Matemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1. conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.

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1 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES º TIPOS DE NÚMEROS º Los números naturales son : 1, 2,,..., 10, 11,..., 102, 10,.... Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N. º Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero:..., -11, - 10,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., 10, 11,... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z. º Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos: Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/) Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: /2) Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,2 Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales que la parte decimal se repite : 1, = 1, 2 Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2... = 1,2 º Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q. º Los números irracionales son aquellos que no son racionales:, 2, (Números decimales no periódicos) º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS º REALES (R) 2 NATURALES (N) 0 ; ; ; ENTEROS (Z) - 2 ENTEROS NO NATURALES -11; ; 8... (Enterosnegativos) RACIONALES (Q) Decimales exactos :0,1; ;... FRACCIONAR IOS. Decimales periódicos puros : ;7,1;... (Racionales no enteros) Decimales periódicos mixtos :7,1... IRRACIONAL ES (I) 2 ; - ; 5 ; ;Decimales no periódicos...

2 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Y VICEVERSA º PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. º Ejemplos: 8 = 2 Natural 9 2, 25 Decimal exacto 1,... 1, Decimal periódico puro 7 1, ,1 6 Decimal periódico mixto 6 º PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN º Decimales exactos: N = 2,8 100N = N = 100 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero. Despejar N Simplificar la fracción, si es posible N = º Decimales periódicos puros: N = 2,8 100N = 28,8 99N = N = 99 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo. Restarlos Despejar N Simplificar la fracción, si es posible N = º Decimales periódicos mixto: N = 2,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico puro 10N = 2,8 100N = 28,8 90N = N = Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo. Restarlos Despejar N Simplificar la fracción, si es posible N = 18

3 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1. NÚMEROS APROXIMADOS º 1..1 EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. º Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. º Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste. º Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurriremos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos como está. Ejemplos: Redondear con tres cifras significativas: Al redondear números decimales, normalmente, nos quedamos con dos decimales CONTROL DEL ERROR COMETIDO º Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medición, en valor absoluto (en positivo) Error Absoluto = Valor Real Valor de Medición º Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que una pizarra, por tanto definimos: El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real Error Absoluto Error Relativo = Valor Real º Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas. º Al valernos de números decimales para dar valores aproximados, el error absoluto es inferior a una cantidad del orden de la última cifra significativa. El valor relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas demos correctamente.

4 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1. NOTACIÓN CIENTÍFICA º 1..1 INTRODUCCIÓN º Los números siguientes están puestos en notación científica: 2, = (1 cifras a partir de la coma) 7, = 0, (1 cifras de la coma al 7) º La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños. º 1..2 DEFINICIÓN º Un número puesto en notación científica consta de : - Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades) - El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. - Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. N = a, bcd... x 10 n a = Parte entera (sólo una cifra) bcd... = Parte decimal 10 n = Potencia entera de base 10 º Si n es positivo, el número N es grande Si n es negativo, el número N es pequeño º 1.. OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA º En sumas y en restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan todos la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común. 5, , , = 5, = = (5, ) = = 6862, = 6, , º El producto, el cociente y la potencia son inmediatos, teniendo en cuenta: 10 b. 10 c = 10 b+c 10 b : 10 c = 10 b-c b b. c c (5, ). (6, ) = (5,2. 6,) =, =, , (5, ) : (6, ) = (5,2 : 6,) = 0, = 8, , (5, ) 2 = (5,2) = 27, = 2, ,

5 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 5 º 1.. CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA º Interpretación: 5, significa 5, º Escritura: Para poner 5, ,7901 EXP 9 Para poner 2, ,9 EXP 1 º Operaciones: Las operaciones se encadenan como si fueran números cualesquiera. La propia calculadora, al presionar =, da el resultado en forma científica. º Modo científico (SCI) : El modo SCI hace que la calculadora trabaje siempre con números en notación científica y, además, con la cantidad de cifras significativas que previamente le hayamos indicado. Por ejemplo si, con una calculadora en la que se accede al Modo SCI mediante la secuencia MODE 8, deseamos trabajar con la notación científica con tres cifras significativas (dos decimales) para realizar la siguiente multiplicación: ( ). (1, ), haremos: - Preparar la calculadora: MODE Introducir el primer factor x, Introducir el segundo factor 1,27 EXP 5 - Ejecutar el producto =,1 0 º Observaciones: Cuando la calculadora está en Modo SCI, admite expresiones no científicas, pero al darle a una tecla de operaciones o al =, pone el número en notación científica, con las cifras significativas deseadas, redondeando. La calculadora conserva en su memoria los dígitos que no exhibe en la pantalla. Si en el ejemplo anterior ponemos la calculadora en Modo NORMAL ( MODE 9 ), inmediatamente se muestra en la pantalla el resultado con todas las cifras: 1,96. º 1..5 ÓRDENES DE MAGNITUD º Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga 10 9 Kilo 10 Deci 10-1 Micro 10-6 Hecto 10 2 Centi 10-2 Mega 10 6 Deca 10 Mili 10 - Nano 10-9

6 Matemáticas B º E.S.O. Tema 1 Los números Reales NÚMEROS NO RACIONALES º INTRODUCCIÓN º Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Hay números que no son racionales como, por ejemplo, 2. º NÚMEROS IRRACIONALES º Los números no racionales se llaman irracionales. - 2 es irracional - Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional. - En general, si p es un número entero y n p no es un número entero (es decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional. - es irracional - Los números decimales no periódicos son irracionales. º La expresión decimal de un número irracional tiene infinitas cifras no periódicas. En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales. 1.6 LOS NÚMEROS REALES º DEFINICIÓN º El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por R. º Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades. También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales. º LA RECTA REAL º Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.