Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

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1 Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos más centrales del álgebra lineal que es el de espacio vectorial La idea es tomar ciertas propiedades de R n y generalizarlas adecuadamente Definición Sea V un conjunto en el cual dos operaciones llamadas suma y multiplicación escalar han sido definidas Si u y v son elementos de V la suma de u y v se denotará por u + v Si c es un escalar el múltiplo escalar de u por c se denotará por cu Si las siguientes condiciones son válidas para todo u v w V y para todo escalar c y d entonces V se denomina un espacio vectorial y sus elementos serán llamados vectores u + v V Clausura bajo la suma u + v v + u Conmutatividad (u + v + w u + (v + w Asociatividad Existe V tal que u + u Existencia del vector cero 5 Para cada u V existe u V tal que u + ( u Existencia del vector inverso 6 cu V Clausura bajo la multiplicación escalar 7 c(u + v cu + cv Distributividad 8 (c + du cu + du Distributividad 9 c(du (cdu u u Observaciones (a Cuando decimos escalares nos referiremos a números reales Por tanto deberíamos decir que V es un espacio vectorial real También es posible que los escalares sean números complejos; en cuyo caso V sería espacio vectorial complejo En este curso cuando digamos espacio vectorial nos estamos refiriendo a un espacio vectorial real (b La definición de espacio vectorial no especifica de que está compuesto V Tampoco especifica que las operaciones "suma" y "multiplicación escalar" sean las operaciones a las que estamos acostumbrados Esta observación se aclarará con los siguientes ejemplos Ejemplos (a Para n R n es un espacio vectorial con la adición y la multiplicación por escalar usuales (b El conjunto de las matrices de orden m n es un espacio vectorial con las operaciones de adición de matrices y el producto de un escalar por una matriz Este espacio vectorial se denotará por M mn (c Sea P el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a con coeficientes reales es decir P a + a x + a x j a a a R Definamos la adición y multiplicación por escalar como se muestra a continuación dados p a + a x + a x y q b + b x + b x en P p + q (a + b + (a + b x + (a + b x

2 Si c es un escalar cp (ca + (ca x + (ca x Con las operaciones descritas anteriormente se puede verificar que P es un espacio vectorial (d En general dado n el conjunto P n de todos los polinomios de grado menor o igual a n es un espacio vectorial (con operaciones análogas a las definidas en (c (e Sea F el conjunto de todas las funciones con valores reales definida sobre la recta de los números reales Si f y g son funciones de este tipo y c es un escalar entonces f + g y c f están definidas mediante ( f + g(x f (x + g(x y (c f (x c f (x F junto con estas dos operaciones es un espacio vectorial (f El conjunto M mn de las matrices de orden m n no es un espacio vectorial si se toma como adición el producto usual de matrices y como multiplicación escalar el producto de un escalar por una matriz Subespacios vectoriales Definición Un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si W mismo es un espacio vectorial con los mismos escalares adición y multiplicación por escalares que V Teorema Sean V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V Entonces W es un subespacio de V si y sólo si (a Si u v W entonces u + v W y (b Si u W y c R entonces cu W Ejercicio Cuál de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V dado es subespacio? (a W fa M nn j A es simétricag V M nn (d H f f F j f + f g V F (b D f f F j f es diferenciableg V F (e K fa M a a a g V M (c S f f F j f + f g V F (f G a + a x + a x + a x j a a a V P El siguiente lema nos da una condición necesaria pero no suficiente para que un subconjunto sea subespacio Lema Si W es un subespacio de V entonces W Ejemplo Es S fa M j a a g un subespacio de M? Solución No Notemos que A S y B S Pero A + B / S Conjuntos generadores Definición 5 El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores S fv v v k g en un espacio vectorial V se conoce como el espacio generado por v v v k y se denota por espacio (v v v k espacio (S Si V espacio (S S se denomina un conjunto generador para V (y se dice que V es generado por S Teorema 6 espacio (v v v k es un subespacio de V Ejemplo Muestre que H fasen (x + b cos (x j a b Rg es un subespacio de F Solución Notemos que H espacio(senx cos x Por el teorema anterior H es un subespacio de F Ejemplo Muestre que W fa + a x + a x + a x j a a a g es un subespacio de P Solución Como a a + a tenemos que a + a x + a x + a x a + a (x + x + a (x + x Luego W espacio( x + x x + x Por tanto W es un subespacio de P

3 Independencia lineal Definición 7 Un conjunto de vectores fv v v k g de un espacio vectorial V es linealmente dependiente (LD si existen escalares c c c k al menos uno de los cuales no sea cero tal que c v + c v + + c k v k Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente (LI Teorema 8 Un conjunto de vectores fv v v k g de un espacio vectorial V es LD si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como combinación lineal de los otros Ejemplo Cuáles de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial dado es linealmente dependiente? (a x x V P (b sen (x cos (x V F Solución (a Sean a b y c tales que a + bx + cx Derivando obtenemos b + cx y derivando nuevamente tenemos c con lo que c b y a Es decir f x x g es un conjunto linealmente independiente (b Por la identidad Pitagórica sen (x + cos (x Como es combinación lineal de sen (x y cos (x el conjunto es linealmente dependiente Ejemplo Sea fu v wg un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V (a Es fu + w u + v v + wg LD o LI en V? (b Es fu w u + v v wg LD o LI en V? Solución (a Consideremos la combinación lineal a (u + w + b (u + v + c (v + w ( Reuniendo términos semejantes (a + b u + (b + c v + (a + c w Dado que fu v wg es LI en V se tiene que 8 8 a + b b + c a + c 5!! 5 Por tanto a b c es la única solución a ( Luego fu + w u + v v + wg es LI en V a b b c c (b De nuevo consideremos la combinación lineal a (u w + b ( u + v + c (v w ( Agrupando términos semejantes (a b u + (b + c v + ( a c w Como fu v wg es LI en V tenemos que 8 8 a b b + c a c 5!! 5 a c b c c c c var libre Tomando c 6 existen escalares a b y c no nulos que satisfacen ( Así fu w u + v v wg es LD en V Bases Definición 9 Un subconjunto B de un espacio vectorial V es una base para V si (a B genera a V y (b B es linealmente independiente

4 Ejemplo A continuación introducimos las bases estándares de los principales espacios vectoriales Espacio Base estándar Ejemplo R n fe e e n g base estándar de R ; P n x x x n x x x x x 5 base estándar de P 5 M mn Eij j i m j n base estándar de M Como lo ilustra el ejemplo E ij es una matriz de orden m n cuya entrada ij es igual a y las restantes entradas todas iguales a cero Ejemplo Halle una base para el subespacio W de matrices antisimétricas de orden Solución Si A es una matriz antisimétrica se tiene que A T A Luego A T a c a b a b + c + A O + b d c d b + c d Así a d y c b Por tanto existe b R tal que b A b b De este modo B es una base para W Ejemplo Halle una base para el siguiente subespacio de P Solución Notemos que W a + bx W espacio bx + ax j a b R p (x W p (x a + bx bx + ax a + x + b x x Como el conjunto + x x x es LI en P podemos afirmar que es una base para W B p (x + x p (x x x Coordenadas Teorema Sea B una base para un espacio vectorial V Para todo v V existe una única forma de expresar el vector v como combinación lineal de los vectores de B Definición Sea B fv v v n g una base para un espacio vectorial V Sea v V tal que v c v + c v + + c n v n Los escalares c c c n se conocen como las coordenadas de v con respecto a B y el vector [v] B 6 c c n 7 5

5 se denomina el vector coordenado de v con respecto a B Ejemplo Sea p (x + x x Halle [p] B donde B x x es la base estándar de P Si q (x P cumple que [q] B 5 halle q (x Solución Por definición [p] B 5 Por otro lado si [q] B 5 q (x + x + x + x Ejemplo Sea A Halle [A] B donde B fe E E E g es la base estándar de M Solución Por definición A E + E + E + E Luego [A] B Teorema Sea B una base para un espacio vectorial V Para todo u v V y c R (a [u + v] B [u] B + [v] B (b [cu] B c [u] B Teorema Sea B fv v v n g una base para un espacio vectorial V y sean u u k V Entonces fu u k g es LI en V si y sólo si f[u ] B [u k ] B g es LI en R n Dimensión Teorema Sea B fv v v n g una base para un espacio vectorial V (a Cualquier conjunto con más de n vectores en V debe ser linealmente dependiente (b Cualquier conjunto con menos de n vectores en V no puede generar a V Teorema 5 Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base para V tiene exactamente n vectores Definición 6 Sea V un espacio vectorial La dimensión de V denotada dim (V es el número de vectores en una base para V Por convención dim fg Ejemplo Halle la dimensión de los siguientes subespacios del espacio vectorial dado (a W A M j A T A V M (b W A M j A T A V M (c S A M j A T A V M (d H espacio (sen (x cos (x sen (x V F Solución (a Sabemos que una base para W es B Por tanto dim (W (b Si A W entonces existen a b c R tales que A a b a c b c 5 a B z } { 5 + b B z } { B z } { 5 + c 5 Así B fb B B g genera a W Es fácil verificar que B es linealmente independiente en M Luego B es una base para W Por tanto dim (W Qué puede decir para el caso general n n? 5

6 (c Procediendo de forma análoga que (b se prueba que B Con lo que dim S Qué puede decir para el caso n n? es base para S (d Sea B fsen (x cos (x sen (xg Es claro que B genera a H Veamos que B es linealmente independiente en F sean a b c tales que a sen (x + b cos (x + c sen (x para todo x R Entonces Para x π se tiene que a ; para x π se tiene que b y para x π se tiene que c Así B es linealmente independiente Por tanto una base para H Así dim (H Ejemplo dim (R n n dim (P n n + dim (M mn m n Teorema 7 Sea V un espacio vectorial con dim(v n Entonces (a Cualquier conjunto linealmente independiente con exactamente n vectores en V es una base para V (b Cualquier conjunto generador de V compuesto con exactamente n vectores es una base para V Ejemplo Verifique si el conjunto B dado es una base para el espacio vectorial V correspondiente (a B + x + x V P (b B V A M j A T A Solución (a Notemos que dim (P y que B tiene exactamente vectores Luego B es una base para P si y sólo si B es LI en P Ahora bien sean a b c tales que a + b( + x + c( + x Luego (a + b + c + bx + cx fxx g es LI a + b + c b c a b c Por lo tanto B es una base para V (b Notemos que dim (V y que B sólo tiene elementos Por tanto B no es una base para V Teorema 8 Sea W un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V Entonces (a W es de dimensión finita y dim W dim V (b dim W dim V si y sólo si W V 6