Control Estadístico de Procesos (SPC) para NO estadísticos.

Transcripción

1 Control Estadístico de Procesos (SPC) para NO estadísticos. - Sesión 3ª de 4 - Impartido por: Jaume Ramonet Fernández Ingeniero Industrial Superior PMP (PMI ) Consultoría y Formación

2 Actitud requerida para recibir formación... y obtener conocimiento: "Quien establece una diferencia entre educación y entretenimiento, no sabe nada ni de una cosa ni de la otra" Marshall McLuhan. 2 / 56

3 Temario de la sesión: Gráficos de Control: Reglas de verificación de proceso bajo control. Clasificación de los G. C. Gráficos para Variables: Gráficos para Atributos: X, R, S, indiv, MR y MA. P, np, C y U. Anexo: Tabla de Constantes. Aviso legal: Dado el carácter y la finalidad exclusivamente docente y eminentemente ilustrativa de las explicaciones en clase de esta presentación, el autor se acoge al artículo 32 de la ley de propiedad intelectual vigente respecto al uso parcial de obras ajenas como imágenes, gráficos u otro material contenidos en las diferentes transparencias. 3 / 56

4 Recordemos... 4 / 56

5 Reglas de Proceso bajo control : Zonas del Gráfico de Control Fuera de Control LCS 1 sigma Zona A Zona B 1 sigma Zona C 1 sigma LC Zona C 1 sigma 1 sigma 1 sigma Zona B Zona A LCI Fuera de Control 5 / 56

6 Reglas de Proceso FUERA de control: Regla 1: 8 puntos consecutivos caen por encima o por debajo de la media. 5 puntos consecutivos son ascendentes o descendentes. 14 puntos consecutivos se alternan arriba / abajo (sierra). 4 puntos de un grupo de 5 consecutivos en la zona A o B. Regla 7: 2 puntos consecutivos en la misma zona A. Regla 6: Regla 4: Regla 5: Regla 3: Un solo valor cae fuera de los límites de control. Regla 2: 15 puntos consecutivos en la zona C. Regla 8: 8 puntos consecutivos ninguno en la zona C. Debate (ustedes): Justificar cada regla... 6 / 56

7 Reglas para Proceso FUERA de Control Gráfico de Medias (Ẍ) Para ± (3 σ) Probabilidad Notas: Regla 1 0,27% Si gráfico R/S es Ok, posible desplazamiento de la media. Regla 2 0,39% Si gráfico R/S es Ok, posible desplazamiento de la media. Regla 3? Si gráfico R/S es Ok, posible desplazamiento de la media. Regla 4? Proceso inestable (diente de sierra). Regla 5 0,05% Si gráfico R/S es Ok, posible desplazamiento de la media. Regla 6 0,27% Si gráfico R/S es Ok, posible desplazamiento de la media. Regla 7 0,30% Síntoma de reducción de la variabilidad. Ver gráfico R/S. Regla 8? Síntoma de aumento de la variabilidad. Si gráfico R/S es Ok.: posible mezcla de 2 poblaciones. 7 / 56

8 Uso de los Gráficos de Control (I) PRIMERO de TODO: Análisis del Proceso a controlar. Identificar, determinar y clasificar las posibles causas de variación conocidas y el/los parámetro/s (factor/es clave) a controlar del proceso. Seleccionar, para cada uno de los parámetros, el tipo de gráfico a utilizar (ver esquema siguiente). Obtener el Límite Central -LC- (Atención: LC # VN). Hay 2 posibilidades: A) Datos de la población SI conocidos: LC = Media de la población. B) Datos de la población NO conocidos: Calcular el valor del -LC- mediante inferencia estadística, a partir de un conjunto de muestras grande (>20, mejor de 30 a 50) y con el proceso estable (sin causas conocidas de variación). Calcular (a partir de las formulas correspondientes) los valores de los límites de control (LC superior -LCs- y LC inferior -LCi-). Nota: En los gráficos de atributos con tamaño de muestra variable, estos límites son función del tamaño de la muestra, por lo que solo se pueden calcular en el momento de realizar el control. 8 / 56

9 Uso de los Gráficos de Control (II) Con los datos anteriores, crear el/los Gráfico/s o Carta/s de Control (originalmente en papel, actualmente prepararemos una hoja de cálculo) Elaborar el Procedimiento o Instrucción operativa para la toma de datos que incluya: Tipo de muestreo: todos los individuos, a intervalos (de tiempo o de individuos), todos los individuos. Tamaño de la muestra («subgrupo racional») (n= 4 o 5 para distribución Normal, n >= 20 para otras distribuciones) Valor a controlar y registrar (unidades). Métodos e instrumentos de medición a utilizar (mantenimiento, calibración, etc.) Cálculos a realizar (Cada punto en el gráfico representa el valor medio del parámetro calculado sobre la muestra). Responsabilidades de recolección, realización de los cálculos, registro e interpretación de los resultados (8 reglas!) y decisión de la realización de las acciones correctivas, si procede. 9 / 56

10 Uso de los Gráficos de Control (III) Determinar la periodicidad de la toma de muestras: Mayor cuanto menor sea el Cpk o más inestable sea el proceso. Tener en cuenta las posibles pérdidas económicas si el proceso esté fuera de control sin que lo advirtamos (Error tipo II). A mayores perdidas mayor frecuencia ;-) Impartir la formación adecuada al personal implicado. Poner en marcha la realización del Gráfico de Control. Cada vez que el proceso este fuera de control, registrar el caso, analizar la posible causa especial y implementar las acciones correctoras que la eviten en el futuro, si procede. Revisar periódicamente la consistencia de los parámetros utilizados (-LC- LCs-LCi-) en la construcción del Gráfico de Control. p.e. Si se producen muchos falsos positivos (Error tipo I - Falsas alarmas ). 10 / 56

11 GC. para parámetros Variables Contínuas n = tamaño de cada muestra. No No n >= 10 Gráficos X y R Inicio n=1 Si Si Gráficos X y S - Grs. Valores Individuales y Rangos Móviles (MR). - Grs. Medias Móviles (MA) y Rangos Móviles (MR). 11 / 56

12 Gráficos para VARIABLES Continuas: Gráficos de Control de la Tendencia Central del proceso: Gráfico de Medias muestrales X Gráfico de Valores Individuales. Gráfico de Media Móvil MA. Gráficos de Control de la Variabilidad del proceso: Gráfico de Rangos de recorrido R Gráfico de Desviaciones S. Gráfico de Rango Móvil MR. Nota: Para el control efectivo de las variables continuas debemos tener dos gráficos de cada parámetro: un gráfico que controla la tendencia central (media) y otro gráfico para la variabilidad (dispersión o desviación) (R o S). 12 / 56

13 Variables: Resumen de formulas Consultar valores A, A2, A3, B3, B4, B5, B6, D1, D2, D3 y D4 en tabla última transparencia. 13 / 56

14 Variables: Gráfico de Medias X Valor representado: Media de cada muestra (media muestral). Cálculo de los Límites de Control del gráfico: Si conocemos (μ; σ) de la población: LCS = μ + ( 3 σ / n ) = μ + A σ ; (siendo A = 3 / n ). LC = μ LCI = μ - ( 3 σ / n ) = μ - A σ X Si no conocemos los datos de la población, hay que calcularlos por inferencia estadística: x = media de las medias muestrales, Rmedio = la media de los rangos (Válido para muestras pequeñas n < 10) o Smedia = media de las desviaciones muestrales: LCS = x + A2 Rmedio o utilizando S: LCS = x + A3 Smedia LC = x LCI = x - A2 Rmedio o utilizando S: LCS = x - A3 Smedia Consultar valores A2, D3 y D4 en tabla Factores para los Gráficos de Control 14 / 56

15 Gráfico de Rangos R Valor representado: Rango de dispersión de cada muestra. Límites de Control: Si conocemos (μ; σ) de la población (Nota: A2 = 3 / n): LCS = D2 σ LC = d2 σ LCI = D1 σ Si no los conocemos, calculamos la media (ẍ) y la media de los rangos (Rmedio). Válido para muestras pequeñas ( n < 10): LCS = Rmedio D4 LC = Rmedio LCI = Rmedio D3 Consultar valores A2, D3 y D4 en tabla Constantes para los Gráficos de Control 15 / 56

16 Gráfico de Desviación S Valor representado: Valor de la desviación de cada muestra. Límites de Control: Si conocemos (μ; σ) de la población (Nota: A2 = 3 / n): LCS = B2 σ - Mejor con estimador insesgado: LCS = B6 σ X LC = c2 σ LCI = B1 σ - Mejor con estimador insesgado: LCS = B5 σ Si no los conocemos, calculamos la media (ẍ) y la media de las desviaciones muestrales (Smedia): LCS = B4 * Smedia LC = Smedia LCI = B3 * Smedia Consultar valores A2, D3 y D4 en tabla Factores para los Gráficos de Control 16 / 56

17 Obtener los parámetros del proceso (cuando no conocemos los datos de la población) Tomar k (>= 20) muestras homogéneas de tamaño n (entre 2 y 6) a intervalos regulares y de forma consecutiva. Calcular la media, el rango y/o la desviación de cada muestra. Calcular la media de las k medias muestrales, la media de los k rangos y/o la media de las desviaciones. Calcular los límites de control mediante las formulas correspondientes (según las transparencias anteriores). Construir los gráficos con los datos de las k muestras y verificar que no hay comportamientos anómalos (es decir que el proceso ha estado bajo control durante la toma de muestras y que no hay ninguna muestra fuera de control). En otro caso, eliminar la muestra y calcular de nuevo o estabilizar el proceso y proceder de nuevo desde el principio ;-( 17 / 56

18 Ejemplo X R: (población NO conocida) Gráfico X: LCS = ẍ + A2 * Rmedio LCS = 200, ,577 * 1,934 = 201,144 LC = Media LC = 200,028 LCI = ẍ - A2 * Rmedio LCI = 200,028-0,577 * 1,934 = 198,912 Gráfico R: LCS = Rmedio D4 LCS = 1,934 * 2,114 = 4,088 LC = Rmedio LC = 1,934 LCI = Rmedio D3 LCS = 1,934 * 0 = 0 18 / 56

19 Ejemplo X-R: Gráfico de Medias X que hacer? 19 / 56

20 Ejemplo X-R: Gráfico de Rangos R 20 / 56

21 Ejemplo X-R: Eliminar muestra nº 4 por fuera de límites y recalcular... Límite CS = 201, / 56

22 Ejemplo X-R: Nuevos cálculos Gráfico Ẍ: LC = Media LC = 199,980 LCS = ẍ + A2 * R LCS = 199, ,577 * 1,899 = 201,076 LCI = ẍ - A2 * R LCS = 199,980-0,577 * 1,899 = 198, / 56

23 Ejemplo X-R: Nueva gráfica de Medias Ẍ AC!!! O D A T EP Nota: Ahora habria que verificar que el gráfico R también está dentro de límites / 56

24 Ejemplo: Gráficos X-S Una nueva máquina automática de producción ha de ser validada antes de su instalación en las dependencias del cliente. Su especificación dice que producirá piezas con un diámetro medio de 0,574 mm con una desviación típica de 0,008 mm. Para determinar su validez, se ha diseñado un plan de muestreo según el siguiente esquema: Tamaño de muestra: 6 unidades. Parámetro a obtener: media muestral del diámetro, en mm. Frecuencia de muestreo: una muestra cada hora, a lo largo de un ciclo de 24 h. (total: 24 muestras). Diseñar el Gráfico de Control adecuado para esta verificación con un índice de confianza del 99,97%. 24 / 56

25 Ejemplo: Gráficos X S (Cálculos) Conocemos los datos (teóricos) de la población: Media μ = 0,5740 mm. Desviación σ = 0,008 mm. Límites de Control para el Gráfico de medias Ẍ : LCS = μ + 3 σ / n (= μ + A σ) = 0, * 0,008 / 6 = 0,5838 mm. LC = μ = 0,5740 mm. LCI = μ - 3 σ / n (= μ - A σ) = 0,574-3 * 0,008 / 6 = 0,5642 mm. Límites de Control para el Gráfico de Desviaciones S : LCS = B6 σ = 1,874 * 0,008 = 0,0150 mm LC = σ = 0,008 mm LCI = B5 σ = 0,029 * 0,008 = 0,0002 mm 25 / 56

26 Ejemplo: Gráfico para las medias X 26 / 56

27 Ejemplo: Gráfico para las Desviaciones S 27 / 56

28 Datos de las muestras caso anterior / 56

29 Gráficos para Valores Individuales Tamaño de muestra n = 1. Por ejemplo: Inspección automática. Ensayo destructivo sobre elemento de precio elevado. Proceso químico continuo ( batch ). Producción de elementos espaciada en el tiempo (p.e. Uno cada día). Estimador de la medida central del proceso: la propia medida de cada elemento (Gráfico de valores individuales). Estimador de la variabilidad del proceso: Rango de recorrido entre dos o + observaciones sucesivas homogéneas ( w ). El gráfico se obtiene mediante el calculo del recorrido o rango móvil (MR). Alternativa: Gráfico CUSUM (en siguiente sesión). 29 / 56

30 Gráficos de Rango Móvil ( RM ) Se obtiene el rango de cada conjunto de n observaciones sucesivas, añadiendo un nuevo elemento al conjunto por cada observación y quitando el elemento + antiguo. Rmedio = Ri / (k w + 1); Siendo k el número de observaciones total y w el número de elementos en cada conjunto de cálculo del rango móvil. Gráfico de la tendencia central del proceso - Límites de Control: LCS = ẍ + 3 Rmedio / d2 LC = ẍ LCI = ẍ - 3 Rmedio / d2 Gráfico de la Dispersión del proceso Límites de Control (ídem que en Gráfico R ): LCS = Rmedio D4 ; LC = Rmedio ; LCI = Rmedio D3 (NOTA: Se considera n = w para la consulta de d2, D3 y D4 en la tabla de constantes) 30 / 56

31 Ejemplo: Rango Móvil Gráfico de la Tendencia Central: LCS = ẍ + 3 Rmedio / d2 LCS = 10, * 0,02387 / 1,693 = 10,0423 LC = x = 10,00 LCI = ẍ - 3 Rmedio / d2 LCS = 10,00-3 * 0,02387 / 1,693 = 9,9577 Gráfico de la Dispersión: LCS = Rmedio D4 = 0,02387 * 2,575 = 0,0615 LC = Rmedio = 0,02387 LCI = Rmedio D3= 0,02387 * 0 = 0 31 / 56

32 Rango móvil: Gráfico Tendencia Central 32 / 56

33 Rango móvil: Dispersión 33 / 56

34 Gráfico de Medias Móviles MA Control de la Tendencia Central mediante media de entre w observaciones consecutivas (ídem que en el caso de Rangos Móviles MR ). Adecuado para observaciones individuales. Mayor sensibilidad al desplazamiento de la media del proceso que el gráfico de valores individuales. Los picos se suavizan y muestra mejor la tendencia del proceso. Ídem que en el Gráfico de Rangos Móviles, los valores representados no son independientes, lo que provoca cierta dificultad de interpretación de los puntos fuera de control. Cálculo de los Límites de Control con las mismas formulas que para el Gráfico de Medias Ẍ, tomando n = k. 34 / 56

35 Ejemplo: Media Móvil (mismos datos) 35 / 56

36 GC. para parámetros de Atributo n = tamaño de la muestra unidad = unidad de muestreo El individuo (Si / No) posee el atributo. No n cte. Gráfico p Si Gráfico np Inicio Hay x atributos / unidad de tiempo; peso; volumen; superficie Si unidad cte. Gráfico C No Gráfico U 36 / 56

37 Gráficos para ATRIBUTOS: Gráfico p. Gráfico np. Gráfico C. Gráfico U. Notas: - Para el control gráfico de un atributo solo es necesario un gráfico. - Los gráficos P y np están basados en la distribución Bonomial. - Los gráficos C y U están basados en la distribución de Poisson. - En los gráficos p y U el tamaño de muestra es variables, por ello los límites de control superior e inferior son variables, función del tamaño de muestra. Son + exigentes (menor amplitud) cuanto mayor es el tamaño de la muestra. 37 / 56

38 Tributos: Resumen de fórmulas 38 / 56

39 Gráfico de Control p (I) Atributo (Resultado del proceso a controlar) con dos posibilidades: p y No p (por ejemplo: Conforme; No Conforme). Se controla la proporción de individuos con el atributo p en cada muestra. Los límites de control se basan en la Ley Binomial. Habitualmente se eligen para una probabilidad α = 0,3 %. Los límites LCS y LCI serán prácticamente simétricos respecto a LC para muestras suficientemente grandes (np > 5). Para muestras pequeñas no. El tamaño de muestra n ha de ser suficiente para que aparezcan un número significativo (> 4) de ocurrencias de p. P.e. Si la probabilidad de p es del 4%, deberíamos establecer un tamaño de muestra n >= 100. Nota: n no tiene que ser necesariamente fijo dado que el parámetro es la proporción de p en n individuos. 39 / 56

40 Gráfico de Control p (II) Tomar k (>= 20) muestras de tamaño n, homogéneas y con el proceso estable. Obtener la proporción de individuos con el atributo buscado en cada muestra pi = nº de individuos con el atributo / ni (para i = 1...k). Calcular la estimación global: Pm = (Total individuos defectuosos) / (Total individuos de las muestras). Pm es la estimación de la proporción de p : LC = Pm LCS = Pm + 3 sqrt( Pm ( 1 - Pm ) / ni ) LCI = Pm - 3 sqrt( Pm ( 1 - Pm ) / ni ) Nota 1: LCS y LCI son variables en función del tamaño de la muestra n i Nota 2: Si la proporción de p se mide en < 1%, hay que utilizar la Ley de Poisson. 40 / 56

41 Ejemplo: Gráfico P LCS = 6, * sqrt(6,39 * ( 100 6,39) / ni ) LCS = 13,22% (promedio para n = 115,333) LC = 6,39% LCI = 6,39-3 * sqrt(6,39 * ( 100 6,39) / ni ) LCI = 0 (promedio para n = 115,333) Nota: Los límites LCS y LCI son variables en función del tamaño de la muestra. 41 / 56

42 Ejemplo: Gráfico P 42 / 56

43 Ejemplo: Gráfico P LCS = 6, * sqrt(6,39 * ( 100 6,39) / ni ) LCS = 13,22% (promedio para n = 115,333) LC = 6,39% LCI = 6,39-3 * sqrt(6,39 * ( 100 6,39) / ni ) LCI = 0 (promedio para n = 115,333) Nota: Los límites LCS y LCI son variables en función del tamaño de la muestra. 43 / 56

44 Gráfico de Control NP Ídem que gráfico P pero para tamaño de muestra fijo. Parámetro a controlar: número de individuos con el atributo p en cada muestra. Distribución de referencia: Ley Binomial (n,p). El Límite Central viene dado por (n p) y la varianza = n p (1 p). Límites de Control: LCS = n p + 3 sqrt( n p (1 p)) LC = n p LCI = n p - 3 sqrt( n p (1 p)) Si no se conoce p, estimar su valor con k (>=20) muestras. En cada muestra deberían aparecer + de 4 individuos con el atributo. 44 / 56

45 Gráfico de Control np (II) Tomar k (>= 20) muestras de tamaño n, homogéneas y con el proceso estable. Obtener la proporción de individuos con el atributo buscado en cada muestra pi = nº de individuos con el atributo / ni (para i = 1...k). Calcular la estimación global: Pm = (Total individuos defectuosos) / (Total individuos de las muestras). Pm es la estimación de la proporción de p : LC = Pm LCS = Pm + 3 sqrt( Pm ( 1 - Pm ) / ni ) LCI = Pm - 3 sqrt( Pm ( 1 - Pm ) / ni ) Nota 1: LCS y LCI son variables en función del tamaño de la muestra n i Nota 2: Si la proporción de p se mide en < 1%, hay que utilizar la Ley de Poisson. 45 / 56

46 Ejemplo: Gráfico NP LCS = 7, * sqrt( 7,07 * (1 0,0707) LCS = 14,75 LC = 7,07 LCI = 7,07-3 * sqrt( 7,07 * (1 0,0707) LCI = 0 (resultado < 0) 46 / 56

47 Gráfico NP 47 / 56

48 Gráfico de Control C (I) Valor a controlar es el número de apariciones del atributo en un solo individuo o unidad de control. p.e. Número de defectos en una sola pieza analizada. Se puede definir también como: numero de apariciones del atributo por unidad de medida (tiempo, superficie, volumen, etc). p.e. Camas ocupadas en un hospital, por semana o número de clientes de un cajero automático por día. La distribución de referencia es la Ley de Poisson (λ). λ es el número medio de ocurrencias por unidad de medida. En cada unidad de medida deberían aparecer un mínimo de 10 ocurrencias del atributo. p.e. En un día deberían estar ocuparse al menos 10 camas. O en una hora deberían llegar al menos 10 clientes al cajero. Si no se conoce, hay que estimarlo con k (>=20) inspecciones a una unidad de control. 48 / 56

49 Gráfico de Control C (II) Evaluar λ como el promedio de en las k observaciones. Limites de Control: LCS = λ + 3 sqrt( λ ) LC = λ LCI = λ + 3 sqrt( λ ) (si es negativo, se hace = 0) Para λ grande tiende a la Distribución Normal. 49 / 56

50 Ejemplo: Gráfico C LCS = 14, * sqrt( 14,80 ) = 26,34 LC = 14,80 LCI = 14,80-3 * sqrt( 14,80 ) = 3,26 50 / 56

51 Ejemplo: Gráfico C 51 / 56

52 Gráfico de Control U Ídem que Gráfico C pero para casos en que no se puede establecer una unidad de control fija. P.e. Defectos por lote, con lotes de distinto tamaño. ci = Número de apariciones del atributo en la observación i. ni = Unidades inspeccionadas en la observación i ui = ci / ni = Apariciones del atributo por unidad de muestra i. La ley de Poisson tendrá λ = ci / ni = ü ; (Media de ui). Límites de Control: LCS = ü + 3 sqrt( ü / ni ); LC = ü LCI = ü - 3 sqrt( ü / ni ) Nota: Los valores LCS y LCI son variables en función de ni 52 / 56

53 Caso: Gráfico U LCS = 0, * sqrt( 0,1258 / ni ) Obtenemos un valor para cada muestra. LC = 0,1258 LCI = 0, * sqrt( 0,1258 / ni ) Obtenemos un valor para cada muestra. Si es < 0 lo hacemos / 56

54 Caso: Gráfico U 54 / 56

55 Ver Norma ISO :2013, tabla2 (pg.9) Tabla: Constantes Gráficos de Control 55 / 56

56 Gracias por su atención... Turno abierto... Preguntas? Otros casos / cosas que ustedes conozcan? Comentarios? 56 / 56