecta una sombra de 70 cm. Cuál es la altura del pino? 2,8 6,5 2,8 26 m 6,5 0,70 0,70 El pino mide 26 m. 23 Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola cm La farola mide 2,7 m. 24 Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenlo en cuenta para hallar la altura de la torre de la iglesia. El triángulo que se ve es isósceles rectángulo: tiene un ángulo recto y dos ángulos de 45. Los lados iguales son la base y la altura de la torre. La altura de la torre es 37 m.

22 Pág Halla la altura del árbol grande: 15,6 m 1,6 m 1,6 m 1,6 m 12 m 22 m 15, , ,6 44,2 m El árbol grande mide 44,2 m + 1,6 m 45,8 m PÁGINA Halla la altura del edificio sabiendo que: La mesa tiene 1 m de altura. AB 80 cm. BC 52 cm.

23 Pág. 12 C A 1 m 0,8 m B 0,52 m 1 m 24 m 0,52 0,8 24 0,52 15,6 m 24 0,8 La altura del edificio es de 15, ,6 m. 27 PROBLEMAS DE ESTRATEGIA Desde los etremos A y B de la recta de los 100 m de una pista de atletismo, se ve la torre de una iglesia. Medimos los ángulos A 31 y B 112. Dibuja en tu cuaderno un triángulo semejante, A'B'C', con A'B' 5 cm. Midiendo A'C', calcula la distancia real, AC.

24 Pág. 13 C' A' 5 cm B' o: Midiendo se obtiene Por tanto: 0,05 m 100 m 0,078 m AC A'C' 7,8 cm AC 7,8 0, m