JUNIO Opción A

Transcripción

1 JUNIO 2010 Opción A Sean las matrices: A y B Halla una matriz X tal que 2X BA AB La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono x (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función C(x) 10 5 (x + 20) 2 (a x), donde x [0, 200] y a es un parámetro. a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20,25 kg de tomate. b) Supuesto a 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máxima cantidad de tomates. Cuál es esa máxima cantidad de tomates? 3.- Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos tiradas con el dado elegido. a) Calcula la probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda. b) Si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? 4.- En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55% de las veces que dispara. En cambio María falla en el 40% de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, cuál es la probabilidad de que ambos acierten? Dpto. Matemáticas 1 / 1 IES Ramón Olleros

2 Opción B 1.- El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en las bebidas y el 15 % en las conservas, obtendrá un importe total de Calcula lo que pagó por cada uno de ellos Dada la curva de ecuación f (x), para x ( 2, 2). 2 4 x a) Halla los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudia su crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la curva en dicho intervalo. c) Calcula la recta tangente a la curva f (x) en el punto x Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con media µ y desviación típica σ 1. a) Suponiendo que µ 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al mercado, qué proporción de latas salen efectivamente al mercado? b) Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación, obteniéndose un media muestral de 90,25 gramos. Determina un intervalo de confianza al 95 % para µ. 4.- Una caja tiene 12 bombones, de los cuales 2 son de chocolate blanco y el resto de chocolate negro. Si se cogen 4 bombones al azar y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que los 4 sean de chocolate negro. Dpto. Matemáticas 2 / 2 IES Ramón Olleros

3 SOLUCIONES Opción A Sean las matrices: A y B Halla una matriz X tal que 2X BA AB En primer lugar despejemos la matriz X de la expresión 2X BA AB. 2X BA AB 2X AB + BA X 1 2 (AB + BA) Una vez despejada, calculemos las matrices AB y BA (recuerda que en general el producto de matrices no es conmutativo): AB BA Así: X 1 2 (AB + BA) La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono x (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función C(x) 10 5 (x + 20) 2 (a x), donde x [0, 200] y a es un parámetro. a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20,25 kg de tomate. b) Supuesto a 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máxima cantidad de tomates. Cuál es esa máxima cantidad de tomates? a) Debemos calcular a para el caso en que C (130) 20,25. Por tanto: C (130) 20,25 20, ( ) 2 20,25 (a 130) a b) Si a 220 entonces la función C que nos da la cantidad de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate viene dada por C (x) 10 5 (x + 20) 2 (220 x). Nos piden calcular la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máxima cantidad de tomates, y por tanto, debemos maximizar dicha función. Para ello, calculemos la derivada de la función C (x), C (x), e igualemos la a cero para obtener los puntos singulares: Dpto. Matemáticas 3 / 3 IES Ramón Olleros

4 C (x) (x + 20) (220 x) 10 5 (x + 20) (x + 20) [2 (220 x) (x + 20)] 10 5 (x + 20) (420 3x) Al igualarla a cero tenemos que: 10 5 (x + 20) (420 3x) 0 x 20 y x 140 La solución negativa no tiene sentido en el contexto del problema, y por tanto nos olvidamos de ella. Para la solución positiva, comprobamos si hace máxima la cantidad de tomates producida. Para ello, calculemos C (x): C (x) 10 5 (420 3x) (x + 20) 10 5 (360 6x) Como: C (140) 10 5 ( ) 10 5 ( ) 10 5 ( 480) < 0 Máximo Por tanto, para que la producción de tomates sea máxima se ha de abonar la planta con 140 gramos de abono. En ese caso la producción de tomate ascendería a C (140) 20,48 kg. 3.- Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos tiradas con el dado elegido. a) Calcula la probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda. b) Si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? Para resolver este problema, consideremos los siguientes sucesos: N: Elegir el dado normal. T: Elegir el dado trucado. S5: Sacar un 5. S6: Sacar un 6. Con estos sucesos elaboremos el siguiente diagrama de árbol que nos ayude a resolver el problema: 1/2 Elegir dado 1ª tirada 2ª tirada N 1/6 S5 1/6 5/6 5/6 1/6 S 5 5/6 S6 S 6 S6 S 6 1/2 T 2/6 S5 4/6 4/6 2/6 2/6 S 5 4/6 S6 S 6 S6 S 6 Dpto. Matemáticas 4 / 4 IES Ramón Olleros

5 a) La probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda viene dada por el teorema de la probabilidad total: P (S5 en 1ª tirada S6 en 2ª tirada) P (N) P (S5 en 1ª tirada / N) P (S6 en 2ª tirada / (N S5 en 1ª tirada)) + + P (T) P (S5 en 1ª tirada / T) P (S6 en 2ª tirada / (T S5 en 1ª tirada)) b) Para calcular la probabilidad de haber elegido el dado trucado, si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, utilizamos el teorema de Bayes: P (T / (S5 en 1ª tirada S6 en 2ª tirada)) PT ( S5en1ª tirada S6 en 2ª tirada) PS ( 5en1ª tirada S6 en 2ª tirada) 4.- En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55% de las veces que dispara. En cambio María falla en el 40% de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, cuál es la probabilidad de que ambos acierten? Para resolver este problema, consideremos los siguientes sucesos: A: Antonio acierta. M: María acierta. Estos dos sucesos son independientes, y por tanto se ha de cumplir que: P (A M) P (A) P (M) Según los datos del problema tenemos que: P (A) 0,55 P (M) 0,60 Entonces: P (A M) P (A) P (M) 0,55 0,60 0,33 Dpto. Matemáticas 5 / 5 IES Ramón Olleros

6 Opción B 1.- El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en las bebidas y el 15 % en las conservas, obtendrá un importe total de Calcula lo que pagó por cada uno de ellos. Consideremos las siguientes variables: x: valor del embutido comprado. y: valor de las bebidas compradas. z: valor de las conservas compradas. A partir de los datos del problema podemos escribir las siguientes ecuaciones: Importe total de 4600 : x + y + z 4600 El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos: z x + y Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en las bebidas y el 15 % en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 : 1,10x + 1,20y + 1,15z 5305 Obtenemos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si sustituimos la segunda ecuación en las otras dos, conseguimos reducirlo al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 2x + 2y 4600 x + y ,25x + 2,35y x + 47y Resolviendo este sistema obtenemos que: x 1000 e y Sustituyendo estos valores para calcular z, obtenemos que z Dada la curva de ecuación f (x), para x ( 2, 2). 2 4 x a) Halla los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudia su crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la curva en dicho intervalo. c) Calcula la recta tangente a la curva f (x) en el punto x 1. Se tiene que para la función dada f (x) tiene por dominio: Dom f (x) nos dicen que x ( 2, 2), la función siempre está definida en él. { 2, 2}. Por tanto, como a) Para hallar los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudiar su crecimiento y decrecimiento, calculemos su derivada primera: f (x) 2 0 (4 ) 1 ( 2 ) 2 x x x (4 x ) (4 x ) Dpto. Matemáticas 6 / 6 IES Ramón Olleros

7 Dicha derivada se anula para x 0. Así, el signo de la derivada primera en el intervalo ( 2, 2) es: f (x) < 0 f (x) > De aquí se deduce que la función decrece en el intervalo ( 2, 0) y crece en el intervalo (0, 2). Por tanto, como en x 0 cambia la monotonía de creciente a decreciente, la función f presenta un mínimo en dicho punto. 1 Mínimo en 0, 4 b) Para representar la función en dicho intervalo podemos ayudarnos calculando los valores hacia los que tiende la función cuando x tiende a 2 y a Lim y Lim x 2 4 x 0 x 2 4 x 0 Por tanto, las rectas x 2 y x 2 son asíntotas verticales. Así, teniendo en cuenta lo anterior, que la función no corta al eje OX, que corta al eje OY en el 1 punto donde presenta el mínimo, 0,, que el signo de la función es positivo en el intervalo 4 considerado, y que es una función par, entonces su representación es: c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x 1 viene dada por: y f (1) f (1) (x 1) 1 1 2x Así, f (1) 2, y como f (x) (4 x ) ecuación de la recta tangente es:, entonces f (1) Por tanto la 2 2 (4 1 ) 9 y (x 1) 2x 9y Dpto. Matemáticas 7 / 7 IES Ramón Olleros

8 3.- Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con media µ y desviación típica σ 1. a) Suponiendo que µ 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al mercado, qué proporción de latas salen efectivamente al mercado? b) Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación, obteniéndose un media muestral de 90,25 gramos. Determina un intervalo de confianza al 95 % para µ. a) Consideremos la variable aleatoria X que nos da el peso de las latas de sardinas de la citada empresa conservera. Dicha variable sigue una distribución normal N (90, 1). Para calcular la proporción de latas salen al mercado, teniendo en cuenta que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos, calculemos P (88 X 92) y expresemos el resultado en forma de porcentaje: P (88 X 92) P Z P ( 2 Z 2) P (Z 2) 1 2 0, , ,9544 Por tanto, el 95,44 % de las latas salen efectivamente al mercado. σ b) El intervalo de confianza pedido será de la forma x zα/2, x+ zα/2 n σ, en el que n x 90,25 gramos, n 25 y para una confianza del 95 % le corresponde un z α / 2 1,96. Así pues: σ σ IC x zα/2, x+ zα/2 n n , 25 1,96,90, , (89,858; 90,642) 4.- Una caja tiene 12 bombones, de los cuales 2 son de chocolate blanco y el resto de chocolate negro. Si se cogen 4 bombones al azar y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que los 4 sean de chocolate negro. Consideremos el suceso N i, que indica la extracción de un bombón negro, siendo i el número de extracción. Así, la probabilidad pedida viene dada por: P (4 bombones negros) P (N 1 ) P (N 2 / N 1 ) P (N 3 / N 1 N 2 ) P (N 4 / N 1 N 2 N 3 ) Nota: No se trata de una distribución binomial ya que al realizar extracciones sin reemplazamiento no se mantiene constante la probabilidad de sacar un bombón negro en cada extracción. Otra forma de realizar este ejercicio es a través de la combinatoria. El número de casos posibles viene dado por las distintas formas en que se pueden elegir 4 bombones negros de entre los 10 que Dpto. Matemáticas 8 / 8 IES Ramón Olleros

9 hay, es decir, 10. El número de casos posibles viene dado por las distintas formas en que se 4 pueden elegir 4 bombones negros de entre todos los que hay, es decir, 12. Así: 4 P (4 bombones negros) Número decasos favorables Número de casos posibles ! 4! 6! 14 12! 33 4! 8! Dpto. Matemáticas 9 / 9 IES Ramón Olleros