Matemáticas Discretas TC1003

Transcripción

1 Matemáticas Discretas TC003 : Conceptos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM : Conceptos Matemáticas Discretas - p. /5

2 Una función f del conjunto X al conjunto Y es una relación del conjunto Y. A los elementos del conjunto X se les llamará entradas de f, y a los elementos del conjunto Y se les llamará salidas de f. La notación f : X Y significará que f es una función del conjunto X al conjunto Y. Al conjunto X se le llamará el dominio de f, mientras que al conjunto Y se le llamará co-dominio de f. Para que f sea considerada una función debe satisfacer dos axiomas: log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 2/5

3 . Para cada x Xexiste un y Y tal que (x, y) f : x X, ( y Y, (x, y) f ) 2. Para cada x Xsi existen dos elementos y y y 2 en Y tal que (x, y ) f y (x, y 2 ) f entonces y = y 2 : log a piso x X, ( y, y 2 Y, ((x, y ) f (x, y 2 ) f y = y 2 )) Para un x X, al único elemento y de Y que cumple (x, y) f, se le simbolizará por f (x) y se le llamará imagen de f en x o también valor de f en x. : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 3/5

4 El conjunto de todos los elementos de Y que son valores de algún elemento de X se le llamará el rango de f : {y Y x X, f (x)=y} Para un y Y puede o no existir algún elemento x Xtal que f (x)=y, al conjunto de todos los posibles x s cumplan esto se le llamará la imagen inversa de y. log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 4/5

5 Considere la función: a b c f log a piso Dominio de f={a, b, c} Codominio de f={, 2, 3, 4} f (a)=, f (b)=2, f (c)= Rango de f={, 2} Imagen inversa de ={a, c} Imagen inversa de 2={b} Imagen inversa de 3={} Parejas que forman f={(a, ), (b, 2), (c, )} : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 5/5

6 Logaritmo Sea a un número real positivo. Para cada número real positivo x el logaritmo de x en base a es aquel número y tal que al elevarlo a la base a da numéricamente el valor de x: log a (x)=y si y sólo si a y = x log a piso Ejemplos: log 2 (8)=3, pues 2 3 = 8 log 3 ()=0, pues 3 0 = log 4 (64)=3, pues 4 3 = 64 ( ) log 2 4 = 2, pues 2 2 = 4 : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 6/5

7 0 a x log a piso Figura : Gráfica de la función log a (x) para a> log a (x) indefinido para < x 0. log a (x) es negativo para 0< x<. log a ()=0. 0<log a (x)< para < x<a. log a (a)=. <log a (x)< para a< x. Para 0< x<y, log a (x)<log a (y). : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 7/5

8 Ejemplo Si a=3.4 y sin hacer uso de una calculadora asocie las siguientes columnas con su valor aproximado (parta del hecho que los valores deben aparecer en la segunda columna): (a) log a (0.6) () 2 (g) (b) log a (0.3) (2).52 (e) (c) log a (.0) (3) ( f ) (d) log a (.3) (4) 0 (c) (e) log a (6.5) (5) (b) ( f ) log a (3.4) (6) 0.47 (a) (g) log a (3.4 2 ) (7) 0.24 (d) (h) log a (.3) (7) indefinido (h) log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 8/5

9 Módulo Sea m un número entero positivo. Para cada número entero n el módulo m de n es residuo positivo de la división entera de n entre m: n mod m=r si y sólo si 0 r<myexiste otro entero q tal que n=q m+r. Ejemplo 3: mod 3=2, pues = mod 4=, pues 2= mod 4=3, pues 2= log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 9/5

10 Piso Para cada número real x el piso x es el mayor entero que es menor o igual que x: Ejemplo 4: 4. = =0 5 =5.3 = 2 x log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 0/5

11 log a piso 0 2 x Figura 2: Gráfica de la función x : Conceptos Matemáticas Discretas - p. /5

12 Para cada número real x el techo x es el menor entero que es mayor o igual que x: Ejemplo 5: 4. =5 0.2 = 5 =5.3 = x log a piso : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 2/5

13 log a piso 0 2 x Figura 3: Gráfica de la función x : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 3/5

14 Funciones Correctamente Definidas Indique cuáles de las siguientes reglas definen funciones: f : R + R definida por f (x)= 0+ x. Bien definida: La condición para que la raíz cuadrada esté definida es que a lo se saca raíz sea mayor o igual que 0: 0+ x 0 x 0 log a piso como x está en el dominio x R + así x>0, por lo tanto x 0 se cumple. 2 f : R Rdefinida por f (x)= 0+x La condición para esté definida es que no exista división por cero, así: x+ 0, por tanto x. Como x= R, la función está mal definida. : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 4/5

15 3 f : R + R definida por f (x)=log(+ x) La condición para que el logaritmo esté definido es que su argumento sea mayor que 0: + x>0 x> como x está en el dominio R + así x>0, por lo tanto, la condición se cumple y por tanto la función esta bien definida. log a piso 4 f : R Rdefinida por f (x)= 0+ x. Mal definida pues x= está en el dominio de f y se indetermina 0+( ). 5 f : R Rdefinida por f (x)=log (0+ x) Mal definida pues x= está en el dominio de f y se indetermina log (0 + ( )). : Conceptos Matemáticas Discretas - p. 5/5