Estadística Inga Patricia Juárez, 2017 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Transcripción

1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central nos proporcionan la descripción significativa de un conjunto de observaciones. Como su nombre lo indica, son datos de una variable que tienden a situarse en el centro de su rango. MEDIA ARITMETICA: La media aritmética o simplemente media es el valor promedio de los datos, es la medida de tendencia central más importante, debido a la representatividad que posee los datos de la variable en estudio. Se calcula sumando los valores de las observaciones y dividiendo el resultado entre el número de observaciones. Notación: µ = media poblacional _ X = media muestral _ X = Σx / n _ X = Σ(f*Mc)/ n Arreglo simples Distribución de clases Propiedades de la media aritmética 1. Es única 2. Simplicidad. Es sencillo su cálculo 3. Todos y cada uno de ellos en el conjunto de datos entran en el cálculo de la media, está afectada por cada valor. Por lo tanto los valores extremos influyen sobre la media. Desventajas de la media aritmética 1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos. 1

2 2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias presenta intervalos de clase abiertos. Arreglo simple Ejemplo A continuación se presenta una muestra de las puntuaciones en un examen del curso de estadística: Calcular el valor promedio de la puntuación del curso de estadística Primero, sumamos todos los valores de los datos y el resultado se divide entre el total de datos o tamaño de la muestra. Al sumar todas las puntuaciones en el ejemplo anterior obtendrás un total de 1600, que dividido por 20 (total de datos), es igual a 80. Si empleamos la fórmula obtenemos: El valor promedio de la nota es de 80 puntos en curso de estadística. Distribución de marcas de clases Ejemplo Determinar el promedio aritmético del cuadro No. 1 Cuadro No.1 ESTATURA EN METROS DE LA POBLACIÓN DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS, USAC. GUATEMALA, OCTUBRE 2012 Estatura (Mts.) No. de estudiantes (f) Marca de clase (Mc) f * Mc Total Fuente: datos hipotéticos 2

3 El promedio aritmético se establece: µ = /190 = 1.69 Mts. La estatura promedio es 1.69 Mts. de los estudiantes de medicina. MEDIANA (Me): Conjunto de valores ordenados. La mediana se define como un valor numérico, que se encuentra al centro, con igual número de valores superiores como inferiores, es decir 50% por arriba y por abajo. Propiedades de la mediana 1. Hay una sola mediana en una serie de datos. 2. No es afectada por los valores extremos 3. Puede aplicarse en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos 4. La mediana es única para cada grupo de valores. Arreglo simple: Para calcular la mediana para una serie simple se tienen que ordenar los valores (de mayor a menor, o de menor a mayor); si la serie es impar o par, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1)/2 de la serie. Si la serie es par, el valor de la mediana se calcula con el promedio de los dos valores centrales dividido dos. EL valor de la mediana para una serie impar, el valor que ocupa la posición calculada. 3

4 Determinación de la mediana Distribución de intervalos de clase La fórmula para datos agrupados es: Ejemplo (Arreglo Simple): Se tiene una muestra de tamaño 5 con los siguientes valores: 46, 54, 42, 48 y 32. Calcular el valor de la mediana. 1er. Paso Ordenar los datos en forma ascendente: do. Paso Como la cantidad de datos es impar (5 datos), la mediana es el valor del dato que se encuentra ubicado en la posición (5+1)/2=3, el valor de la mediana es: Me = 46. Ejemplo: Se ha obtenido una muestra con los valores de datos: 27, 25, 27, 30, 20 y 26. Determine el valor que representa el 50% de los datos. Primer paso, ordenar los datos de forma ascendente: Como el número de datos es par (6), la mediana es el promedio de los datos que se encuentran en las posiciones (6+1) 2 = 3.5 Me = ( ) / 2 = 26.5 El valor que representa el 50% por arriba y por abajo es de

5 Ejemplo (Distribución de intervalos de clase): CUADRO No. 2 ESTATURA EN METROS DE POBLACIÓN DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS, USAC. GUATEMALA, OCTUBRE 2012 Estatura (Mts.) No. de estudiantes LRI Fa (f) Total 190 Fuente: datos hipotéticos Con la información de cuadro, determinar el valor que representa el 50% por arriba o por debajo de la estatura de los estudiantes Pasos a seguir: 1) Calcular N/2 = 95 para determinar el intervalo donde se encuentra la mediana, en este caso se encuentra en el cuarto intervalo, en cual contiene el valor Determinar los valores a sustituir LRI = i = 0.05 f = 38 Fant = Se aplica la formula Me = LRI + n /2 Fa)*i f Me = [(95 60)/38] * 0.05 Me =

6 El valor que representa el 50% por arriba y por debajo de la estatura es 1.69 Mts. de los estudiantes de medicina. MODA (Mo) Se define como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que las restantes o el valor que más de repite. Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con sólo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y así sucesivamente. Propiedades de la moda 1. La moda se puede aplicar en variables cualitativa o cuantitativas 2. La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos. 3. Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos. Moda para datos agrupados Arreglo Simple Ejemplos: Mo = LRI +. 1 * i a) Se tiene una muestra con valores 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30. Mo = 25 es unimodal b) Se tiene una muestra con valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30. Mo= 20 y 25, se dice que es bimodal. 6

7 Distribución de frecuencias de clases Ejemplo: CUADRO No. 3 ESTATURA EN METROS DE POBLACIÓN DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS, USAC. GUATEMALA, OCTUBRE 2012 Estatura (Mts.) No. de estudiantes LRI (f) Total 190 Fuente: datos hipotéticos Calculo de la moda: Para calcular la moda debemos primero ubicar el intervalo de mayor frecuencia que es 42, que está ubicado en el quinto intervalo. Formula: Mo = LRI +. 1 * i Datos: LRI = Δ1 = = 4 Δ2 = = 14 i = 0.05 Mo = (4 /(4 + 14)) * 0.05 Mo = 1.70 El valor más frecuente en la estatura es de 1.70 Mts. en los estudiantes de medicina. Ejercicios: 7

8 1. El número de visitas hechas a sus pacientes por un grupo de médicos son las siguientes: 5, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 5, 5 Aplique las medidas de tendencia central e intérprete 2. Calcule las medidas de tendencia central e intérprete, para los datos del cuadro No. 4. CUADRO No. 4 MEDICION DE SODIO CORPORAL EN UNA MUESTRA DE PACIENTES DEL HOSPITAL DE CONTROL DE PACIENTES HIPERTENSOS EN EL DEPARTAMENTO DE SAN MARCOS EL 5 DE MAYO DE Sodio Corporal (meq/l) f Fuente: datos hipotéticos. 8

9 FRACTILOS O CUANTILOS Estos permiten identificar valores ubicados en diferentes posiciones. Se denomina fractilo a la localización del valor que corresponde al final de cada parte en que se ha dividido la distribución de datos. Cuartiles (Qk) Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales. Cada una de las partes representa una cuarta parte, o el 25% de las observaciones. Los cuartiles (primero, segundo, tercero y cuarto) señalan el valor que está al 25, 50, 75 y 100 % de la totalidad de datos, el segundo cuartil equivale a la mediana. Qk = [ k (n +1)] /4 Qk = LRI + [(K (n/4) Fant) / f ] * i Arreglo simple Datos agrupados Deciles (Dk) Una fracción de datos que divide en 10 partes iguales, es decir que toma los valores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10), cada una de estas partes representa la decima parte. El quinto decil corresponde a la mediana. Dk = [ k (n +1)] /10 Dk = LRI + [(K (n/10) Fant) / f ] * i Qk = LRI + [(K (n/4) Fant) / f ] * i Arreglo simple Datos agrupados Percentiles o Centiles (Pk / Ck ) Son los valores de la variable al final de cada una de las centésimas parte de la distribución de datos. Pk = [ k (n +1)] /100 Pk = LRI + [(K (n/100) Fant) / f ] * i Arreglo simple Datos agrupados 9

10 Nótese las siguientes equivalencias La mediana es igual al cuartil segundo, decil quinto y centil 50 Me = Q2 = D5 = C50 El cuartil primero es igual al centil 25 Q1 = C25 El cuartil tercero es igual al centil 75 Q3= C75 Arreglo Simple El Decil primero es igual al centil decimo,etc. D1 = C10 Ejemplo: a continuación se presenta un conjunto de datos 10, 5, 12, 8, 14, 11, 15, 20, 18, 30 y 25. Se ordenan los valores en forma ascendente o descendente a) Determine el cuartil (k = 2) Posición de los Cuartiles Q2 = segundo cuartil y representa el 50% Qk = [ k (n +1)] /4 Q2 = 2(10+1)/4 = (11)/4 = 5.5 posición El valor del Q2 es el promedio de la posición 5 y 6. Q2 = (14 +15)/2 = 14.5 b) Determine el 70% de los datos Dk = [ k (n +1)] /10 K = 7 y representa el 70% D7 = 7(10 + 1)/10 = esta es la posición 10

11 El valor que representa el 70% es 20. c) Determine el valor que representa el 65 % de los datos Pk = [ k (n +1)] /100 K = 65 P65 = [ 65 * (10 + 1)] /100 = es la posición del percentil El valor que representa el 65% es 18 Distribución de clases Ejemplo CUADRO No. 6 MEDICION DE PESO EN UNA MUESTRA DE PACIENTES DEL HOSPITAL SAN MARTÍN EN EL DEPARTAMENTO DE SAN MARCOS, GUATEMALA, MAYO DE PESO (Lbs) F F LRI Fuente: datos hipotéticos Calcule e intérprete: a) El cuatil 1 Qk = LRI + [(K (n/4) Fant) / f ] * i k=1 n/4= 82/4 = 20.5 Fant = 20 f = 20 i = 11 LRI = Insertar los datos en la formula Q1 = [ ( )/ 20 ] * 11 = El valor que representa el 25% superior de los pesos es Lbs. en los pacientes del hospital 11

12 b) El decil 5 Dk = LRI + [(K (n/10) Fant) / f ] * i K = 5 K(n/10) = 5*82/10 = 41 Fant = 40 f = i =11 D5 = [(41 40)/ 24] * 11 = El valor que representa el 50% superior de los pesos es de Lbs. en los pacientes del hospital San Martín. c) El Percentil 85 Pk = LRI + [(K (n/100) Fant) / f ] * i K = 85 k(n/100) = 85 (82/100) = 69.7 Fant = 64 f = 10 LRI = P85 = [( ) / 10 ] * 11 = El valor que representa el 85% superior de los pesos es de Lbs. en los pacientes del hospital San Martín. 12

13 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Miden la variabilidad de un conjunto de datos. Las medidas más utilizadas son: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación, Rango (R): Es el recorrido de la variable. Y se determina por la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño del conjunto de los datos. Rango = XL Xs Varianza: Es la medida que cuantifica la variabilidad de los datos respecto al valor de la media elevada al cuadrado. La varianza para la muestra se representa mediante una s² y la notación para población σ ² La fórmula para datos no agrupados que son parte de una muestra: _ S² = Σ ( X X)²/ n-1 Formula datos agrupados para una muestra _ S² = Σ [f (Mc X)²] / n-1 Formula datos no agrupados para una población σ² = Σ (x - µ)² / N Fórmula para datos agrupados para una población σ² = Σ [ f(mc - µ)² ] / N Ejemplo: Para los datos siguientes calcular la varianza de una muestra _ X = S² = es la variabilidad elevada al cuadrado 13

14 Desviación Estándar Es la raíz cuadrada de la varianza. Mide la variabilidad de los datos en las unidades en que se midieron originalmente. Los símbolos son: s, si es una muestra; σ si es una población. S = S² Características de la desviación estándar: 1. Siempre es un valor positivo. 2. Está influenciada por todos los valores de la muestra o población. 3. Mayor influencia ejercen los valores extremos debido a que son elevados al cuadrado en el cálculo. 4. Sirve para definir la dispersión de los datos alrededor de la media. Proceso: 1) Se eleva La diferencia del punto medio menos el valor de la media al cuadrado y luego se multiplica por la frecuencia absoluta de clase. 2) Se obtiene la sumatoria de la diferencia multiplicada por la frecuencia absoluta, este resultado se divide entre n 1. Para el ejemplo anterior sería S = =15.13 es la variabilidad Ejemplo: Cuadro No.1 ESTATURA EN METROS DE POBLACIÓN DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS, USAC. GUATEMALA, OCTUBRE 2012 Estatura (Mts.) No. de estudiantes (f) Marca de clase (Mc) Total 190 Fuente: datos hipotéticos 14

15 µ = 1.69 Mts el promedio de la estatura σ = Mts. la variabilidad de la estatura σ² = Mts² la variabilidad de la estatura elevada al cuadrado Coeficiente de variabilidad Medida de variabilidad relativa: Se usa para comparar la variabilidad entre dos o más muestras medidas en las mismas unidades o no. Los datos que se expresan en porcentaje en la cual se compara la desviación estándar con el respectivo valor del promedio de los datos EJEMPLO: Entre dos personas que llevan una dieta reductiva, la primera pertenece a un grupo de edad de la cual el peso medio es de 146 libras con una desviación estándar de 14 libras y la segunda pertenece a un grupo de edad de la que el peso medio es de 160 libras con una desviación estándar de 17 libras. Cuál de los grupos lleva una dieta relativamente consistente. Los coeficientes de variación son: V1 = (14/ 146) * 100 = 9.6 % V2 = (17/160) * 100 = 10.6 % Por lo tanto, el segundo tiene una dieta relativamente menos consistente ya que su variación es mayor, lo que significa que hay más probabilidad de ganar o perder peso. 15

16 Medidas Asimetría / Sesgo Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomando como centro. El coeficiente de asimetría de Pearson es: Si la media, la mediana y la moda son iguales se dice que la curva es simétrica, si alguna de estas medidas es diferente la curva es asimétrica Con la base del cuadro No.1, las medidas de tendencia central son las siguientes µ = 1.69 Me = 1.69 Mo = 1.70 la curva es asimétrica, esta puede comprobarse graficando un polígono de frecuencia, la cual nos puede mostrar si es sesgada a la izquierda. 16

17 GRAFICA No.1 ESTATURA EN METROS DE POBLACIÓN DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS, USAC. GUATEMALA, OCTUBRE 2012 Fuente: datos hipotéticos Interpretación: como se observa esta segada a la izquierda, entonces tiene un sesgo negativo; por su forma de apuntamiento es leptocúrtico. A1 = 3( µ - Mo) / S A1 = 3 ( ) / = Medida de forma de apuntamiento: Curtosis 17

18 Se puede calcular el coeficiente a partir de los momentos 4 K4 = (m4 / s ) M4 = Σ f(mc - µ) / N BIBLIOGRAFIA DANIEL, Wayne W. Bioestadística, Limusa Wiley KAZMIER, Leonard J. Estadística Aplicada a la Administración y la Economía Editorial Mc.Graw Hill REYES DONIS, José Luis, Estadística I, Guía de estudios, Editorial SERVIPRENSA. 18