CÁLCULO. Vol. II. Enrique Izquierdo

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1 CÁLCULO Vol. II Enrique Izquierdo

2 Cálculo. Vol. II Enrique Izquierdo Guallar ISBN: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Universitario Telf.: C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3 PRÓLOGO Presento este libro de Cálculo, que consta de una colección de 352 preguntas de test, perfectamente razonadas, demostrando cuál es la verdadera y porqué el resto son falsas. Toda esta colección, corresponde a preguntas de exámenes, que a lo largo de ocho años, se propusieron en la Escuela de Ingeniería Técnica Industrial y Naval de Ferrol (Coruña) y que fui recopilando y resolviendo. Dicha materia se adapta perfectamente a la asignatura de Cálculo de cualquier Escuela Técnica o Facultad, correspondiente a primer curso. Recorre los bloques de cálculo : - Límites.Continuidad - Derivadas de varias variables, gradiente, desarrollos en serie - Maximos y mínimos absolutos y condicionados. Hessiano, multiplicadores de Lagrange - Matríz Jacobiana o derivada de una función o de una composición de funciones - Integración aproximada, particiones, regla de simpson, regla de los trapecios - Cálculo integral. Áreas y volúmenes Mi intención, es facilitar la comprensión de estos conceptos, con un razonamiento exhaustivo de las preguntas. Quiero dedicar este libro a mi esposa Raquel Adega y a mis hijos Carolina y Carlos, por el tiempo que, escribir este libro, ha supuesto no estar junto a ellos. El autor Fdo: Enrique Izquierdo

4 ÍNDICE Cálculo Tema Materia Nº de Ejercicios Página 1 Límites y continuidad de funciones Derivadas parciales. Diferenciabilidad gradiente. Derivada direccional Desarrollos en serie. Interpolación. Plano tangente Máximos y mínimos absolutos. Hessiano, máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange Matríz Jacobiana o matríz derivada. Matríz derivada de una composición Integración aproximada. Método de los rectángulos: Límite inferior y límite superior. Particiones Regla de Simpson Método de los trapecios Integrales simples y dobles. Cálculo de áreas, longitudes de arco. Volúmenes en el espacio, intercambio del orden de integración en dobles, volúmenes al girar alrededor de los ejes

5 Tema 1.- Límites y continuidad de funciones. Teoría Cambios de coordenadas: - De cartesianas (x, y) a polares (r,θ) y viceversa: Se aplican las fórmulas : (r, θ) (x, y) x=r cosθ, y=r senθ (x,y) (r, θ) r = x + y, θ = arc tg( y/x) De cartesianas(x, y, z) a cilíndricas(r, θ,z), y viceversa: Se aplican las fórmulas: (x,y,z) (r, θ, z) 2 2 r = x + y θ = arc tg (y/x) z = z x= r cos θ (r, θ, z) (x, y, z) y = r sen θ z = z - De cartesianas (x, y, z) a esféricas( r, θ,ϕ) y viceversa: Se aplican las fórmulas: r= x + y + z (x, y, z) (r, θ, ϕ) θ= arc tg (y/x) ϕ= arc sen z/r ó arc cos z/r x= r cos θ cos ϕ x= r cos θ sen ϕ (r,θ, ϕ) (x, y, z) y = r sen θ cos ϕ ó bien y= r sen θ sen ϕ z = r sen ϕ z= r cos ϕ - De cilíndricas a esféricas y viceversa: Se debe pasar primero por cartesianas, con las fórmulas anteriores: (r, θ, z) (x, y, z) (r, θ, ϕ) ( r, θ, ϕ) (x,y, z) (r, θ, z) - Límite de una función f(x, y): Dada una función f(x, y), se denomina límite de esa función en un punto (a, b) y se representa lím f(x, y), al valor obtenido al sustituir en f(x, y) el punto (a,b). 7

6 Enrique Izquierdo (x,y) (a,b) k/0 = ±, según el signo de la cte k Si lím f(x, y) = a (una cte) (x,y) (a,b) 0/k = 0 - Si lím f(x, y) = 0/0 : (x,y) (a,b) La condición necesaria para que el límite exista, es que los límites iterados existan y sean iguales. La condición suficiente es que existan los límites direccionales. - Límites iterados: son los obtenidos al aplicar primero una de las variables y luego la otra. lím{ lím f(x, y)} y lím {lím f(x, y)} x a y b y b x a Para que el límite exista, deben existir los dos y ser iguales. - Límites direccionales: consisten en acercarse al punto según una dirección. Los posibles cambios son: x-a = r cos θ y-b = m( x-a) o bien y-b = m(x 2 -a) o bien y-b = r sen θ x a x a r 0 Si estos límites existen, y no dependen de m, o de θ, el límite existe. El resultado debe ser el mismo con cualquiera de esos cambios. Ejemplo: hallar el lím x 2 /(x+y) lim x 2 /(x+y) = 0/0 - Límites iterados lím {lím x 2 /(x+y) } = lím 0/y = 0 (la y 0, pero el numerador es cero) y 0 y 0 lím {lím x 2 /(x+y) } = lím x 2 /x = 0/0 = lím x/0 = y 0 No existe el límite porque falla la condición necesaria (uno de los iterados, no existe) Ejemplo: hallar el lím [(x 2 +y 2 )/x+y] Límites iterados lím { lím (x 2 +y 2 )/(x+y)} = lím y 2 /y = 0/0 = lím y = 0 y 0 y 0 y 0 lím { lím (x 2 +y 2 )/(x+y)} = lím x 2 /x = 0/0 = lím x = 0 Se cumple la condición y 0 necesaria; de existir, el límite debe valer cero. Hallemos los direccionales: y-b= m(x-a), con x a En este caso y-0=m(x-0) con, y= mx, con lím (x 2 +y 2 )/(x+y) = 0/0 = (con el cambio anterior) = lím( x 2 +m 2 x 2 )/(x+mx) = 0/0 = lím (x+m 2 x)/(1+m) = 0/(1+m) Depende de m(si m=-1, no existe) El límite no existe Dominio de una función: es el conjunto de valores que pueden tomar las variables, tal que la función sea un número real. 8

7 Volumen II.- Cálculo El conjunto de puntos que forman el dominio puede ser un conjunto abierto (acotado o no) o un conjunto cerrado acotado (llamado compacto) o no acotado. Continuidad de una función f(x,y) en un punto (a,b): Para que una función f(x,y) sea continua en un punto (a,b) debe cumplir: 1.- La función en dicho punto exista. 2.- El lím f(x,y), exista. 3.- La función y el límite, tomen el mismo valor. 9

8 Enrique Izquierdo Ejercicios de Exámenes Las coordenadas esféricas de un punto de R 3 son (r,θ,ϕ) = (4,π,π/4). Entonces, sus coordenadas rectangulares son: a) ( 84, 4, 4) b) ( 6, 4, 4 ) c) ( 6, 4, 4 4 ) d) ( 8, 4, 4 4 ) (Sep-97) Para pasar de esféricas a rectangulares o cartesianas, los cambios posibles son: x= r cos θ cos ϕ x=r cos θ sen ϕ y= r sen θ cos ϕ (1) o bien y=r sen θ sen ϕ (2) z= r sen ϕ z=r cos ϕ En este ejercicio, como ϕ = π/4, da igual un cambio que otro. Realicemos (1): x= 4 cos π/6. cos π/4 = 4. 3/2. 2/2= 6 y= 4 sen π/6. cos π/4 = 4. 1/2. 2/2= 2 la correcta es la d) z= 4 sen π/4 = 4. 2 / 2 = La función f(x, y, z) = 1 x y z, con superficie nivel f(x, y, z) = c, cumple: a) Solo existe una superficie nivel si c>1 b) Solo existe una superficie nivel si c [0,1] c) Existe superficie nivel c R d) Solo existe superficie nivel, para un determinado valor de c (Sep-97) Dada una función en R 3, se llama superficie nivel, al conjunto de superficies que se obtienen al hacer la función igual a una constante determinada En este caso, 1 x y z = f(x, y, z) = c 1-x 2 -y 2 -z 2 =c 2 1-c 2 = x 2 +y 2 +z 2 Esa superficie [esfera de centro (0, 0, 0) ], si 1-c 2 >0 c 2 <1 a), c) y d) son falsas c [0, 1] La correcta es la b). 10

9 Volumen II.- Cálculo El límite de f(x, y, z) = (x 2 +y )/ x + y + 4-2, en (0, 0) es: a) No está definido b) 4 c) 0 d) 1 (Sep-97) lím f(x, y, z) = 0/0. Analicemos el límite direccional, con el cambio : y-0=m(x-0) lím f(x, y) = lím (x 2 +m 2 x )/ x + m x = 0/0={Regla de L Hôpital}= = lím[(2x+2m 2 x)/(2x+2mx)/ x + m x + 4 ] = simplificando = lím x + m x + 4 = 2 4 = 2.2 = 4 Luego la correcta es la b) Dada f(x, y) = ( x+ y, x-y), dicha función es: a) Vectorial b) Escalar c) Su dominio es R 2 d) Es continua en R 2 (Sep-97) f: R 2 R 2 ; como termina en R 2, es una función vectorial La a) es cierta y la b) es falsa. - La c) Su dominio no es R 2. Hay puntos donde x + y no existe por ser (x+y)<0 es falsa. - La d) es falsa [ por ejemplo en (1,-2), no existe ] no es continua en R 2. La única cierta es la respuesta a) El dominio de f: R 2 R / f(x, y) = [ x + y, arc sen x 2 /(x 2 +y 2 ) ], es : a) {(x,y) R 2 /x 0, y 0} b) {(x,y) R 2 / (x,y) (0,0)} c) R 2 d) R (Feb-98) Para que exista f(x,y), deben de existir sus dos componentes: 2 2 x + y, existe si x 2 +y 2 0 (cierto para todo valor de x, y) D f1 = R 2 arc sen x 2 /(x 2 +y 2 ), existe en todo R 2, salvo en (0,0) D f2 = R 2 -{(0,0)} Luego D f = R 2 -{(0,0)} La cierta es la b). 11

10 Enrique Izquierdo El conjunto A = {(x,y) R 2 /x 2 -y 2 <0}, verifica: a) Es cerrado b) Es abierto c) Es compacto d) Está acotado (Feb-98) x 2 -y 2 <0 (x+y)(x-y)<0 x+y>0, x-y<0 (1) ó x+y<0, x-y>0 (2) (1) x+y>0 (2) x+y<0 Dom A x-y<0 x-y>0 Ese conjunto de puntos es abierto y no esta acotado No es compacto (debería ser cerrado y acotado) a), e) yd) son falsas; la verdadera es la b) El límite de f(x,y) = (x 3 +y 2 )/(x 2 +y 2 ) en (0,0), es: a) No existe b) Vale a 2 /(1+a 2 ) c) Vale 0 d) Vale (Feb-98) Busquemos directamente el límite direccional, con el cambio y-b= m(x-a) En el punto (0,0), el cambio es, y=mx () lím (x 3 +y 2 )/(x 2 +y 2 ) = 0/0 = {y=mx}= lím (x 3 +m 2 x 2 )/(x 2 +m 2 x 2 ) = lím (x+m 2 )/(1+m 2 ) =m 2 /(1+m 2 ) Depende del valor que tome m No existe el límite La correcta es la a). x 3 /(x 2 +y 2 ) (x,y) (0,0) Sea f(x,y) =, entonces se verifica que: γ (x,y)= (0,0) a) f es continua en (0,0) b) f es continua en (0,0), si γ = 0 c) f es continua en (0,0), si γ = 1 d) f no es continua en (0,0) (Feb-98) Estudiemos la continuidad de f(x, y) en (0,0): 1) f(0,0) = γ 2) lím f(x, y) = 0/0 = {y=mx}= lím m 3 x 3 /(x 2 +m 2 x2) = lím m 3 x/(1+m 2 ) = 0/(1+m 2 ) = 0 m 3) Para ser continua f(0,0) = lím f(x,y) = 0 La correcta es la b). 12

11 Volumen II.- Cálculo Dado el punto (x, y, z) = (4, 0, 3), sus coordenadas cilíndricas son : a) r = 4, θ = 0, z = 3 b) r = 5, θ = 0, z= π/2 c) r = 4, θ = π/2, z = 3 d) r = 5, θ = 0, z = 3 r = 2 2 x + y r = = 4 El cambio de cartesianas a cilíndricas es : tg θ = y/x tg θ = y/x = 0/4 = 0 θ =0 o z= z z = 3 (Feb-98) La solución correcta es la a) Dado el punto (x, y, z) = (1, 1, 1), las coordenadas cilíndricas son: a) ( 2, π/4, 1) b) ( 3, π/4, π/3) c) ( 3, π/4, 1) d) ( 2, π/4, π/4) (Sep-98) Según el cambio de la pregunta anterior, r= x + y = = 2 tg θ = y/x=1/1 θ = π/4 La solución correcta es la a). z=1 Bloque (x 2 +y 2 +x-y)/(x+y) (x, y) 0 Dada la función, f(x,y) = 0 (x, y) = El dominio de f(x,y), es: (Sep-98) a) R 2 b) R 2 - {(0,0)} c) {(x,y)/ x -y} d) {(x,y)/ x -y}u {(0,0)} La función f(x,y), definida en (x,y) 0, existe si (x+y) 0 x -y La d) es cierta. - La a) es falsa(si x=-y), no existe. - La b) es falsa. [Por ej. en (2, -2) no existe]. - La c) es falsa, ya que en (0,0) que no se cumple x -y, existe. 13

12 Enrique Izquierdo El límite de la función f(x,y) del bloque, en (0,0), es: a) (1-m)/(1+m) b) no existe c) 0 d) lím (x 2 +y 2 +x-y)/(x+y) = 0/0={ y=mx}= lím (x 2 +m 2 x 2 +x-mx)/(x+mx) = lím (x+m 2 x+1-m)/(1+m)=(1-m)/(1+m) Depende de m No existe La correcta es la b) Fin del Bloque Cuál de los siguientes conjuntos está acotado? a) {(x, y) R 2 / x 2 +y 2 >1} b) {(x,y) R 2 / x+y<1} c) {(x,y) R 2 / x+y 1} d) {(x, y) R 2 / x + y 1} (Feb-99) Solución.- - La solución a) : No está acotado Es falsa. - La solución b) : x+y<1 No está acotado Es falsa. - La solución c) : x+y 1 No está acotado Es falsa. - La solución d) : Sí que es un conjunto acotado Es la verdadera Dada la función f:r 2 R 2, f(x, y) = (x 2 +y 3 )/(x 2 +y 2 ), cuál es el límite de dicha función en el punto (0,0)? a) 1/2 b) 1 c) no existe d) 2 3 (Feb-99) 14

13 Volumen II.- Cálculo lím f(x, y) = 0/0 = {y=mx} = lím (x 2 +m 3 x 3 )/(x 2 +m 2 x 2 ) = lím (1+m 3 x)/(1+m 2 ) = 1/(1+m 2 ) Depende de m No existe La correcta es la c) Cuál es el dominio de continuidad de la función g: R 2 R / g(x, y)= (x 2 y+xy)/(xy) xy 0 0 xy=0 a){( x, y) R 2 /xy 0} b) {(x, y) R 2 / x y} {(0,0)} c) R 2 d) {(x, y) R 2 /xy 0} {(0,0)} (Feb-99) Si xy 0, se puede simplificar por xy la función g(x, y) = (x+1)/1= x+1 xy 0 0 xy=0 En (0,0) : 1) g(0,0) = 0 2) lím g(x,y) = 1 3) g(0,0) lím g(x,y) No es continua En puntos de la forma (x,0) : 1) g(x,0) = 0 2) lím g(x,y) = x+1 3) No tiene por que ser x+1=0 No se cumple No es continua En puntos de la forma (0,y): 1) g(0,y) = 0 2) lím g(0,y) = 0+1=1 3) g(0,y) lím g(0,y) No es continua En puntos en los que se cumpla xy 0: 1) g(x,y) = x+1 2) lím g(x,y) = x+1 3) g(x,y) = lím g( x,y) = x+1 Es continua Luego la verdadera es la a) Cuáles son las coordenadas cilíndricas del punto que en cartesianas es ( 3, 3, 3)? a) (3, π/4, 3) b) ( 6, π/4, 3) c) (3, π/4, π/4) d) ( 6, π/3, 3 ) (Feb-99) 15

14 Enrique Izquierdo 2 2 ρ = x + y ρ = 3+ 3 = 6 tg = y/x tg = 3/ 3 = 1 = π/4 ( 6, π/4, 3) La solución es la b). z=z z= 3 Bloque Sea f: R 2 R/ f(x,y) = (x 2 +y 2 +x-y)/(x+y), entonces: (Jun-99) Se cumple: a) D f =R 2 b) D f = R 2 -{(x,y)/x+y=0} c) D f = R 2 -{(x,y)/x+y 0} d)d f = R 2 -{(0,0)} La función existe, excepto si (x+y)=0 D f = R 2 -{(x,y)/x+y=0}= {(x,y)/x+y 0} La solución correcta es la b) Se verifica que: a) No existe lím f (x, y) b) Existe el lím f(x, y) y f(x, y) no es continua en el punto (0,0) c) Existe el lím f(x, y) y f(x, y) es continua en el punto (0,0) d) Ninguna es cierta lím f(x, y) = lím (x 2 +y 2 +x-y)/(x+y) = 0/0 = {y=mx}= lím (x 2 +m 2 x 2 +x-mx)/(x+mx) = 0/0 = lím (x+m 2 x+1-m)/(1+m)= (1-m)/(1+m) depende de m no existe La correcta es la a). Fin del bloque Sea f: R 2 R 3 a) f es una función vectorial, con dos componentes escalares b) f no puede ser continua c) f(x, y) = c, es el conjunto nivel, para c R d) f(x, y) es continua si y solo si sus componentes escalares son continuas (Jun-99) - La a) es falsa; Si que es una función vectorial pero tiene tres componentes escalares( R 3 ). - La b) puede ser cierta o falsa, luego no es correcta. - La c) es falsa; f(x, y) = c es una superficie nivel, no un conjunto nivel. - La d) es cierta; si todas sus componentes son continuas, la función es continua. 16

15 Volumen II.- Cálculo La respuesta correcta es la d) Se consideran los conjuntos: A Círculo, incluyendo la circunferencia B Círculo, excluyendo la circunferencia C Círculo, incluyendo parte de la circunferencia, entonces: a) A, B y C, son conjuntos acotados, pero no compactos b) C no está acotado c) Solo A es compacto d) A y C son compactos (Jun-99) A B C a) Falsa; A si que es compacto. (Es cerrado y acotado). b) Falsa; los tres conjuntos están acotados. c) Es cierta; A es un conjunto cerrado y acotado y por lo tanto es compacto. d) Falsa; C no es cerrado y por ello no puede ser compacto El plano x=y, tiene en coordenadas cilíndricas la ecuación: a) ρ = z b) = π/4 c) = π/4 o = π/6 d) z= 0 z y x= y ρcos = ρsen x cos = sen = π/4 ó = 5π/4 Por lo tanto, la correcta es la c). (Jun-99) La región de R 3 interior a la esfera x 2 +y 2 +z 2 =9 y exterior al cilindro x 2 +y 2 =4, en coordenadas cilíndricas, se expresa por: a) 0 ρ 3, 0 2 π, - 9 ρ 2 z 9 ρ 2 b) 0 ρ 2, 0 2 π, -3 z 3 17

16 Enrique Izquierdo c) 2 ρ 3, 0 2 π, - 9 ρ 2 z 9 ρ 2 d) 0 ρ 4, 0 2 π, -3 z 3 (Dic-99) - 9 ( x 2 + y 2 ) z ( ) 9 x y - 9 x 2 y 9 x 2 0 x 3 En cilíndricas : x 2 +y 2 = ρ 2 cos 2 +ρ 2 sen 2 = ρ 2 (cos 2 +sen 2 ) = ρ 2 x 2 +y 2 +z 2 =9 ρ 2 +z 2 =9 z = ± 9 ρ 2-9 ρ 2 z 9 ρ 2 2 ρ 3, 0 2π, por lo tanto la respuesta correcta es la c) Sea f(x, y) = (x 2 +y ) / x + y + 1-1; el límite en el punto (0,0) vale: a) No existe b) 1 c) 0 d) 2 lím f(x, y) = 0/0 ={y=mx}=lím (x 2 +mx )/ x + m x = 0/0 ={L Hôpital}= lím (2x+2m 2 x)/[(2x+2m 2 x)/ x + m x + 1 )]=[simplificando por (2x+2m 2 x)que es 0] = lím x + m x + 1= 2 1 = 2 La correcta es la d). (x 2 y+1)/x 2 +y 2 ) (x, y) (0,0) Sea f(x,y) =, entonces: 1 (x, y) = (0,0) (Dic-99) a) f(x, y) tiene límite en (0,0) y es continua en (0,0) b) f(x, y) no tiene límite en (o,0) y no es continua en (0,0) c) f(x, y) tiene límite en (0,0) y no es continua en (0,0) d) Ninguna es cierta (Dic-99) 1) f(0,0) = 1 2) lím f(x, y) = 1/0 = No existe el límite en (0,0) No es continua en (0, 0) la b). 18