Capítulo 1. Mecánica

Transcripción

1 Capítulo 1 Mecánica 1

2 Velocidad El vector de posición está especificado por tres componentes: r = x î + y ĵ + z k Decimos que x, y y z son las coordenadas de la partícula. La velocidad es la derivada temporal del vector de posición. Componentes de la velocidad: r v = lim t 0 t = dr dt v x = dx dt v y = dy dt v z = dz dt Las componentes del vector de posición se miden en el Sistema Internacional de Unidades en metros (m), el tiempo en segundos (s), y la velocidad en metros/segundo (m/s).

3 Aceleración La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Componentes de la aceleración: a = dv dt a x = dv x dt = d2 x dt 2 a y = dv y dt = d2 y dt 2 a z = dv z dt = d2 z dt 2 Dichas componentes se miden en metros/segundo 2 (m/s 2 ). La aceleración de una partícula posee una componente tangencial a la trayectoria a t = dv/dt y otra normal a n = v2 R

4 Problema inverso La velocidad en función de la aceleración viene dada por: v = v 0 + t t 0 a dt en donde t 0 es un instante de referencia cualquiera y v 0 es la velocidad de la partícula en t = t 0. El vector de posición en función de la velocidad es: r = r 0 + t t 0 v dt siendo r 0 el vector de posición de la partícula en el instante t 0. Si la aceleración es constante tenemos: v = v 0 + at y r = r 0 + v 0 t at2

5 Movimiento circular El arco de trayectoria recorrido es igual al ángulo por el radio de la circunferencia R: s = θr Definimos la velocidad angular θ como la derivada temporal del ángulo recorrido: ω = dθ dt Se mide en radianes/segundo (rad/s). La velocidad angular y la lineal están relacionadas por: ω = v R

6 Leyes de Newton 1 a : Todo cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta no altera su estado de movimiento, permaneciendo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, según fuera su estado inicial. 2 a : Si sobre un cuerpo actúa una fuerza F, éste cambia su velocidad con una aceleración dada por F = m a en donde m es una magnitud característica del objeto, llamada masa. Las componentes de la fuerza se miden en newtons (N): N = kg m/s 2. El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a un objeto. En las cercanías de la superficie terrestre es igual a la masa del objeto por g = 9.8 m/s 2, y está dirigido verticalmente hacia abajo. 3 a : Si un cuerpo produce una determinada fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual, pero de sentido contrario a la original.

7 Momento lineal El momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad. p = m v Componentes del momento lineal: p x = mv x p y = mv y p z = mv z Las componentes del momento lineal se miden en kg m/s. Podemos reescribir la segunda ley de Newton en función de p: F = dp dt El principio de conservación del momento lineal nos dice que en todo sistema aislado el momento lineal total se conserva.

8 Momento angular El momento angular de una partícula, con respecto a un punto O, es el producto vectorial de su vector de posición con respecto a dicho punto por su momento lineal: L = r p Componentes del momento angular: L x = m(yv z zv y ) L y = m(zv x xv z ) L z = m(xv y yv x ) El momento de una fuerza, con respecto a un punto O, es igual al vector que va desde O hasta el punto de aplicación de la fuerza multiplicado vectorialmente por la fuerza. M = r F La variación temporal del momento angular es igual a: dl dt = M en donde el momento angular y el momento de la fuerza han de ser calculados con respecto al mismo punto.

9 Problema 1.1 Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un punto con un intervalo temporal de 3 s. A qué distancia de dicho punto se produjeron? (Velocidad del sonido 340 m/s y de la luz m/s)

10 Problema 1.2 El vector de posición de una partícula viene dado por r = 3 sen(ωt)î + 3 cos(ωt)ĵ + 5 k m siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula: (a) el vector velocidad, (b) el vector aceleración, (c) la aceleración tangencial, (d) la aceleración normal, (e) el radio de curvatura.

11 Problema 1.3 Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo, y que en el salto consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura del listón? Qué tiempo durará el salto? (En lo que respecta a este problema, es como si toda la masa del atleta estuviera concentrada en su centro de gravedad).

12 Problema 1.4 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000 m/s y una inclinación de 30 con respecto a la horizontal. Determina: (a) altura a la que llega el proyectil, (b) tiempo que tarda en hacerlo, (c) distancia horizontal recorrida al caer de nuevo al suelo, (d) radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

13 Problema 1.5 Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en el que el punto más alto de la trayectoria está a 2 metros del suelo. Cuál es su velocidad de salida? Qué tiempo permanece en el aire?

14 Problema 1.6 Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con velocidad de salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45.

15 Problema 1.7 Cuánto más saltaría verticalmente una persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad es 7 veces menor allí que aquí? Qué proporción existiría entre los tiempos que la persona permanecería en el aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra?

16 Problema 1.8 Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre a 40 de latitud? (Radio de la Tierra km)

17 Problema 1.9 Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un plano vertical, atada de un hilo de 2 m de radio. Cuál es la frecuencia angular mínima con la que debe de girar para que no se caiga?

18 Problema 1.10 Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Si el radio de la circunferencia es de 0.5 m, cuánto valen los módulos de la velocidad lineal y de la aceleración?

19 Problema 1.11 Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de radio un avión de forma que la aceleración normal sea igual a la de la gravedad?

20 Problema 1.12 La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento unidimensional es A cos(ωt). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen en el instante inicial.

21 Problema 1.13 La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra en el punto 2î 3 k m, viene dada por 6t 2 î 2 cos(8t)ĵ m/s. Calcula la aceleración y el vector de posición.

22 Problema 1.14 A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m de radio de curvatura un coche cuyo centro de gravedad está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape.

23 Problema 1.15 Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal. Desde esa postura, salta consiguiendo elevar su centro de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual. Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto, suponiendo que la misma es constante.

24 Problema 1.16 Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce un movimiento unidimensional cuya posición viene dada por x = sen(3t) m?

25 Problema 1.17 Una fuerza igual a 300t 2 î 80 k N actúa sobre un cuerpo de 5 kg que en el instante inicial se encuentra en reposo en el punto 2î + ĵ m. Obtén la posición de la partícula en función del tiempo.

26 Problema 1.18 El momento lineal de una partícula es 100î + 200ĵ 300t 2 k kg m/s. Qué fuerza actúa sobre ella?

27 Problema 1.19 Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un momento lineal igual a 8 cos(4t) kg m/s. En el instante t = 3 s se encuentra en el origen. Calcula: (a) su posición. (b) su aceleración. (c) la fuerza que sobre él actúa.

28 Problema 1.20 Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una velocidad igual a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes del choque. Cuál era la velocidad de la otra partícula?

29 Problema 1.21 Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión a 60 km/h, permaneciendo unidos después del choque. El coche pesa 1000 kg y el camión kg. El coeficiente de rozamiento de ambos después del choque es de 0.8. Calcular: (a) velocidad del conjunto justo después de la colisión, (b) distancia que recorren antes de pararse. (La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso).

30 Problema 1.22 Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una velocidad de 2 m/s. Con qué velocidad retrocede la rama, que posee 80 gr de masa. Si el impulso para el salto dura 0.1 s, qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama?

31 Problema 1.23 Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular, determina los módulos de los momentos lineal y angular de aquella. Datos: radio de la órbita m, período s y masa de la Luna kg.

32 Problema 1.24 La posición de una partícula de 0.1 kg es 10 sen tî 10 cos tĵ m. Obtén: (a) el momento lineal. (b) el momento angular respecto del origen. (c) el momento angular respecto del punto 3î 2 k m. (d) la fuerza que actúa sobre la partícula. (e) el momento de dicha fuerza respecto del origen.

33 1.1 Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un punto con un intervalo temporal de 3 s. A qué distancia de dicho punto se produjeron? (Velocidad del sonido 340 m/s y de la luz m/s) El intervalo temporal entre el relámpago y el trueno en función de la distancia es: t = 3 = s v s c s v La velocidad de la luz es tan grande comparada con la del sonido que podemos despreciar el tiempo de viaje del relámpago. Despejamos s de la ecuación anterior: s = v t = = 1020 m.

34 1.2 El vector de posición de una partícula viene dado por r = 3 sen(ωt)î + 3 cos(ωt)ĵ + 5 k m siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula: (a) el vector velocidad, (b) el vector aceleración, (c) la aceleración tangencial, (d) la aceleración normal, (e) el radio de curvatura. (a) La velocidad es la derivada temporal del vector de posición: v = dr dt = 3ω cos(ωt)î 3ω sen(ωt)ĵ m/s. (b) La aceleración es la derivada temporal de la velocidad: a = dv dt = 3ω2 sen(ωt)î 3ω 2 cos(ωt)ĵ m/s 2. (c) La aceleración tangengial es el la derivada temporal del módulo de la velocidad: a t = d v = d { } 9ω2 cos dt dt 2 (ωt) + 9ω 2 sen 2 (ωt) = d3ω = 0. dt (d) La aceleración normal viene dada por: a n = a 2 a 2 t = 9ω 4 sen 2 (ωt) + 9ω 4 cos 2 (ωt) = 3ω 2. (e) El radio de curvatura lo determinamos a partir de la aceleración normal: R = v2 = 9ω2 a n 3ω = 3 m. 2

35 1.3 Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo, y que en el salto consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura del listón? Qué tiempo durará el salto? (En lo que respecta a este problema, es como si toda la masa del atleta estuviera concentrada en su centro de gravedad). La altura que franqueará es igual a la posición inicial de su centro de gravedad más la distancia saltada gracias a su velocidad vertical: h = h 0 + v 0 t 1 2 gt2. Para obtener h, hemos de calcular primero el tiempo de salto mediante la condición de que la velocidad en el punto más alto es nula: v = v 0 gt de donde obtenemos el tiempo de salto: t = v 0 g = Por tanto, la latura alcanzada es: = 0.41 s. h = = 2.12 m.

36 1.4 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000 m/s y una inclinación de 30 con respecto a la horizontal. Determina: (a) altura a la que llega el proyectil, (b) tiempo que tarda en hacerlo, (c) distancia horizontal recorrida al caer de nuevo al suelo, (d) radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria. (a) El proyectil asciende hasta una altura igual a: h = v 0 sen(α)t 1 2 gt2. Antes de determinar esta altura hemos de calcular el tiempo. (b) El tiempo empleado viene dado por la condición de que la velocidad sea cero en lo más alto: Despejando se tiene: y la altura es: t = v 0 sen(α) g v = v 0 sen(α) gt = 0 = 1000 sen = 51 s, h = 1000 sen = m. (c) La distancia horizontal recorrida vale: 3 d = v 0 cos(α)t = = m. 2 (d) En el punto más alto la aceleración es normal (no hay aceleración tangencial) y la velocidad es horizontal. El radio de curvatura es, por tanto: R = v2 g = cos 2 30 = m. 9.8

37 1.5 Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en el que el punto más alto de la trayectoria está a 2 metros del suelo. Cuál es su velocidad de salida? Qué tiempo permanece en el aire? Escribimos la longitud y la altura alcanzadas en función de la velocidad y el ángulo de salida: h = 2 = v 0 sen(α)t 1 2 gt2 = 1 2 v 0 sen(α)t d = 8 = 2v 0 cos(α)t en donde t es el tiempo que tarda el saltador en llegar al punto más alto de la trayectoria, y hemos tenido en cuenta que el tiempo total es el doble del tiempo anterior. Dividiendo ambas expresiones entre si obtenemos: 1 4 = sen(α) 4 cos(α) = 1 4 tan(α) y el ángulo de salida α vale por tanto: α = arctan 1 = 45. El tiempo que permanece en el aire corresponde a la solución de la ecuación: v = v 0 sen(α) gt = 0 Despejando se tiene: t = v 0 sen(α) g y sustituyendo en la expresión de d podemos obtener la velocidad de salida: 8 = v2 0 cos(α) sen(α) g = v 0 = = 6.3 m/s. El tiempo total vale: 6.3 sen 45 t = = 0.91 s. 9.8

38 1.6 Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con velocidad de salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45. El tiempo de llegada al punto más alto, en el que la velocidad vertical es cero, viene dado por: v = v 0 sen(α) gt = 0 El tiempo de un lanzamiento es, por simetría, el doble del tiempo anterior: La distancia recorrida vale: t l = 2t = 2v 0 sen(α). g l = v 0 cos(α)t l = 2v2 0 sen(α) cos(α) g = v2 0 sen(2α). g Derivando con respecto de α obtenemos el valor que maximiza l: dl dα = 2v2 0 cos(2α) g = 0 = cos(2α) = 0 El lanzamiento óptimo corresponde a 2α = 90, o sea, a α = 45.

39 1.7 Cuánto más saltaría verticalmente una persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad es 7 veces menor allí que aquí? Qué proporción existiría entre los tiempos que la persona permanecería en el aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra? El tiempo de salto se obtiene de la condición de que la velocidad vertical se anule: v = v 0 gt = t = v 0 g. La relación entre los tiempos de salto es: La altura saltada vale: t L t T = g T g L = 7. h = v 0 t 1 2 gt2 = 1 2 v 0t 2 = 1 2 v 2 0 g. La relación entre las alturas alcanzadas es, por consiguiente: h L h T = g T g L = 7.

40 1.8 Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre a 40 de latitud? (Radio de la Tierra km) La aceleración de un cuerpo en la superficie terrestre es la aceleración normal debida al giro de la Tierra: a = = v2 r = ω2 r = 4π2 R cos 40 T 2 4π 2 ( ) cos 40 = m/s 2.

41 1.9 Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un plano vertical, atado de un hilo de 2 m de radio. Cuál es la frecuencia angular mínima con la que debe de girar para que no se caiga? El objeto no se cae si su masa multiplicada por su aceleración normal en el punto más alto es mayor que su peso: m v2 r = mω2 r mg. El caso límite corresponde a una frecuencia igual a: ω min = g r = = 2.21 rad/s.

42 1.10 Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Si el radio de la circunferencia es de 0.5 m, cuánto valen los módulos de la velocidad lineal y de la aceleración? El módulo de la velocidad lineal es: v = ωr = 2π = m/s. El módulo de la aceleración normal vale: a n = v2 r = = m/s 2.

43 1.11 Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de radio un avión de forma que la aceleración normal sea igual a la de la gravedad? Igualamos la aceleración normal a la de la gravedad: y despejamos de aquí la velocidad: a n = v2 r = g v = gr = = 54 m/s.

44 1.12 La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento unidimensional es A cos(ωt). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen en el instante inicial. Primero hemos de obtener la velocidad del cuerpo, que viene dada por: v = v 0 + t 0 a dt = 0 + t 0 A cos(ωt ) dt = A ω sen(ωt). Integrando la velocidad encontramos la posición: r = r 0 + t 0 v dt = 0 + t 0 A ω sen(ωt ) dt = A ω2[cos(ωt) 1].

45 1.13 La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra en el punto 2î 3 k m, viene dada por 6t 2 î 2 cos(8t)ĵ m/s. Calcula la aceleración y el vector de posición. La aceleración de la partícula es igual a: a = dv dt = 12tî + 16 sen(8t)ĵ m/s2. Integrando la velocidad obtenemos el vector de posición: r = r 0 + t 0 v dt = 2î 3 k + = 2(1 + t 3 )î 1 4 sen(8t)ĵ 3 k m. [ 2t 3î ] 1 t 4 sen(8t )ĵ 0

46 1.14 A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m de radio de curvatura un coche cuyo centro de gravedad está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape. La velocidad estable máxima es aquella para la que la aceleración total señala en la dirección que va del centro de gravedad al punto de apoyo de las ruedas: h l = = g v 2 /r. De aquí despejamos la velocidad: v = gr = = 19.8 m/s.

47 1.15 Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal. Desde esa postura, salta consiguiendo elevar su centro de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual. Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto, suponiendo que la misma es constante. La altura a la que salta nos determina la velocidad de salida: h = 0.45 = v 0 t 1 2 gt2 = 1 2 v 0t = 1 2 v v 0 0 g. De esta ecuación despejamos la velocidad inicial: v 0 = 2gh = = 2.97 m/s. Ahora calculamos la aceleración durante el salto para adquirir esta velocidad: de aquí deducimos: h = 0.5 = 1 2 at2 1 = 1 2 av2 0 a 2 a = v = 8.82 m/s2. La fuerza que ejercen los músculos ha de vencer la gravedad e imprimir la anterior aceleración: F = m(g + a) = 70( ) = 1303 N.

48 1.16 Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce un movimiento unidimensional cuya posición viene dada por x = sen(3t) m? Primero determinamos la aceleración a partir de la posición: La fuerza viene dada por: a = d2 x dt 2 = d dt (6 cos(3t)) = 18 sen(3t) m/s2. F = ma = 3( 18 sen(3t)) = 54 sen(3t) N.

49 1.17 Una fuerza igual a 300t 2 î 80 k N actúa sobre un cuerpo de 5 kg que en el instante inicial se encuentra en reposo en el punto 2î + ĵ m. Obtén la posición de la partícula en función del tiempo. La aceleración de la partícula viene dada por la segunda ley de Newton: a = F m = 300t2 î 80 k 5 = 60t 2 î 16 k m/s 2. La velocidad la obtenemos integrando la aceleración: v = v 0 + t 0 a dt = 0 + La posición es igual a: t t 0 (60t 2î 16 k) dt = 20t 3 î 16t k m/s. r = r 0 + v 0 dt = 2î + ĵ + 3î 0 (20t 16t k) dt = (2 + 5t 4 )î + ĵ 8t 2 k m. t

50 1.18 El momento lineal de una partícula es 100î + 200ĵ 300t 2 k kg m/s. Qué fuerza actúa sobre ella? La fuerza es igual a la derivada del momento lineal con respecto al tiempo:. F = dp dt = d(100î + 200ĵ 300t2 k) dt = 600t k N.

51 1.19 Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un momento lineal igual a 8 cos(4t) kg m/s. En el instante t = 3 s se encuentra en el origen. Calcula: (a) su posición. (b) su aceleración. (c) la fuerza que sobre él actúa. (a) El momento lineal nos dice la velocidad del objeto, y a partir de ésta encontramos la posición: r = r 0 + t t 0 v dt = 0 + t (b) La aceleración del objeto vale: cos(4t ) dt = sen(4t) sen(12) m. a = dv dt = d(4 cos(4t)) dt = 16 sen(4t) m/s 2. (c) La fuerza es igual a la masa por la aceleración: F = ma = 32 sen(4t) N.

52 1.20 Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una velocidad igual a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes del choque. Cuál era la velocidad de la otra partícula? Aplicamos la conservación del momento lineal en la colisión: y despejamos de aquí v 2 : mv 1 + mv 2 = 2m v 1 3 v 2 = 2 3 v 1 v 1 = v 1 3. La segunda partícula se movía antes del choque con un tercio de la velocidad de la primera partícula y en sentido contrario.

53 1.21 Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión a 60 km/h, permaneciendo unidos después del choque. El coche pesa 1000 kg y el camión kg. El coeficiente de rozamiento de ambos después del choque es de 0.8. Calcular: (a) velocidad del conjunto justo después de la colisión, (b) distancia que recorren antes de pararse. (La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso). (a) En la colisión se conserva el momento lineal: m 1 v 1 m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v 0. De aquí despejamos la velocidad de salida: v 0 = m 1v 1 m 2 v 2 m 1 + m 2 = = 43.6 km/h. (b) La aceleración debida al rozamiento vale: a = F r m = mgµ m = = 7.84 m/s2. (c) El tiempo hasta que se detiene es: v = v 0 + at = 0 = t = v 0 a = La distancia recorrida antes de pararse es igual a: s = v 0 t at2 = 1 2 v 0t = = 9.35 m = 1.54 s.

54 1.22 Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una velocidad de 2 m/s. Con qué velocidad retrocede la rama, que posee 80 gr de masa. Si el impulso para el salto dura 0.1 s, qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama? La conservación del momento lineal nos da la velocidad de retroceso de la rama: 0 = m 1 v 1 m 2 v 2 = m 1 v 1 = m = 0.5 m/s. La fuerza es el cambio en el momento lineal dividido por el tiempo: F = p t = m 1v 1 t = = 0.4 N.

55 1.23 Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular, determina los módulos de los momentos lineal y angular de aquella. Datos: radio de la órbita m, período s y masa de la Luna kg. El período de giro de la Luna nos permite obtener su velocidad: 2πR = vt = v = 2πR T El momento lineal de la Luna vale: = 2π = 956 m/s. p = mv = = kg m/s. El módulo de su momento angular respecto del centro de su órbita es: L = Rp = = kg m 2 /s.

56 1.24 La posición de una partícula de 0.1 kg es 10 sen tî 10 cos tĵ m. Obtén: (a) el momento lineal. (b) el momento angular respecto del origen. (c) el momento angular respecto del punto 3î 2 k m. (d) la fuerza que actúa sobre la partícula. (e) el momento de dicha fuerza respecto del origen. (a) El momento lineal es igual a: d(10 sen tî 10 cos tĵ) p = mv = 0.1 dt = cos tî + sen tĵ kg m/s. (b) El momento angular respecto del origen viene dado por: L = r p = î ĵ k 10 sen t 10 cos t 0 cos t sen t 0 = (10 sen 2 t + 10 cos 2 t) k = 10 k kg m 2 /s. (c) El vector que va desde el punto de referencia del momento angular a la posición de la partícula es (10 sen t 3)î 10 cos tĵ + 2 k, y el momento angular vale entonces: L = î ĵ k 10 sen t 3 10 cos t 2 cos t sen t 0 = 2 sen tî + 2 cos tĵ + (10 3 sen t) k kg m 2 /s. (d) La fuerza la obtenemos a partir del momento lineal: F = dp dt = d(cos tî + sen tĵ) dt = sen tî + cos tĵ N.

57 (e) El momento de la fuerza respecto del origen es: M = r F = î ĵ k 10 sen t 10 cos t 0 sen t cos t 0 = 0.