CAPITULO 6 MEDIDAS DE POSICIÓN
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- Eduardo Domínguez Godoy
- hace 7 años
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1 CAITULO 6 MEDIDAS DE OSICIÓN Las medidas de posición equivalen a los valores que puede tomar una variable caracterizados por agrupar a cierto porcentaje de observaciones en la muestra o población. Las medidas de posición son ideales para obtener información adicional a partir de datos resumidos, es decir, que presentan perdida de información por agrupamiento en intervalos de clase. 160
2 CAITULO 6: MEDIDAS DE OSICIÓN Medidas de posición: Son indicadores estadísticos que muestran la frecuencia acumulada hasta un valor k cualquiera. En este capitulo analizaremos tres medidas de posición: ercentiles Deciles Cuartiles Es necesario revisar nuevamente el concepto de interpolación, ya que la base de estos indicadores es encontrar el valor de la variable a partir de un porcentaje de datos acumulados, de forma similar como se hizo con la mediana. 6.1 ERCENTILES Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser una valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales). La notación empleada será: k Donde k es equivalente al porcentaje de datos acumulados, y k es el valor de la variable que representa dicho porcentaje. or ejemplo, 5 es el valor de la variable que deja por debajo el 5% de los datos. 78 será entonces el valor que agrupa el 78% de los datos. f Variable: Edad HISTOGRAMA Número total de personas consultadas:
3 odemos concluir que 50 sería el valor que divide en dos parte iguales la cantidad de datos de la muestra o población siendo equivalente a la mediana. =Me 50 Traslademos el gráfico de barra a su respectiva tabla de frecuencia y tratemos de localizar los ercentiles expuestos en el ejemplo: Nc Lm Ls f F h H 1 [ 5 15) ,00% 14,00% 2 [15 25) ,00% 26,00% 3 [25 35) ,00% 46,00% 4 [35 45) ,00% 64,00% 5 [45 55) ,00% 78,00% 6 [55 65) ,00% 90,00% 7 [65 75] ,00% 100,00% TOTAL ,00% odemos concluir fácilmente (con ayuda de las frecuencias acumuladas), que 14 personas (14% del total) están por debajo de los 15 años (podemos aproximarlo a 15 años), lo cual representaría al percentil 14: 14 = 15 El percentil 5 ( 5 ) no puede ser calculado directamente, pero podemos concluir que dicho valor se encuentra en el primer intervalo, ya que este acumula el 14% de las personas. No ocurre lo mismo con el percentil 78 ( 78 ) que aparece directamente en la tabla: Nc Lm Ls f F h H 1 [ 5 15) ,00% 14,00% 2 [15 25) ,00% 26,00% 3 [25 35) ,00% 46,00% 4 [35 45) ,00% 64,00% 5 [45 55) ,00% 78,00% 6 [55 65) ,00% 90,00% 7 [65 75] ,00% 100,00% TOTAL ,00% En el intervalo 5 se encuentra el percentil =
4 El 78% de las personas consultadas poseen una edad igual o inferior a los 55 años Ejemplo: Calculo de percentiles A partir de la tabla de frecuencia anterior calcular el percentil 5 ( 5 ) SOLUCIÓN ASO 1: Localizar en cuál de los intervalos de clase se encuentra el percentil Como se había mencionado, el percentil 5 se encuentra en el primer intervalo. Nc Lm Ls f F h H 1 [ 5 15) ,00% 14,00% 2 [15 25) ,00% 26,00% 3 [25 35) ,00% 46,00% 4 [35 45) ,00% 64,00% 5 [45 55) ,00% 78,00% 6 [55 65) ,00% 90,00% 7 [65 75] ,00% 100,00% TOTAL ,00% En el intervalo 1 se encuentra el percentil 5 ASO 2: Interpolar los datos para encontrar el percentil. En resumen tenemos que: Límite H Superior 15,00 (Ls 1 ) 14,00% (H 1 ) 5,00 (Ls 0 ) 0,00% (H 0 ) Diferencia 10,00 14,.00% En este caso, suponemos un intervalo adicional cuyo límite superior llamaremos Ls 0 equivalente a 5 el cual agrupa 0% de los datos. Entre los dos límites superiores abarcan un total de 14% de los datos. Si queremos llegar al 5% de los datos, debemos incrementar el porcentaje en una cantidad igual. 10,00 14,00% Incremento 5,00% Incremento = 5,00% x10,00 14,00% = 3,57 ara llegar al 5% de los datos, el límite 5 se debe aumentar en 3,57 unidades. 163
5 5 = 5,00 + 3,57 5 = 8, La fórmula para calcular percentiles El percentil k parte desde límite superior del intervalo anterior al que se encuentra dicho percentil más un incremento El incremento esta dado por: k = Ls + Incremento k = Ls ( k Hi + A. ( H H i 1 ) ) Simplificando aún más la fórmula tenemos: k = Ls ( k H + A. h i ) ara expresar la fórmula en frecuencias absolutas tenemos que: k = Ls ( nk. F + A. f i ) Aplicando la fórmula al ejemplo 6.1.1, concluimos: 6.2 DECILES (5,00% 0,00%) = ,00. 14,00% 5 = 8,57 ara los deciles, tomaremos el total de los datos divididos en 10 partes iguales, por tanto, existirán 10 deciles representado como D k D 1 = Valor de la variable que agrupa el 10% de los datos. D 2 = Valor de la variable que agrupa el 20% de los datos. D 3 = Valor de la variable que agrupa el 30% de los datos. D 4 = Valor de la variable que agrupa el 40% de los datos. D 5 = Valor de la variable que agrupa el 50% de los datos. D 6 = Valor de la variable que agrupa el 60% de los datos. D 7 = Valor de la variable que agrupa el 70% de los datos. 164
6 D 8 = Valor de la variable que agrupa el 80% de los datos. D 9 = Valor de la variable que agrupa el 90% de los datos. D 10 = Valor de la variable que agrupa el 100% de los datos. Nuestro histograma con los deciles identificados quedaría como sigue: f D 1 D 2 HISTOGRAMA D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D Variable: Edad Número total de personas consultadas: 100 Las equivalencias entre percentiles y deciles son: Ejemplo: Calculo de deciles = Me A partir de la tabla de frecuencia dada para ejemplificar los percentiles, encontrar el decil
7 SOLUCIÓN ASO 1: Localizar en cuál de los intervalos de clase se encuentra el decil El Decil 2 se encuentra en el segundo intervalo, ya que este almacena hasta el 26% de los datos. Nc Lm Ls f F h H 1 [ 5 15) ,00% 14,00% 2 [15 25) ,00% 26,00% 3 [25 35) ,00% 46,00% 4 [35 45) ,00% 64,00% 5 [45 55) ,00% 78,00% 6 [55 65) ,00% 90,00% 7 [65 75] ,00% 100,00% TOTAL ,00% En el intervalo 2 se encuentra el decil 2 ASO 2: Interpolar los datos para encontrar el decil. En resumen tenemos que: Límite H Superior 25,00 (Ls 2 ) 26,00% (H 2 ) 15,00 (Ls 1 ) 14,00% (H 1 ) Diferencia 10,00 12,00% Entre los dos límites superiores abarcan un total de 12% de los datos. Si queremos llegar al 20% de los datos, debemos incrementar el porcentaje acumulado en Ls 1 en un 6% 10,00 12,00% Incremento 6,00% Incremento = 6,00% x10,00 12,00% = 5,00 ara llegar al 20% de los datos acumulados, el límite de 15,00 se debe aumentar en 6,25 unidades. D 2 = 15,00 + 5,00 D 2 = 20,00 166
8 6.2.2 La fórmula para calcular deciles El decil k parte desde límite superior del intervalo anterior al que se encuentra dicho decil más un incremento El incremento esta dado por: Dk = Ls + Incremento D k = Ls i 1 (10%. k H + A h. i ) ara expresar la fórmula en frecuencias absolutas tenemos que: D k = Ls (10%. nk. F + A. f i ) Aplicando la fórmula al ejemplo 6.2.1, concluimos: D (20,00% 14,00%) = 15, ,00. 12,00% 2 = 20, CUARTILES ara los deciles, tomaremos el total de los datos divididos en 4 partes iguales. Denotaremos el cuartel como Q k. Q 1 = Valor de la variable que agrupa el 25% de los datos. Q 2 = Valor de la variable que agrupa el 50% de los datos. Q 3 = Valor de la variable que agrupa el 75% de los datos. Q 4 = Valor de la variable que agrupa el 100% de los datos. 167
9 El histograma de ejemplo con los cuartiles identificados quedaría como sigue: Las equivalencias entre percentiles, deciles y cuartiles son: = Q 1 5 = Q Ejemplo: Calculo de cuartiles Calcular el cuartil 3. SOLUCIÓN f Q 1 HISTOGRAMA Q Variable: Edad 10 = Q 2 = Q 4 = Me Número total de personas consultadas: 100 ASO 1: Localizar en cuál de los intervalos de clase se encuentra el cuartil. El Cuartil 3 se encuentra en el quinto intervalo, ya que este almacena hasta el 78% de datos. Q 3 78 Q 4 Nc Lm Ls f F h H 1 [ 5 15) ,00% 14,00% 2 [15 25) ,00% 26,00% 3 [25 35) ,00% 46,00% 4 [35 45) ,00% 64,00% 5 [45 55) ,00% 78,00% 6 [55 65) ,00% 90,00% 7 [65 75] ,00% 100,00% TOTAL ,00% En el intervalo 5 se encuentra el cuartil 3 168
10 ASO 2: Interpolar los datos para encontrar el cuartil. En resumen tenemos que: Límite H Superior 55,00 (Ls 5 ) 78,00% (H 5 ) 45,00 (Ls 4 ) 64,00% (H 4 ) Diferencia 10,00 14,00% Entre los dos límites superiores abarcan un total de 14% de los datos. Si queremos llegar al 75% de los datos, debemos incrementar el porcentaje acumulado en Ls 4 en un 11% 10,00 14,00% Incremento 11,00% 11,00% x10,00 Incremento = 14,00% = 7,86 ara llegar al 20% de los datos acumulados, el límite de 45,00 se debe aumentar en 7,86 unidades. Q 3 = 45,00 + 7,86 Q = 52, La fórmula para calcular cuartiles El cuartil k parte desde límite superior del intervalo anterior al que se encuentra dicho decil más un incremento El incremento esta dado por: Qk = Ls + Incremento Q k = Ls i 1 (25%. k H + A h i 1. i ) ara expresar la fórmula en frecuencias absolutas tenemos que: Q k = Ls (25%. nk. F + A. f i ) 169
11 Aplicando la fórmula al ejemplo 6.3.1, concluimos: Q (75,00% 64,00%) = 45, ,00. 14,00% 3 = 52, ALICACIÓN DE ERCENTILES Y CUARTILES EN EXCEL MS Excel dispone de las funciones ERCENTIL y CUARTIL creadas para determinar estos indicadores de posición en datos no agrupados. Copiemos los siguientes datos sin agrupar en una nueva hoja de Excel. Empleemos ahora la función ERCENTIL desde la celda B8 para calcular el percentil 48. ERCENTIL: Calcula el percentil k de un conjunto de datos. (Siendo k un valor entre 0 y 1) Formato: ERCENTIL(matriz;k) Categoría: Estadística Activemos la fórmula y señalemos en la casilla matriz los datos dados en el ejemplo. 170
12 En el valor k colocaremos 0,48 (ya que acepta valores de 0 a 1, siendo 1 el equivalente al 100% de los datos acumulados). El percentil 48 es equivalente a 12,384. =ERCENTIL(B2:G6;0,48) ara calcular los cuartiles emplearemos la función CUARTIL con parámetros parecidos a la función ERCENTIL, solo que k representa un valor del 1 al 4 (se incluye el 0 para identificar el valor mínimo de los datos). CUARTIL: Calcula el cuartil k de un conjunto de datos. (Siendo k un valor entre 0 y 4) Formato: CUARTIL(matriz;cuartil) Categoría: Estadística 171
13 Hallemos el cuartil 3, el cual el representa el 75% de los datos acumulados. Desde la celda B9 activemos la función señalando en la casilla matriz los datos del ejemplo. En la casilla cuartil escribiremos 3. El valor resultante es 14,4. =CUARTIL(B2:G6;3) 6.5 LAS MEDIDAS DE OSICIÓN Y EL GRÁFICO DE OJIVA El gráfico de ojiva es ideal para mostrar las medidas de posición, ya que esta registra las frecuencias acumuladas, tanto absolutas como relativas. Analicemos la siguiente tabla de frecuencia con su respectivo gráfico de ojiva: 172
14 Nc Lm Ls f F h H ,00% 10,00% ,00% 15,00% ,00% 40,00% ,00% 65,00% ,00% 95,00% ,00% 100,00% TOTAL ,00% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Grafiquemos el percentil 35 ( 35 ) el cual equivale al valor de la variable de (localizado en el intervalo 3). Ubicamos el 35% en el eje vertical y lo proyectamos al eje horizontal. El área debajo de la curva representa el 35% de los datos. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 35 30% 20% 10% 0%
15 6.6 EJERCICIOS ROUESTOS A partir de la siguiente tabla de frecuencia calcular: Nc Lm Ls f F h H 1 [12 15) ,00% 26,00% 2 [15 18) ,00% 48,00% 3 [18 21) ,00% 66,00% 4 [21 24) ,00% 80,00% 5 [24 27) ,00% 92,00% 6 [27 30] ,00% 100,00% TOTAL ,00% a. ercentil 15 b. ercentil 35 c. ercentil 40 d. ercentil 85 e. Decil 2 f. Decil 6 g. Decil 8 h. Cuartil 1 i. Cuartil 2 j. Cuartil A partir de la siguiente tabla de frecuencia calcular: a. Mediana b. ercentil 33 c. Decil 7 d. Cuartil 3 Nc Lm Ls f TOTAL Calcular la el percentil 17 y 47 a la tabla de frecuencia mostrada en el ejercicios
16 6.6.4 Calcular todos los deciles a partir de los siguientes datos: La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencia sobre los ingresos de los trabajadores de un cargo en particular de varias empresas del sector manufacturero (cifras dadas en miles de pesos). Nc Lm Ls f 1 [ ) 37 2 [ ) 23 3 [ ) 13 4 [ ) 8 5 [ ) 7 6 [ ] 2 TOTAL 90 a. Cuántas personas ganan menor de $ ? b. Cuántas personas ganan menos de $ ? c. Cuántas personas ganan más de $ ? Calcule y grafique el percentil 60 a partir del siguiente gráfico de ojiva (dado en el ejercicio 4.4.6): OJIVA F ,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Límite Superior 175
17 6.7 CUESTIONARIO DE REASO Selección Múltiple con Única Respuesta: Marque con una X la respuesta correcta. 1. Cuál de las siguientes equivalencias entre las medidas de posición es correcta? A B. 75 = Q 3 C D. 75 = Q 4 2. Cuál de las siguientes equivalencias entre las medidas de posición es correcta? A. Me = 50 2 = Q 2 B. Me = 50 5 = Q 4 C. Me = 50 5 = Q 2 D. Me = 50 6 = Q 3 3. Dada la siguiente relación entre límites superiores consecutivos y sus frecuencias relativas acumuladas: El decil 7 corresponde a: A. 16,28 B. 15,28 C. 17,28 D. Ninguna de las anteriores ,00% ,00% 4. Dada la siguiente relación entre límites superiores consecutivos y sus frecuencias relativas acumuladas: 11,0 54,00% 14,0 63,00% Un valor en la variable de 13,00 corresponde a un porcentaje de: A. 55,00% B. 57,00% C. 60,00% D. Ninguna de las anteriores 176
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