Sistema binario. Representación

Transcripción

1 Sistema binario El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno ( y ). Es el que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido, apagado ). Representación Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico: El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada. binario (declaración explícita de formato) b (un sufijo que indica formato binario) bin (un prefijo que indica formato binario) 2 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación) Conversión entre binario y decimal Decimal a binario Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este será el número binario que buscamos. Transformar el número decimal 3 en binario. El método es muy simple: 3 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 32 dividido entre 2 da 6 y el resto es igual a 6 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 2 dividido entre 2 da y el resto es igual a dividido entre 2 da y el resto es igual a -> Ordenamos los restos, del último al primero: en sistema binario, 3 se escribe

2 Transformar el número decimal en binario. Decimal (con decimales) a binario Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que en binario será, y en caso contrario es ) 2. En caso de ser, en la siguiente multiplicación se utilizan sólo los decimales. 3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. 4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el,,325 (decimal) =>, (binario). Proceso:,325 x 2 =,625 =>,625 x 2 =,25 =>,25 x 2 =,5 =>,5 x 2 = => En orden: ->, (binario), (decimal) =>,... (binario). Proceso:, x 2 =,2 =>,2 x 2 =,4 =>,4 x 2 =,8 =>,8 x 2 =,6 =>,6 x 2 =,2 =>,2 x 2 =,4 => <- se repiten las cuatro cifras, periódicamente,4 x 2 =,8 => <-,8 x 2 =,6 => <-,6 x 2 =,2 => <-... En orden:...

3 Binario a decimal Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia ). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. s: (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2) También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un. El número binario corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera: entonces se suma los números 64, 6 y 2: Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -:

4 Binario a decimal (con decimal binario). Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva a la inversa(comenzando por la potencia -). 2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. s. (binario) =.64625(decimal). Proceso: *(2) elevado a (-)=.5 *(2) elevado a (-2)= *(2) elevado a (-3)=.25 *(2) elevado a (-4)= *(2) elevado a (-5)= *(2) elevado a (-6)=.5625 La suma es: (binario) = (decimal). Proceso: *(2) elevado a (-)=.5 *(2) elevado a (-2)=.25 *(2) elevado a (-3)= *(2) elevado a (-4)=.625 *(2) elevado a (-5)=.325 *(2) elevado a (-6)=.5625 La suma es: Operaciones con números binarios Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar dos bits son: + = + = + = + = al sumar + siempre nos llevamos a la siguiente operación. +

5 Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, + =, entonces escribimos en la fila del resultado y llevamos (este "" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: + + =, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). Resta de números binarios El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas -, - y - son evidentes: - = - = - = - = (se transforma en - = ) (en sistema decimal equivale a 2 - = ) La resta - se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: - = y me llevo, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - =. s - - En sistema decimal sería: 7 - = 7 y 27-7 = 46. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos: Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: = Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.

6 La siguiente resta, 9-46 = 45, en binario es: - el C2 de es + En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Un último ejemplo: vamos a restar = 96, directamente y utilizando el complemento a dos: - el C2 de es + Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: en binario, 96 en decimal. Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda. Conversión entre binario y octal Binario a octal Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente: ) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario Número en octal ) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

7 s (binario) = 67 (octal). Proceso: = 7 = 6 Agrupe de izquierda a derecha: 67 (binario) = 37 (octal). Proceso: = 7 = entonces agregue un cero, con lo que se obtiene = 3 Agrupe de izquierda a derecha: 37 (binario) = 3 (octal). Proceso: = 3 = entonces agregue = Agrupe de izquierda a derecha: 3 Octal a binario Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. 247 (octal) = (binario). El 2 en binario es, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(); el Oc(4) = B() y el Oc(7) = (), luego el número en binario será.

8 Conversión entre binario y hexadecimal Binario a hexadecimal Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente: ) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario Número en hexadeci mal A B C D E F 3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda. s (binario) = BA (hexadecimal). Proceso: = A = B entonces agregue = Agrupe de derecha a izquierda: BA (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: = 5 = F entonces agregue = 6 Agrupe de derecha a izquierda: 6F5 Hexadecimal a binario Ídem que para pasar de octal a binario, sólo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario.

9 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal. Decimal Binario Hexadecimal Octal A 2 B 3 2 C 4 3 D 5

10 4 E 6 5 F 7 Sistema hexadecimal El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 6 empleando por tanto 6 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 2 8 valores posibles, y esto puede representarse como, que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 6 6, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente permiten representar la misma línea de enteros a un byte. En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: Se debe notar que A =, B =, C = 2, D = 3, E = 4 y F = 5. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 6. Por ejemplo: 3E,A 6 = E A 6 - = ,625 = 992,625. Conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 6 hasta convertir el resultado en un número entero. Por ejemplo: en base decimal. Multiplicado por 6:.625, el primer decimal será. Volvemos a multiplicar por 6 la parte decimal del anterior resultado:. Por lo tanto el siguiente decimal será un.resultado:. en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.

11 Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico. Nombres para diferentes unidades Byte es una voz inglesa, que si bien la Real Academia Española ha aceptado como equivalente a octeto, es decir a ocho bits, para fines correctos, un byte debe ser considerado como una secuencia de bits contiguos, cuyo tamaño depende del código de información o código de caracteres en que sea definido. La unidad byte no tiene símbolo establecido internacionalmente, aunque es frecuente utilizar el símbolo B. Nombre Abrev. Factor binario bytes B 2 = kilo k 2 = 24 mega M 2 2 = giga G 2 3 = tera T 2 4 = peta P 2 5 = exa E 2 6 = zetta Z 2 7 = yotta Y 2 8 =