Distribuciones de Probabilidad, Binomial& Otros (Cap. 5) Math. 298 Prof. Gaspar Torres Rivera

Transcripción

1 Distribuciones de robabilidad, inomial& Otros (Cap. 5) Math. 9 rof. aspar Torres Rivera

2 Distribución de robabilidad Def. Es la distribución de las probabilidades asociadas con cada uno de los valores de una variable aleatoria. Espacios Finitos de robabilidad Sea S un espacio muestral finito. Un espacio finito de probabilidad se obtiene asignando a cada punto una probabilidad p, que satisface: i ) 0 ( ) i ii ) k n i ( ) i

3 Distribución de robabilidad Def. Variable aleatoria ()es un valor funcional definido sobre un espacio muestral que puede ser discreto o continuo. ara S de algún eperimento, una variable aleatoria es cualquier asociación con cada resultado en S. Su dominio es S y su recorrido es el conjunto de los números reales. i) ii) Opcional iii) Media Varianza D.S. : σ poblacional σ : poblacional [ ( ) ] µ ( ) [ ( )] µ µ : σ ( ) [ ( )] µ

4 robabilidad Ej. Considerar el eperimento de lanzar dos monedas una vez. Encuentre: a) Espacio Muestral S{(H, H), (H, T), (T, H), (T,T)} inicio H / T / H / T / H / T /

5 robabilidad Ej. Considerar el eperimento de lanzar dos monedas una vez. Encuentre: a) Espacio Muestral S{(H, H), (H, T), (T, H), (T,T)} b) Construir una Distribución de robabilidad de donde la variable aleatoria representa el número de caras (H). i) ii) 0 () iii) Media Varianza D.S. σ poblacional : poblacional [ ( )] µ µ : σ ( ) [ ( )] µ

6 Distribución de robabilidad Ej. Determinar si p() es una función de probabilidad o no para cada tabla de probabilidades: ) ) p() p() es el número de eámenes de sangre para identificar O+ i) Media poblacional : µ ( ) ii) Varianzapoblacional : iii) D.S. σ σ [ ( ) ] [ ( ) ] µ µ

7 Distribución de robabilidad Ej. Determinar si p() es una función de probabilidad o no para cada tabla de i) Media poblacional : µ ( ) probabilidades: ii) Varianzapoblacional : iii) D.S. σ σ [ ( ) ] [ ( ) ] µ ) Eactamente después de nacer, cada bebé es evaluado en una escala llamada Apgar. Las evaluaciones son 0,,,,0, con la evaluación del bebé determinada por color, tono muscular, esfuerzo para respirar, ritmo cardiaco e irritabilidad. es la evaluación Apgar para un bebé seleccionado aleatoriamente en cierto hospital p() µ

8 Distribución de robabilidad Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a luz con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria número de varones en una familia de hijos S{(,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,)} 0 ()

9 inicio / / / / / / / / / / / / / /

10 Distribución de robabilidad Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a luz con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades al seleccionar aleatoriamente una familia con hijos. Variable aleatoria número de niñas S{ } 0 () i) Media ii) Varianzapoblacional : iii) D.S. σ µ ( ) σ [ ( ) ] [ ( ) ] µ poblacional : µ

11 Distribución de robabilidad Ej. Una moneda que está cargada, a favor de las caras a razón :, es lanzada dos veces al aire. Determinar S. S{ } ( H ) ( T ) que ( H ) + ( T ) Notar ( ver los ( T ) + ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( H ) ( T ). aiomas ) 0 () i) Media ii) Varianzapoblacional : iii) D.S. σ µ ( ) σ [ ( ) ] [ ( ) ] µ poblacional : µ

12 inicio H H / / T / H T / / T / 0 ()

13 Distribución de robabilidad inomial () y el Eperimento inomial De acuerdo a Holguin y Hayashi (97), en algunas distribuciones teóricas el interés se centra en conocer si ocurre o no un resultado en particular. En el eperimento binomial se denomina éito a la ocurrencia de uno de los eventos de la dicotomía éito o fracaso (o sea fracaso a la ocurrencia del evento contrario, sin que estos signifiquen de manera alguna que un evento sea o no de su preferencia, son formas de nombrar la dicotomía). La probabilidad de éito es representada como p y la probabilidad de fracaso como q o sea que p+q. La probabilidad q p. Ejemplos: lanzamiento de las monedas, selección múltiple (eamen), C o F, nacimiento de un hijo, entre otras. Según Johnson y Kuby (00), el eperimento de probabilidad binomial es integrado por eventos repetidos (no es que se repiten todos los resultados) con las siguientes propiedades:

14 Tenemos n eventos repetidos e independientes Cada evento tiene dos resultados: éito o fracaso (éito)p, (fracaso)q p+q q p La variable aleatoria binomial, X, es una variable discreta del número de conteos de eventos con éito que ocurren. La X tiene como mínimo 0 y máimo n. Función de robabilidad inomial- es la probabilidad de haya eactamente X éitos en n eventos ( ) ( ) n C p p, para 0,,,,...,n n X i n Media y la desviación estándar de la Distribución de robabilidad inomial (probabilidad de haya eactamente X éitos en n eventos) Media poblacional µ np Desviaciònestàndar σ n p ( p)

15 Ej. Una moneda que está cargada, a favor de las caras a razón :, es lanzada dos veces al aire. n, p/, q / H ( X 0) ( X ) C C inicio ( X ) C número de caras 0,, H / T / T / H / / T /

16 Distribución de robabilidad inomial () Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a luz con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria número de varones en una familia de hijos S{(,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,)} 0 ()

17 inicio / / / / / / / / / / / / / /

18 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0. C X 0.75 C X 0.75 C X 0.5 C 0 X ( ) ( ) ( ) ( ), 0,, var ones de número X 0 y un var ón una niña menos al 0.5 C X

19 Distribución de robabilidad inomial () Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a luz con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria número de varones en una familia de hijos Calcular o ( ) ( ) ( ) ( ) 0 () Defina los eventos: A al D no más de una niña determinar : menos una niña, alomás una niña, ( A ), ( ), ( C) o sea: C tres niñas

20 Distribución de robabilidad inomial () Ej. Calcular la probabilidad de obtener tres estudiantes zurdos en una muestra de 5 estudiantes, dado que el parámetro o porcentaje 0% representa la gente zurda. Variable aleatoria número de sujetos zurdos, n5, p0., q p() Calcular o det er minar : 5 ( ) 5C ( 0.) ( 0.) 55 ( 0.00)( 0.) ( al menos zurdos) ( ) 0. ( al menos zurdos) ( ) ( alo más zurdos) ( ) ( entre y 6 zurdos) ( < < 6) ( más de zurdos) ( > ) 0.9

21 Distribución de robabilidad inomial () Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a luz con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con 0 hijos. Variable aleatoria número de varones en una familia de hijos p() Calcular o det er min ar : ( 0 niñas ) 0 C0 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( al menos niñas ) ( ) ( al menos niñas ) ( ) ( a lo más niñas ) ( ) ( entre y 6 niñas ) ( < < 6) ( más de niña ) ( > ) 0

22 Distribución de robabilidad inomial () Ej. La probabilidad de que un sujeto de dar en el blanco (tiro al blanco) es 0.. Si lanza la flecha veces, cuál es la probabilidad de dar en el blanco en todos los intentos? Variable aleatoria número de veces dar en el blanco, n, p0., q () Calcular : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C

23 Distribución de robabilidad inomial () Ej. Una caja tiene 5 piezas, de las cuales son defectuosas y no son defectuosas. Si se seleccionan aleatoriamente tres piezas, con reemplazo, Calcular: ( todas sean defectuosas) ( eactamente una defectuosa ) ( ninguna sea defectuosa ) Notar p + q que n, p 5 0., q

24 inicio D /5 ND /5 D /5 ND /5 D /5 ND /5 D /5 ND /5 D /5 ND /5 D /5 ND /5 D /5 ND /5 0 ()

25 Ej. Un conocido médico sabe por eperiencia que el 0% de los pacientes atendidos por el médico presentan una cierta reacción indeseable (empiezan a bailar tango ). Si diez pacientes atendidos fueron seleccionados aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que a lo más presenten la reacción indeseable (empiezan a bailar tango ) p()

26 Ej. Si la probabilidad de que una pareja de divorciados se vuelva a casar dentro de tres años es 0.0. Calcular las probabilidades siguientes en 0 parejas de divorciados: a) a lo más tres parejas se volverán a casar dentro de tres años b) al menos siete parejas se volverán a casar dentro de tres años c) de dos a cinco se volverán a casar dentro de tres años p() Ej. El porcentaje de salir vivo en una operación riesgosa del Hospital XYZ es 0.0. Cuál es la probabilidad de que cuatro de los próimos cinco pacientes sobrevivan a la operación mencionada? 0 5 ()