RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD

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1 1 UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Facultad de Químicas. RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD Ejercicio 1º.- Se lanzan dos monedas y un dado. Se pide: 1) Describir el espacio de sucesos elementales apropiado 2) Expresar explícitamente los siguientes sucesos: A = { salen dos caras y un nº par } B = { sale un dos } C = { sale exactamente una cara y un número primo} 3) Expresar explícitamente los siguientes sucesos: A y B ocurren, sólo ocurre B, B ó C ocurren. Ejercicio 2º.- Sean A y B sucesos tales que P(A) = ½ P (A B ) = ¾ P (B ) =5/8. Hallar P ( A B ), P ( A B ), P ( A B ) y P ( B A ). Ejercicio 3º.- Probar que para sucesos cualesquiera A, B y C se cumple: P ( A B C ) = P (A ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( A B ) - P ( A C ) - P (B C ) + P ( A B C ) Ejercicio 4º.- Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas. Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par. Ejercicio 5º.- En una reunión hay 25 personas. Calcula la probabilidad de que celebren su cumpleaños el mismo día del año al menos dos personas. Ejercicio 6º.- Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema al azar, se propone lanzar un dado.si sale de uno a cinco, el número del tema es el resultado del dado; si sale un seis se vuelve a tirar hasta que salga de 1 a 5.Demostrar que la probabilidad de elección de cada tema es 1 / 5. Ejercicio 7º.- Una urna contiene 8 bolas blancas y 7 negras ; hacemos una extracción de 2 bolas; en el supuesto de que hemos visto que una de estas bolas es negra, cuál es la probabilidad de que la otra también lo sea Ejercicio 8º.- Cuál es la probabilidad de que al lanzar n veces una moneda obtengamos como máximo n caras Ejercicio 9º.- Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Una persona saca k bolas. Cuál es la probabilidad de que sean x blancas y k - x negras Ejercicio 10º.- Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos es 1 / 6 y la de que no ocurra ninguno es 1 / 3. Determinar P (A) y P (B )

2 2 Ejercicio 11º.- Una urna A contiene 2 bolas blancas y 3 negras; otra urna B está compuesta de 4 blancas y 3 negras. Se saca una bola al azar de la urna A y sin verla se echa en B; a continuación se saca una bola de B que resultó ser negra. Cuál es la probabilidad de que la bola pasada de A a B fuese blanca Ejercicio 12º.- Qué es más probable, obtener al menos un uno en un lanzamiento de cuatro dados al aire u obtener al menos dos unos en veinticuatro lanzamientos de dos dados Ejercicio 13.- Comprobar que si los sucesos A y B son independientes en probabilidad, se verifica : P ( A B ) = 1 - P ( A c ). P ( B c ) Ejercicio 14.- Hay 6 cajas que contienen 12 tornillos buenos y malos; una tiene 8 buenos y 4 defectuosos; dos cajas 6 buenos y y 6 malos y tres, 4 buenos y 8 malos. Se elige una caja al azar y se extraen tres tornillos, sin reemplazamiento, de dicha caja; de éstos 2 son buenos y 1 defectuoso. Cuál es la probabilidad de que la caja elegida contenga 6 buenos y 6 malos. (Propuesto Febrero-96 ) Ejercicio 15.- Una lotería que vende n 2 da n premios. Si compras n boletos, cuál es la probabilidad de que ganes un premio al menos Ejercicio 16.- Una baraja española de 48 cartas se ha dividido en dos partes: pares e impares. Lanzamos un dado y extraemos una carta del grupo de las pares o de las impares, según que salga un 6 ó no. Si resulta ser figura, hallar la probabilidad de que sea un 11. Ejercicio 17.- Una urna se ha llenado tirando una moneda al aire dos veces y poniendo una bola blanca por cada cara y una bola negra por cada cruz. Se extrae una bola que es blanca. Hallar la probabilidad de que la otra bola también lo sea. Ejercicio 18.- Tenemos dos barajas españolas completas. A una de ellas le falta una carta y no sabemos cuál es. Elegimos una baraja al azar y sacamos una carta. Probabilidad de que sea de oros. Ejercicio 19.- Se sabe que 5 de cada 100 hombres y 25 de cada mujeres son daltonianos. Si se elige un daltoniano al azar, cuál es la probabilidad de que sea varón Ejercicio 20.- El 70% de los diputados son del partido A y el resto del B. El 60% de los primeros y el 10% de los segundos tienen más de 50 años. Si se elige un diputado al azar y tiene más de 50 año, qué probabilidad hay de que pertenezca al partido B Ejercicio 21.- Demostrar que si A y B son sucesos independientes en probabilidad, también lo son sus contrarios. Ejercicio 22.- Se sortea un punto dentro del cuadrado unidad. Calcular la probabilidad de que: a) x y b) x 1 - y Ejercicio 23.- En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar, Cuál es la probabilidad de que dicho punto esté más cerca del centro que de la circunferencia.si se inscribe un cuadrado en el círculo, cuál es la probabilidad de que el punto esté fuera del círculo Ejercicio 24.- Se eligen al azar dos números del intervalo 0, 1.Calcular la probabilidad de que su producto sea menor que ½

3 3 PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Ejercicio 1º.- En el experimento que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número de caras obtenidas, calcular: a) La función de probabilidad y su representación b) La función de distribución y su gráfica. c) La media y la varianza de la distribución. d) Si X es la variable que expresa el número de caras obtenidas, hallar P(1<X<3). Ejercicio 2º.- Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad viene dada por P ( X = r ) = 1 / 8 ( r = 2, 3,...9 ) Se pide: a) La función de distribución y su gráfica b) Calcular P (X<-3) y P ( 4<X<7) Ejercicio 3º.- La función de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por 2x si 0 x 1 f ( x) Hallar su función de distribución, la media y la 0 en el resto desviación típica. Ejercicio 4º.- Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X, definida de 0 si x 0 la forma : F ( x ) sen x si 0 x 2 calcular la función de densidad, su 1 si x 2 desviación típica y la probabilidad de que X esté comprendida entre - y. Ejercicio 5º.- Conocida la función de distribución de una variable aleatoria X, absolutamente continua, hallar la función de densidad de la variable Y = X 2. c Ejercicio 6º.- Dada la función f ( x) 1 x 0 2 si 0 x 1 en el resto a) Hallar el valor de c para que sea una función de densidad b) Calcular la desviación típica de esta variable aleatoria, el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis.

4 4 Ejercicio 7º.- La función de distribución de una variable aleatoria X es : F ( x) 0 si x 0 2 Hallar la función de densidad de Y = Ln(X+1) x 1 e si x 0 Ejercicio 8º.- Una variable aleatoria absolutamente continua, tiene como función de densidad k f ( x) x x para todo valor de x mayor o igual cero. Determinar el valor de k y la función e e de distribución. Ejercicio 9º.- El número de roturas x por cada hora de máquina en marcha, es una variable x 10 aleatoria discreta de función de densidad: f ( x) k. x= 0,1,2,...n x! Hallar: a) el valor de k b) La probabilidad de que se produzca alguna rotura. Ejercicio 10º.- La función de densidad de una variable aleatoria X absolutamente continua es f X ( x ) = ½ e - x siendo x un número real. Encontrar la función de distribución de X y la de densidad de Y = X 3..Ejercicio 11º.- Una variable aleatoria se caracteriza por tener una distribución tal que cualquier punto del intervalo 0,1 tiene la misma probabilidad.determinar un valor de a tal que, tomando al zar cuatro valores de, la probabilidad de que al menos uno de los cuatro sea superior al valor de a, sea mayor o igual que 0,99. Ejercicio 13º.- La distribución del número de veces que es demandado el servicio de una grúa en un taller en cierto período de tiempo es una ley de densidad : f ( x ) = k.e - c x siendo x mayor o igual que cero. Cuál es el valor de k supuesto c un parámetro conocido del taller, y cuál es el número medio de demandas esperadas. Ejercicio 14º.- Dada la variable cuya distribución de probabilidad viene definida por la 0 si x 1 1 función de distribución :F ( x) si 1 x 3 determinar el valor probable. 4 1 si 3 x Ejercicio 15º.- Dada la variable X, cuya distribución de probabilidad es:

5 5 P( X = r ) = n p r p r q n r 0 1 r n con q 0, 1, 2,..., 0 1 determinar el p q 1 valor probable y la varianza. Ejercicio 16º.- La variable tiene como función de densidad :, x si x a b f ( x ), 0 si x a b determinar: a) El valor de a y b si sabemos que P ( a < < 2a ) = 0,375 b) La función de distribución de, su media y desviación típica. Ejercicio 17º.- De una urna que contiene 4 bolas blancas y una bola roja, se efectúan extracciones sin reemplazamiento. Si la variable X representa el número aleatorio de extracciones necesarias para obtener bola roja, determinar razonadamente: a) La función de cuantía de la variable aleatoria X. b) La función de distribución y la probabilidad P ( X > 2,5) Ejercicio 18º.- Una variable X tiene como función de densidad : k f ( x ) x 0 si 0 x 1 en el resto determinar: a) El valor de k b) La función de distribución c) P ( 0,5<X<1,5) d) La desviación típica

6 6 PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN. FUNCIÓN GENERATRIZ. Ejercicio 1º.- Una variable aleatoria tiene como función de cuantía P( X = r ) =p.q r - 1 r un número natural, 0 < p < 1, 0 < q < 1, p + q = 1. Obtener: a) La función característica. b ) La esperanza y la varianza, a partir de la función característica. Ejercicio 2º.- Las funciones características de dos variables independientes X e Y son : X ( t ) =e i t t ( ) Y ( t ) = e ( it t ) Calcular la esperanza y la varianza de: a) Z = X + Y b ) H = X - Y. Ejercicio 3º.- Una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad de tipo continuo y su función de densidad es f ( x ) = e - x.se pide calcular su función generatriz. Ejercicio 4º.- Calcular la función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad obtenida al lanzar un dado bien equilibrado. Ejercicio 5º.- Dada la variable X cuya distribución de probabilidad viene definida por su función de densidad : f ( x ) = / 2 e - x para todo valor de x. Determinar su función característica. Ejercicio 6º.- Dada la variable cuya distribución de probabilidad viene definida por la 1 ( ) función de densidad: f x e ( x ) / ( ) 2 para todo valor de x, > 0, R 2 determinar : a ) Su función característica b ) El valor probable y la varianza a través de la función característica.

7 7 PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: TIPOS DE DISTRIBUCIONES. Ejercicio 1º.- El 80% de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, siendo el 20% restante de color rojo. Determinar la probabilidad de que al efectuar tres extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas extraídas sean de color blanco y una de color rojo. Ejercicio 2º.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad.de acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5.Determina la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan: a) Los cinco individuos. b) Al menos tres c) Sólo uno Ejercicio 3º.- En un lote de 200 piezas hay 40 defectuosas. Hallar la probabilidad de que al extraer 8 piezas, con reemplazamiento, salgan dos ó más defectuosas. Sol: 0,4967. Ejercicio 4º.- Una centralita telefónica recibe un promedio de 5 llamadas por minuto. Hallar la probabilidad de que en dos minutos se reciban entre 10 y 12 llamadas, ambas inclusive. Soluc: 0, 3336 Ejercicio 5º.- Los cajeros de un banco cometen errores al sacar sus balances con un promedio de 0,75 errores por hoja. Cuál es la probabilidad de que en 4 hojas haya dos o más errores. Soluc. 0,8008. Ejercicio 6º.- Un estudiante ha de pasar para trasladarse a la Facultad un semáforo que está un minuto con luz roja y 40 segundos con luz verde. El estudiante atraviesa el cruce 4 veces al día; hallar la probabilidad de : a) Las 4 veces esté abierto b)de 100 días cuántos por término medio lo encontrará 3 veces abierto Ejercicio 7º.- Calcular la probabilidad de que en una colectividad de 300 individuos hayan nacido k el día de Navidad. Ejercicio 8º.- Una compañía de seguros halla que el 0,005% de la población fallece cada año de un cierto tipo de accidente a) Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres de los asegurados contra tales accidentes en un año determinado. b) Cuál es el número de accidentes esperado Ejercicio 9º.- Un libro de páginas contiene erratas repartidas al azar.se abre el libro por una página cualquiera y se designa por X el número de erratas encontradas en dicha página. Calcular la probabilidad de que haya más de dos erratas, suponiendo que cada errata tiene la misma probabilidad de estar en cada página, independiente de las demás. Ejercicio 10º.- Si por cada hora de máquina en marcha, se sabe que el número de roturas x x k. 10 producidas en la trama de un telar, tiene la probabilidad: P( x) x 0, 1, 2... x! se pide calcular el valor de la constante k y la probabilidad de que se produzca alguna rotura.

8 8 Ejercicio 11º.- En una cadena de producción, se sabe que en promedio uno de cada 20 productos manufacturados es defectuoso. Cuál es la probabilidad de que al hacer un control, el cuarto producto seleccionado sea el primero defectuoso Ejercicio 12º.- Se extraen una a una con reemplazamiento cartas de una baraja española. Calcúlese la probabilidad de obtener 5 cartas que no sean oros antes de obtener el tercer oro. Ejercicio 13º.- Sean X 1, X 2, X 3 y X 4 variables aleatorias independientes con la misma 1 si x, distribución dada por f ( x) 0 si x 0, 2 Calcúlese el valor de a para que la probabilidad de que al menos una de las variables sea mayor que a sea 0.80.

9 9 PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: DISTRIBUCIONES DE TIPO CONTINUO Ejercicio 1º.- El tiempo, en minutos, que una persona invierte en ir de su casa a la estación es una variable aleatoria con distribución de probabilidad de tipo uniforme en el intervalo 20 a 25. Hallar la probabilidad de que alcance el tren que sale a las si sale de su casa exactamente a las Soluc: 0,60 Ejercicio 2º.- Un paracaidista cae en la recta que une dos ciudades A y B. Si suponemos que el punto de la recta en la que aterriza obedece a una probabilidad uniforme. Cuál es la probabilidad de que la distancia entre A y el punto de aterrizaje sea mayor que 3 veces la distancia del punto de aterrizaje a B. Soluc: 0,25 Ejercicio 3º.- Una empresa tiene la función de coste C= x.El precio de venta cada unidad es 2 y la demanda del artículo se distribuye uniformemente en el intervalo , Determinar el beneficio esperado por la empresa. Soluc Ejercicio 4º.- Sea X una variable aleatoria con distribución N ( 0,1 ):manejando las tablas obtener: a) P (X< 0,56 ) b) P (X < - 1,78 ) c) P ( - 1,20 < X < 2, 40 ) Ejercicio 5º.- La vida útil de una batería de coche sigue una distribución normal de media días y con una desviación típica de 185 días.si el fabricante quiere garantizar la batería por espacio de días Qué porcentaje de las baterías deberá reponer bajo esta garantía. Soluc: 18,14% Ejercicio 6º.- Sabiendo que la demanda de litros de gasolina, se comporta según una normal N ( , ) determinar la cantidad que hay que tener en stock para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0, 95. Soluc: ls Ejercicio 7º.- Una variable aleatoria X se distribuye N ( 10, ).Sabemos que P ( X>12)=0,1587. Determinar P 9 < X < 11 ) Soluc:0,383 Ejercicio 8º.- Los diámetros de las pelotas de golf de una cierta marca, tienen una distribución normal N ( 2 ; 0,1 ).Una pelota es defectuosa si su diámetro es menor de 1,8 ó mayor de 2,15. a) Cuántas unidades esperamos que sean defectuosas de un lote de 300 Sol: 27 b) Supuesto que el coste de fabricación medio es de 100 unidades monetarias y que el precio de venta es 160 u.m. Qué beneficio obtendremos al fabricar unidades, si las que son defectuosas se venden a 10 u.m. como producto residual Sol: u.m.

10 10 ESTIMACIÓN Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Ejercicio 1º.- Sea ( X 1, X 2,... X n ) una muestra aleatoria simple de la variable X U ( 0, b ) y consideremos el estimador b* = a X i. Calcular a de forma que b* sea un estimador insesgado de b. Para ese valor de a obtener la varianza del estimador b*. Ejercicio 2º.- Para estimar la media de una población se define el estimador * = 1/(n-1) { x 1 + x x n } a) Es insesgado b) Es consistente c) Es eficiente Ejercicio 3º.- La v.a. X sigue la distribución exponencial f (x ) = e - x para x > 0, > 0 Dada una muestra de tamaño n, obtener un estimador de 1 / de varianza mínima, que sea insesgado y combinación lineal de la muestra. Ejercicio 4º.- Dada la variable aleatoria x con distribución exponencial dependiente del parámetro a > 0 f ( x, a ) = a exp ( - ax ) si x > 0 ; f ( x; a ) = 0 en el resto se desea obtener a partir de una muestra aleatoria simple ( x 1, x 2,..., x n ) el estimador de máxima verosimilitud de a. Ejercicio 5º.- Una v.a X sigue una distribución de Rayleigh de parámetro > 0 si es una v.a. continua con valores x > 0 y función de densidad dependiente de f( x ; ) = x / exp [ - x 2 / 2 Estimar por el método de máxima verosimilitud y por el método de los momentos a partir de una muestra aleatoria simple. Ejercicio 6º.- Obtener el estimador de máxima verosimilitud de los parámetros : a) para una N (, 1 ) b) para una N (, ) Ejercicio 7º.- Obtener el estimador de máxima verosimilitud del parámetro para una población con función de densidad f ( x ; ) =.x - 1 ; 0 < x < 1, 0 < < Ejercicio 8º.- Obtener el estimador de máxima verosimilitud de los parámetros a y b para dos poblaciones descritas por sus respectivas funciones de densidad: a) f ( x ; a ) = a / x a+1 ; a > 0, x > 1 b ) f ( x ; b ) = x 2 / 2b 3 exp - x / b ; b>0, x>0 Ejercicio 9º.- Hallar el estimador máximo verosímil del parámetro p de la distribución de Bernouilli y del parámetro de la distribución de Poisson. Ejercicio 10º.- Sean X 1, X 2,..., X n variables independientes y distribuidas uniformemente en (0,1).Se considera Y = X n / 48 0<n<49 Calcular P ( Y < 0,4 ) Ejercicio 11º.- En una población normal de media 10 con desconocida se seleccionan muestras de tamaño 15.Sabiendo que una de estas muestras dió desviación típica s = 3,calcula la probabilidad de que su media sea menor que 12,1 Ejercicio 12º.- Una muestra aleatoria de 16 cigarrillos de una cierta marca tiene un contenido medio de nicotina de 1.6 mg y una desviación típica de 0,7 mg. Obtener un intervalo de confianza al 99% del contenido medio de nicotina por cigarrillo en esa marca.

11 11 Ejercicio 13º.- Una muestra aleatoria simple de una población N (, ) ha dado los 10 valores siguientes: 6.9, 5.7, 8.4, 9.3, 7.2, 8.5, 7.4, 9.1, 6.5, 7.6 a) Suponiendo = 1, estimar por el método de los momentos b) En el mismo supuesto estimar por el método de máxima verosimilitud c) Construir un intervalo de confianza al 99% para d) Construir un intervalo de confianza para la media al 99 % supuesta desconocida e) Hallar un intervalo de confianza para 2 al 95% en el supuesto anterior Ejercicio 14º.- Sabiendo que X sigue una distribución normal N (, 4 ), calcular el tamaño muestral mínimo para que con una confianza del 99 % el intervalo x - 1.5, x contenga al parámetro. Ejercicio 15º.- De una muestra de tamaño 18 de una población normal, se ha obtenido de media y varianza muestral y respectivamente. a) Hallar un intervalo de confianza al 99% para la media poblacional b) Podemos admitir que la varianza poblacional es 2 = 50 con el mismo nivel de significación Ejercicio 16º.- Hallar un intervalo de confianza al 96% para el parámetro de la distribución de Poisson, a partir de una muestra grande. Ejercicio 17º.- Se hace un envío de latas de conserva, de las cuales se afirma que el peso medio es de gramos. Examinada una muestra de 5 latas, se han obtenido los pesos: 995, 992, 1005, 998 y gramos Puede mantenerse la hipótesis de que la media de las latas de conserva es de 1 kg con un nivel de significación del 0,05 Hallar, además, un intervalo de confianza al 95% para el peso medio, suponiendo normalidad. Ejercicio 18º.- De una muestra de tamaño 18 de una población normal, se han obtenido 26,82 y respectivamente, como media y varianza muestrales. Se pide: a) Hallar un intervalo de confianza al 99% para la media poblacional b) Podemos admitir que la varianza poblacional es 50 Ejercicio 19º.- Se pretende hacer un estudio de suelos, para lo cual se hacen 13 tomas y se analiza el ph correspondiente ph : Calcular un intervalo de confianza para el ph medio. Ejercicio 20º.- En un hospital se tomó una muestra de 7 enfermos obteniéndose que dormían 7, 5, 8, 6, 8.5, 7 y 8 horas respectivamente.se somete a todos los enfermos a una misma droga para dormir y se saca una muestra de tamaño 5 resultando que durmieron 9, 8.5, 9.5, 10 y 8 horas. Podemos admitir que a la población le ha hecho efecto positivo la droga Ejercicio 21º.- El mismo test de memoria fue aplicado en dos cátedras. En la primera de 20 estudiantes se obtuvo un promedio de 125 puntos con una desviación típica de 30 puntos; y en la 2ª cátedra, de 30 alumnos, se obtuvo un promedio de 136 puntos y una desviación típica de 23 puntos Podemos admitir que la segunda cátedra es superior a la primera. Ejercicio 22º.- Suponiendo un proceso de fabricación de lámparas eléctricas que da una duración media de horas con una desviación típica de 250 horas, y que un nuevo proceso de fabricación se considera mejor si incrementa la media en en el 10 % por lo menos.

12 12 Suponiendo el universo normal y que en el nuevo proceso la desviación típica es la misma, cuál debe ser la extensión de la muestra para que admitiendo un coeficiente de riesgo del 1% se pueda admitir la hipótesis de que el nuevo proceso da una duración media superior a horas Ejercicio 23º.- a)el diámetro de unos ejes se distribuye normalmente con una desviación típica de dos unidades; la media puede ser 35 mms ó bien 40 mms ; se toma una muestra de tamaño 20 para contrastar la hipótesis de que la media es 40 aceptándose dicha hipótesis si la media muestral es mayor que 38.Calcular las probabilidades de error tipo I y tipo II. b) En una situación similar a la del ejercicio anterior, determinar el tamaño de la muestra y el intervalo de aceptación para que la probabilidad de error tipo I sea 0.05 y la de tipo II sea 0.90 cuando se contrasta la hipótesis de que la media poblacional es 35.