UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su frontera su interior. Estudia si son abiertos, cerrados, acotados o conveos. (a) A = {(, ) R : < (, ) (, 3) < }. (b) B = {(, ) R : 3 }. (c) C = {(, ) R : <, }. (d) D = {(, ) R : + < }. (e) E = {(, ) R : <, < /, > }. (f) F = {(, ) R : + }. (g) G = {(, ) R : ( ) +, }. (a) El conjunto representa al disco de centro C = (, 3) radio, al que se le quitado el centro. A La función f : R R definida por f(, ) = (, ) (, 3) = ( ) + ( 3) es continua el conjunto A se puede escribir como A = {(, ) R : < f(, ) < } = {(, ) R : f(, ) (, )} Como el intervalo (, ) R es abierto, el conjunto A es abierto. Es acotado, a que está contenido en el disco {(, ) R : (, ) (, 3) < }. Además, no es conveo a que los puntos P = (, 4) Q = (, ) pertenecen a A pero la combinación convea (, 4) + (, ) = (, 3) no pertenece al conjunto A. El interior, la frontera la clausura de A están representados en el gráfico siguiente Interior Frontera Clausura Observemos que A A =. Esto proporciona otra forma de demostrar que el conjunto A es abierto. (b) La función f : R R definida por f(, ) = 3 es continua el conjunto B se puede escribir como B = {(, ) R : f(, ) } = {(, ) R : f(, ) [, )} Como el intervalo [, ) R es cerrado, el conjunto B es cerrado.

2 = 3 B El conjunto B no es acotado a que, por ejemplo, los puntos (, ), (, ),..., (n, ),... están en B pero lim (n, ) = + n Además, no es conveo a que los puntos P = (, ) Q = (, ) pertenecen a B pero la combinación convea C = P + Q = (, )..8 Q = C. P no pertenece al conjunto B, a que no verifica la ecuación 3. El interior de B es el conjunto {(, ) R : < 3 }. La frontera de B es el conjunto (B) = {(, ) R : = 3 }. Y La clausura de B es el conjunto B = B (B) = {(, ) R : 3 }. Como B = B, el conjunto es cerrado. (c) La representación gráfica del conjunto C es = = - = Los puntos P Q del gráfico = -

3 3 Q = P = - = = - están en la frontera de C. Como P / C, vemos que C no es cerrado como Q C, vemos que C no es abierto. Gráficamente, vemos que el conjunto C es conveo. Otra forma de demostrar esto es que el conjunto C está determinado por las desigualdades lineales >, <,, El interior, la frontera la clausura de A están representados en el gráfico siguiente Interior Frontera Clausura Vemos que (C) C, por lo que el conjunto no es abierto. Además, C C por lo que el conjunto no es cerrado. (d) Las funciones siguientes están definidas de R en R son continuas. El conjunto D f (, ) = f (, ) = + f 3 (, ) = + + f 4 (, ) = + = + = - D = - - = - está definido por D = {(, ) R : f (, ) <, f (, ) <, f 3 (, ) >, f 4 (, ) > } por lo que es abierto conveo. El conjunto D es acotado porque está contenido en la bola de centro (, ) radio. El interior, la frontera la clausura de A están representados en el gráfico siguiente

4 4 Interior Frontera Clausura Como (D) D =, el conjunto es abierto. (e) La representación gráfica del conjunto E es = = / E X= Las funciones f (, ) = f (, ) = / f 3 (, ) = están definidas de R en R son continuas. El conjunto E está definido por E = {(, ) R : f (, ) <, f (, ) <, f 3 (, ) > } por lo que es abierto. El conjunto E no es acotado porque los puntos de la forma (n, ) n =,,... están en E lim (n, ) = lim n = + n n Además, no es conveo a que los puntos P = (, ) Q = (, 8) pertenecen a E pero la combinación convea R = P + Q = ( 6, 4)

5 5 P R Q E no pertenece a E porque no satisface la desigualdad <. El interior, la frontera la clausura de E están representados en el gráfico siguiente Interior Frontera Clausura Como (E) E =, el conjunto es abierto. (f) La representación gráfica del conjunto F es = - = - La función f(, ) = definida de R en R es continua. El conjunto F es F = {(, ) R : f(, ) } por lo que es cerrado. El conjunto F no es acotado porque los puntos de la forma están en E El diagrama (n, ) n =,,... lim (n, ) = lim n = + n n

6 6 P R Q ilustra por qué F no es conveo. El interior, la frontera la clausura de F están representados en el gráfico siguiente = - = - = - Interior = - Frontera = - = - Clausura Como (F ) F, el conjunto F es cerrado. (g) La representación gráfica del conjunto G es

7 7 = Las funciones f(, ) = ( ) + g(, ) = definidas de R en R son continuas. El conjunto G es G = {(, ) R : f(, ), g(, ) } por lo que es cerrado. El conjunto G es acotado porque coincide con el disco de centro (, ) radio. Además, el conjunto G es conveo. El interior, la frontera la clausura de G están representados en el gráfico siguiente Interior Frontera Clausura Como (G) G, el conjunto G es cerrado. -. Sea A un subconjunto de R. Discute la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. (a) Int(A) = A Fr(A). (b) Fr(A) = Fr(R A) = Fr(A C ). (c) Fr(A) está acotada. (d) A es cerrado A C es abierto. (e) A es acotado A C no es acotado. (f) A es cerrado Fr(A) A. (g) A es abierto Fr(A) A =. (a) Si, porque: Int(A) ε > : B(, ε) A ε > : B(, ε) (R n \ A) = A Fr(A). (b) Si, porque: Fr(R n \ A) = R n \ A R n \ (R n \ A) = R n \ A A = Fr(A). (c) No. Ejemplo: A = {(, ) R : }. (d) Si. Por definición. (e) No. Ejemplo: A = {(, ) R : }. (f) Si, porque: A es cerrado R n \A es abierto R n \A = Int(R n \A). Pero, por (a) (c), Int(R n \A) = (R n \ A) \ Fr(R n \ A) = (R n \ A) \ Fr(A). Por lo que A es cerrado R n \ A = (R n \ A) \ Fr(A) Fr(A) A. (g) Si, porque: A es abierto A = Int(A) A = A \ Fr(A) A Fr(A) =. -3. Halla el dominio de las siguientes funciones: (a) f(, ) = ( + ) /. (b) f(, ) =. (c) f(, ) = e e. (d) f(, ) = e. (e) f(, ) = ln( + ).

8 8 (f) f(, ) = ln( + ). (g) f(,, z) = + z. (h) f(, ) = +. (a) {(, ) R : + }. (b) {(, ) R : }. (R menos los ejes). (c) R. (d) R. (e) {(, ) R : + > }. (f) R \ {(, )}. (g) {(,, z) R 3 : z > }. (h) {(, ) R : }. -4. Halla la imagen de las siguientes funciones: (a) f(, ) = ( + + ) /. (b) f(, ) = +. (c) f(, ) = +. (d) f(, ) = ln( + ). (e) f(, ) = ln( + + ). (f) f(, ) = +. (a) [, ). (b) [, ]. (c) [, ]. (d) (, ). (e) [, ). (f) [, ). -5. Dibuja las curvas de nivel de las siguientes funciones para los valores de c propuestos: (a) f(, ) =, c =,, 3. (b) f(, ) = e, c =,, 3. (c) f(, ) = ln(), c =,, 3. (d) f(, ) = ( + )/( ), c =,,. (e) f(, ) =, c =,,. (f) f(, ) = e, c =,,. (a) Las curvas de nivel están determinadas por la ecuación = c. Para c, las curvas de nivel vienen dadas por la gráfica de = c por lo que las curvas de nivel son

9 9 4 c = 3 c = - c = (b) Las curvas de nivel están determinadas por la ecuación e = c. Por lo tanto cuando la curva de nivel correspondiente a c es el conjunto vacío. En particular, no ha curva de nivel correspondiente a c =. Para c >, la curva de nivel verifica la ecuación e = c, por lo que = ln c. Para c =, la curva de nivel son los puntos (, ) R tales que =. Para c = 3, la curva de nivel son los puntos (, ) R tales que = ln 3 Gráficamente, 4 c = 3 c = (c) Las curvas de nivel están determinadas por la ecuación log() = c que es la misma que = e c. Gráficamente, 5 c = c = - -5 c = 3 (d) Las curvas de nivel están determinadas por la ecuación + = c( ), que es la misma que ( + c) = (c ). Gráficamente,

10 4 c = c = - - c = (e) Las curvas de nivel verifican la ecuación = c. Gráficamente, 8 c = c = c = -4-4 (f) Las curvas de nivel verifican la ecuación = ce. Gráficamente, 4 c = c = - -4 c = Sea f(, ) = C α α (con < α < C > ) la función de Cobb-Douglas donde e representan las unidades de trabajo capital respectivamente f las unidades producidas. (a) Halla, representa e interpreta distintas curvas de nivel de f. (b) Demuestra que si se duplican las unidades de trabajo las de capital, entonces se duplica el nivel de producción. (a) Las curvas de nivel son,

11 α < / α = / α > / (b) f(, ) = C α α, f(, ) = C () α () α = C α α = f(, ). -7. Estudia la eistencia el valor de los siguientes límites. (a) lim (,) (,) +. (b) lim (,) (,) +. (c) lim (,) (,) (d) lim (,) (,) (e) lim (,) (,) (f) lim (,) (,) (g) lim 3 (,) (,) +. [ ] (a) ( + ) =k = (b) Vamos a probar que +k = (+k ) lim ( (+k ) lim f(, ) =. (,) (,) ) no eiste. El límite no eiste. Sea ε >. Tomamos δ = ε supongamos que < (, ) (, ) = + < δ. Entonces, f(, ) = + ( + ) + = = + = δ = ε. (c) Por una parte, (d) (e) por lo que [ ] ( ) = 3 3 k =k 4 + k = 3 k + k [ ] lim ( ) = =k Por otro lado, [ ] ( ) = 3 = Por tanto, ] el límite no eiste. [( + ) = k +k = k +k, depende de k. Por tanto, el límite no eiste. [ ( ] =k + ) =k (f) Vamos a probar que = k +k = k +k, depende de k lim f(, ) =. (,) (,) Sea ε >. Tomamos δ = ε supongamos que < (, ) (, ) = + < δ. Entonces, f(, ) = + ( + ) + = = + = δ = ε.

12 (g) Vamos a probar que lim (,) (,) f(, ) =. Sea ε >. Tomamos δ = ε supongamos que < (, ) (, ) = + < δ. Entonces, f(, ) = 3 + = = = = Y el límite es + + = + = δ = ε -8. Estudia la continuidad { de las siguientes funciones: (a) f(, ) = 3 + si (, ) (, ) 3 si (, ) = (, ). { + (b) f(, ) = si si =. { 4 (c) f(, ) = 6 + si 3 si =. { 3 (d) f(, ) = + si (, ) (, ) si (, ) = (, ). (a) La función es discontinua en los puntos {(, ) : = }. (El límite lim (,) (,) no eiste. Se puede hacer probando con curvas de la forma = k.) (b) La función +, (i) es continua en los puntos (, ) para los que. (ii) no es continua en los puntos de la forma (, ) con. Ya que el límite no eiste si. (iii) Tampoco es continua en (, ) porque lim (f(, )) = lim 3 + lim f(, k ) = lim ( 3 + ) = k k que depende de k. (c) La función es continua en los puntos (, ) tales que. En cambio, en los puntos de la forma (a, a ) no es continua porque, (i) Si a, tenemos que lim f(a, ) a no eiste porque el numerador tiende a a 6 el denominador tiende a. (ii) El límite lim f(, ) (,) (,) no eiste porque lim f(t, t t ) = lim t 6 + t 6 = mientras que los límites iterados valen. (d) La función 3 + es un cociente de polinomios el denominador sólo se anula cuando (, ) = (, ). Por tanto, la función es continua en todos los puntos (, ) (, ). En el punto (, ) también es continua porque hemos probado en un problema anterior que lim (,) (,) t t =

13 3 Concluimos que la función es continua en todo R. -9. Sea el conjunto A = {(, ) R, } la función f : A R definida mediante f(, ) = ( + +, + ) + Comprueba que se verifican las hipótesis del Teorema de Brouwer  Es posible determinar el (o los) punto(s) fijo(s)? Teorema de Brouwer: Sea A un subconjunto compacto, conveo no vacío de R n f : A A una función continua. Entonces, f tiene un punto fijo. (Es decir, un punto a A, tal que f(a) = a). El conjunto A es compacto conveo. La función f es continua si. Por tanto, f es continua en A se verifica el Teorema de Brouwer. Si (, ) es un punto fijo de f, entonces es decir, = + + = + + = = por tanto = se verifica la ecuación + = cuas soluciones son = ± 5 La única solución en el conjunto A es ( + 5, + 5 ). -. Considera la función f(, ) = 3 definida en el conjunto D = {(, ) R : +, < /, }. Dibuja el conjunto D las curvas de nivel de f. Alcanza f un máimo un mínimo sobre D? El conjunto D es + = (,) = / Observemos que D no es compacto (a que no es cerrado). No contiene al punto (/, ). Por otro lado, las curvas de nivel de f son de la forma = C + 3 Gráficamente, (la flecha roja apunta en la dirección de crecimiento)

14 4 = C + / 3 (,) ma = / Vemos que f alcanza un máimo en el punto (, ), pero no alcanza ningún mínimo sobre A. -. Sean los conjuntos A = {(, ) R, } B = {(, ) R, } sea la función ) f(, ) = ( + ) ( Qué se puede afirmar de los etremos absolutos de f sobre A B? La función f(, ) = ( + ) ( ) es continua si /, en particular, es continua en el conjunto A, que es compacto. Por el Teorema de Weierstrass, f alcanza un máimo un mínimo en A. Pero, por ejemplo, el punto (, /) IntB lim f(, ) =, lim ( + ) ( por lo que f no alcanza ni máimo ni mínimo en B. ) f(, ) = + -. Sea el conjunto A = {(, ) R : ln, }. (a) Dibujar el conjunto A, su frontera su interior, discute si A es un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto /o conveo, razonando tus respuestas. (b) Demuestra que la función f(, ) = + ( ) tiene un máimo un mínimo en A. (c) Utilizando las curvas de nivel de f(, ), hallar el máimo el mínimo de f en A. (a) El conjunto A es L n = L n A La frontera e interior son

15 5 A A º Como A A, el conjunto A es cerrado. No es abierto porque A A. Otra manera de probar esto sería considerar los conjuntos cerrados A = {(, ) R : }, A = {(, ) R : }. El conjunto A 3 = {(, ) R : log()} es también cerrado al ser continua la función g(, ) = log(). Entonces A = A A A 3 es un conjunto cerrado. El conjunto A es acotado porque A B(, r) con r > suficientemente grande. Como es cerrado acotado el conjunto A es compacto. El conjunto A es conveo porque es el hipógrafo de la función f() = ln en el intervalo [, ] la función ln es cóncava. (b) La función f es continua en todo R, porque es un polinomio. En particular, la función es continua en el conjunto A. Además, el conjunto A es compacto a que es una circunferencia. Por el teorema de Weierstrass, la función alcanza un máimo un mínimo. (c) Las curvas de nivel de f tienen por ecuación f(, ) = + ( ) = C. Son círculos centrados en el punto (, ). L n A Gráficamente, vemos que el máimo es f(, ln ) = + (ln ) se alcanza en el punto (, ln ) que el mínimo es f(, ) = se alcanza en el punto en el punto (, ). -3. Sea el conjunto A = {(, ) R :, > ; ln() }. (a) Dibujar el conjunto A, su frontera su interior, discute si A es un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto /o conveo, razonando tus respuestas. (b) Considerar la función f(, ) = +. Â Se puede utilizar el teorema de Weierstrass para determinar si esta función alcanza un máimo /o un mínimo en el conjunto A? Dibujar las curvas de nivel de f, indicando la dirección de crecimiento de la función. (c) Utilizando las curvas de nivel de f(, ), determinar gráficamente (sin utilizar, por tanto, las condiciones de primer orden) los etremos absolutos de la función f en el conjunto A. (a) La ecuación ln() es equivalente a. Como, >, el conjunto es A = {(, ) R : /, > }. Gráficamente,

16 6 = = = A A º A La frontera es el conjunto A = {(, ) R : = /, > }. El interior es el conjunto A = {(, ) R : > /, > }. Como A A, el conjunto A no es abierto. Además A A por lo que el conjunto A es cerrado. Gráficamente, vemos que A no es acotado. El conjunto A no es compacto (a que no está acotado). Consideremos ahora la función g(, ) = ln() = ln + ln (, definida en el conjunto conveo D = {(, ) R :, > }. El Hessiano de esta función es H g = ), que es definido negativo. De aquí deducimos que la función g es cóncava en D. Como A = {(, ) D : g(, ) }, el conjunto A es conveo. (b) No se puede aplicar el Teorema de Weierstrass porque el conjunto A no es compacto. Las curvas de nivel de f(, ) = + son los conjuntos de la forma {(, ) R : = C /} que son líneas rectas. Gráficamente (el vector indica la dirección de crecimiento) (c) Teniendo en cuenta las curvas de nivel de f, la función no alcanza ningún máimo (absoluto o relativo) en A. El mínimo absoluto se alcanza en el punto de tangencia de la recta = C / con la gráfica de = /, En este punto se verifica que = es decir = ±. Y como >, el mínimo se alcanza el el punto (, / ),