Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 6. Prueba de hipótesis. Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR

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1 Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 6. Prueba de hipótesis Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR

2 Índice 1. Introducción: hipótesis estadística, tipos de hipótesis, prueba de hipótesis 2. Hipótesis nula e hipótesis alternativa 3. Tipos de error 4. Nivel de significación 5. Prueba de hipótesis - etapas 6. Prueba de hipótesis: 6.1 Para una media 6.2 Para una proporción 6.3 Para muestras chicas 7. Prueba de hipótesis e intervalos de confianza

3 1. Introducción Hipótesis estadística: es una afirmación o conjetura respecto a la distribución de una o varias variables aleatorias. Puede referirse al valor o conjunto de valores para un parámetro o parámetros en particular, a la forma de la o las distribuciones.

4 Hipótesis simples: especifican completamente la distribución de la o las variables. (Ejemplo: considerar un único valor para el parámetro θ = θ 0 ). Hipótesis compuestas: no especifican completamente la o las distribuciones (Ejemplo: considerar un rango de valores para el parámetro (ejemplos: θ θ 0 ; θ > θ 0 ; a θ b).

5 Prueba de hipótesis: -Una prueba o contraste de hipótesis estadísticas es una regla o procedimiento para decidir si la hipótesis se rechaza o no. -Se contrasta si los datos muestrales son consistentes o no con la hipótesis (creencia a priori) acerca de la o las distribuciones. -Usamos para denotar a las hipótesis la letra H.

6 2. Hipótesis nula e hipótesis alternativa Se considera conjuntamente dos tipos de hipótesis. La primera es la hipótesis que se desea someter a prueba. Se le denomina hipótesis nula y se denota como H 0. Sin embargo no se rechaza o no rechaza en sí misma, sino en relación a una segunda hipótesis, llamada hipótesis alternativa que se denota H 1.

7 Las dos hipótesis deben ser mutuamente excluyentes. Si la hipótesis nula es falsa, la alternativa es cierta, y viceversa. Se dice que H 0 es puesta a prueba contra H 1. La hipótesis alternativa se define por aquellos sucesos, incompatibles con los que definen la hipótesis nula, que tienen probabilidad positiva. Un suceso que tiene probabilidad cero no debe ser incluido ni en H 0 ni en H 1.

8 Frecuentemente tomaremos H 0 como una hipótesis simple sobre un parámetro (del tipo θ = θ 0 ). H 1 toma una de las siguientes formas: a. prueba bilateral: no es de interés la dirección en que H 0 puede ser falsa H 1 es simplemente la negación de H 0 (θ θ 0 ) b. prueba unilateral: interesa la dirección en que H 0 puede ser falsa si H 0 es falsa, θ > θ 0 (o bien θ < θ 0 ). Ejemplo, determinar si la proporción de votantes por un candidato es mayor que 0, 5.

9 A partir de los datos muestrales la hipótesis nula es rechazada o no rechazada. H 0 no se puede aceptar como verdadera y la prueba de hipótesis no puede demostrar si lo es o no. Solamente se determina si existe o no suficiente evidencia en la muestra como para rechazarla en favor de H 1 no se afirma que se acepta H 0 sino que no se puede rechazarla. El rechazo o no rechazo es una regla de decisión y está sujeta a error.

10 3. Tipos de error Al realizar una prueba de hipótesis se puede cometer dos tipos de error. Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Error tipo II: no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa Decisión No rechazar H 0 Rechazar H 0 Estado de la H 0 verdadera No hay error Error tipo I naturaleza H 0 falsa Error tipo II No hay error

11 4. Nivel de significación La regla de decisión debe dividir el conjunto de las muestras posibles en dos, aquellas muestras que conducen al rechazo de H 0, y el conjunto de las muestras que no conducen al rechazo de H 0. El conjunto de las muestras que conducen al rechazo de H 0 se denomina región crítica de la prueba. Regla de decisión: rechazar H 0 si la muestra pertenece a la región crítica.

12 En la práctica realizaremos pruebas de hipótesis acerca de cierto parámetro de una distribución. La región de rechazo se define tanto en función de la estimación puntual como de los intervalos de confianza para este parámetro. Se rechazará la hipótesis nula si la estimación puntual cae demasiado lejos del valor establecido por H 0, y la medida en que se tolerará este alejamiento estará dada por los ĺımites del intervalo de confianza para dicho parámetro, con un nivel de confianza α que nos propongamos.

13 Probabilidad de cometer error tipo I: es el nivel de significación (o tamaño) de la prueba (α): P[rechazar H 0 H 0 cierta] = α Probabilidad de cometer un error tipo II: β P[no rechazar H 0 H 0 falsa] = β Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa: potencia de la prueba potencia = 1 β

14 -El nivel de significación α normalmente se fija en 0, 05 (5 %) o 0, 01 (1 %). En general se elige la formulación de H 0 de modo de controlar el error consistente en rechazar H 0 cuando es cierta. -Ser demasiado estricto (muy pequeño α) va a aumentar la probabilidad del error de tipo 2. En términos de una prueba respecto a la media, se va a exigir que el valor observado de la media muestral esté muy lejos del valor establecido por H 0 para rechazar la nula. Así aumenta la probabilidad de que si H 0 no es cierta, no rechazarla.

15 Ejemplo: Supongamos una prueba de hipótesis sobre la media de una distribución, H 0 : µ = µ 0, con H 1 : µ µ 0. Supongamos que X N(µ, σ 2 ) -conocemos σ. La media muestral es el estimador insesgado de µ y estará distribuida alrededor de µ 0 si H 0 es cierta. Si conocemos σ 2, y H 0 es cierta, la cantidad Z = X n µ 0 σ/ n N (0, 1 ) Se ha obtenido la distribución de la media estandarizada bajo la hipótesis nula. Este estadístico (que definimos como estadístico de la prueba) depende de la discrepancia entre el estimador de µ y el valor establecido por H 0, µ 0.

16 Intuitivamente, si la discrepancia entre el valor obtenido para la media muestral y el valor del parámetro bajo H 0 es grande ello conducirá a un rechazo de la nula. Hay que definir qué tan grande debe ser la diferencia entre el valor del estimador y el parámetro para ser considerada estadísticamente significativa y rechazar H 0 (cuál es la máxima diferencia admisible para no rechazar H 0 ). La regla depende de la distribución del estadístico de la prueba (es central la dispersión medida por σ 2 ). Se define la máxima discrepancia admisible de manera que la P(error I ) = α (nivel de significación de la prueba).

17 Al fijarse el nivel de significación queda definida una región crítica o región de rechazo: conjunto de muestras para las que se rechaza H 0. En el gráfico se presenta una prueba que tiene zona de rechazo a ambas colas de la distribución: /2 1 /2 µ 0 zona de no rechazo

18 p-valor p-valor: mínimo nivel de significación al que el valor del estadístico de la prueba obtenido conduce al rechazo de H 0. A diferencia de α, que es un nivel establecido por el investigador antes de observar la muestra, el p-valor surge una vez que se ha extraído una muestra en particular. Se conoce como nivel de significación ex-post.

19 5. Prueba de hipótesis - etapas 1. Definir hipótesis nula e hipótesis alternativa (referidas a uno o varios parámetros) 2. Definir el estadístico de la prueba y determinar su distribución en el muestreo bajo H Fijar el nivel de significación P[rechazar H 0 H 0 cierta] (p-valor mínimo admisible para no rechazar H 0 ). 4. Establecer la regla de decisión definiendo la región crítica: establecer qué valores del estadístico de la prueba conducen al rechazo de la hipótesis nula. 5. Evaluar, en base a la muestra, la compatibilidad entre el estadístico observada y H 0. Si la muestra pertenece a la región crítica, rechazar H 0. Si no, no rechazar.

20 6. Prueba de hipótesis 6.1 Para la media Ejemplo: se desea probar la hipótesis de que el ingreso promedio de los hogares de Montevideo es 25 (en miles de pesos). Una encuesta a 500 hogares da una media muestral de 28 con una desviación estándar de 3, Definimos hipótesis nula e hipótesis alternativa: H 0 ) µ = 25 H 1 ) µ 25 (prueba bilateral o a dos colas) 2. Definimos un estadístico de la prueba. En muestras grandes, la media estandarizada seguirá una distribución aproximada normal.

21 En muestras grandes, si H 0 es cierta la medida de discrepancia seguirá aproximadamente la distribución de una variable normal de media cero y desviación estándar 1: Z = X n µ 0 s/ n N (0, 1 ) Si la desviación estándar poblacional (σ) es conocida: En este ejemplo: Z = X n µ 0 σ/ n N (0, 1 ) Z = X n µ 0 s/ n = , 6/ 500 = 3 0, 16 = 18, 6

22 3. Fijamos el nivel de significación de la prueba: α = 0, La prueba es bilateral. Se rechaza H 0 con discrepancias grandes en valor absoluto se toma la mitad del nivel de significación (0, 05/2 = 0, 025) a cada lado de la distribución N(0, 1) y se fija la región de rechazo en discrepancias mayores que 1, 96 en valor absoluto (ver tabla normal estándar). /2 1 /2 rechazo 0 rechazo

23 Si µ = 25 (H 0 es cierta), la probabilidad de que la media muestral produzca un valor de Z 1, 96 es 2, 5 %. Si µ = 25, la probabilidad de que la media muestral produzca un valor de Z > 1, 96 es 2, 5 %. 5. Evaluar, en base a la muestra, la compatibilidad entre el estadístico observado y H 0 : Si 1, 96 X n µ 0 s/ n < 1, 96 no rechazar H 0 Si X n µ 0 s/ n 1, 96 ó X n µ 0 s/ n > 1, 96 rechazar H 0 Como 18, 6 > 1, 96 (el valor de Z cae en la zona de rechazo, cola derecha) rechazamos H 0 a un nivel de significación del 5 %.También se puede tomar la decisión considerando el p-valor: si p valor nivel de significación rechazar H 0 ; si p valor > nivel de significación no rechazar H 0

24 6.2. Prueba de hipótesis para proporciones Ejemplo: se quiere evaluar el impacto del programa Montevideo Recicla (IMM). Según estudios, sólo el 10 % de la población de la ciudad tenía antes de la campaña hábitos compatibles con los que el programa promueve. Se cree que los hábitos de manejo de residuos son difíciles de cambiar, por lo que se el programa no será efectivo en el corto plazo. Seis meses después de iniciado se realiza una encuesta, encontrándose que de 1000 personas encuestadas 107 declaran tener hábitos sustentables de manejo de residuos. Se quiere realizar una prueba de hipótesis para contrastar si la opinión respecto a la efectividad del programa en el corto plazo es acertada.

25 1. Se define hipótesis nula y alternativa: H 0 ) p = 0, 10 H 1 ) p > 0, 10 (prueba unilateral o de una cola) 2. Se define un estadístico de la prueba. Si H 0 es cierta la media estandarizada seguirá aproximadamente la distribución de una variable normal de media cero y desviación estándar 1: con Z = p p 0 σ p N(0, 1) σ p = p0 (1 p 0 ) n

26 En este ejemplo: Entonces σ p = p0 (1 p 0 ) n = 0, 1 0, = 0, 0095 Z = p p 0 0, 107 0, 1 = = 0, 74 σ p 0, Se fija el nivel de significación de la prueba: α = 0, La prueba es unilateral. Se rechaza H 0 ante discrepancias grandes y positivas se toma 0, 05 de la cola derecha de la distribución N(0, 1) y se fija la región de rechazo para discrepancias mayores que 1, 64 (ver tabla normal estándar).

27 5. Evaluar en base a la muestra, la compatibilidad entre el estadístico observado y H 0 : p p 0 - si σ p 1, 64 no rechazar H 0. p p - si 0 σ p > 1, 64 rechazar H 0. Dado que 0, 74 < 1, 64, a un nivel de significación del 5 % no se rechaza H 0 (hipótesis que refleja la opinión de que el programa no ha tenido impactos significativos en los hábitos de la población respecto al manejo de los residuos domiciliarios). 1 0 rechazo

28 6.3 Prueba de hipótesis - muestras chicas Si la muestra es chica (n < 30) y σ es desconocida pero la población es normal (o casi normal) en cuanto a su distribución, puede utilizarse la distribución t de Student. En el caso de la prueba de hipótesis para una media el estadístico sería: t = X µ s/ n t(n 1)

29 7. Prueba de hipótesis e intervalos de confianza Existe un paralelo entre una prueba de hipótesis a dos colas para una media y un intervalo de confianza. Si teníamos: P ( X z 1 α/2 σ/ n µ < X + z 1 α/2 σ/ n ) = 1 α El criterio de rechazo en la prueba de hipótesis es equivalente a que el intervalo de confianza obtenido no contiene al valor del parámetro que corresponde a H 0.