Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino

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1 i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto limitdo y ordedo de úmeros reles. TÉRMINO DE UNA UCEIÓN. TÉRMINO GENERAL DE UNA UCEIÓN Cd elemeto de ese cojuto que form u sucesió uméric se llm térmio de l sucesió, deotádose sí: es el primer térmio, es el segudo térmio, 3 es el tercer térmio,, etc. El térmio geerl de u sucesió es l fórmul que permite clculr culquier térmio de l sucesió coociedo su lugr. e expres sí: PROGREIONE ARITMÉTICA, térmio geerl U progresió ritmétic es u sucesió e l que cd térmio se obtiee sumdo l terior u ctidd costte llmd difereci, d, es decir: d El térmio geerl de u sucesió ritmétic viee ddo por: + ( ) d, e dode es el primer térmio de l sucesió y d es l difereci. L sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic se deot co, y está dd por: ( + ) PROGREIONE GEOMÉTRICA U progresió geométric es u sucesió e l que cd térmio se obtiee multiplicdo l terior u ctidd costte llmd rzó, r, es decir: Ju J. Pscul

2 MATEMÁTICA 3º EO COLEGIO TIMÓN r + El térmio geerl de u sucesió geométric viee ddo por: r - e dode es el primer térmio de l sucesió y r es l rzó. L sum de los primeros térmios de u progresió geométric se deot co, y está dd por: r r Teiedo e cuet Cso e el que r< - r, l expresió de l sum se puede escribir tmbié como sigue: ( ) r r r r r - i el vlor bsoluto de r es más pequeño que, y queremos hllr l sum de todos los térmios de l progresió geométric, l fórmul terior se escribe del siguiete modo: Por qué h desprecido r? r r r r Estmos buscdo l sum de ifiitos térmios. Ello quiere decir que es ifiito. Pues bie: Culquier úmero que esté compredido etre 0 y elevdo u expoete grde es, proximdmete cero. Ejemplo de ello: 0 0, 3 0, Est boito truco de elimir ciertos térmios e ls fórmuls es el p de cd dí de los cietíficos e igeieros que ls mej. ) EJERCICIO ) Hllr los térmios que se idic e ls siguietes progresioes ritmétics: El vlor bsoluto de u úmero, deotdo como es ese úmero IEMPRE co sigo positivo. Ejemplos Ju J. Pscul

3 COLEGIO TIMÓN MATEMÁTICA 3º EO ) El trigésimo e,6,,6,... b) El decimosexto e,5,9,3,... c) El vigesimocurto e -8, -5, -,,... olució: Está clro que o vmos poeros desrrollr cd u de ls progresioes hst el térmio que os pide. Lo que vmos hcer es clculr el térmio geerl de cd u de ells y luego, prtir del térmio geerl lczr uestro objetivo. Tods so progresioes ritmétics. Etoces, el térmio geerl está ddo por: + ( ) d, co d tl que d +. Así qué: ) d 6 5, por lo que + ( ) Como os pide el térmio trigésimo, etoces 30 y b) d 5 4, por lo que + ( ) Como os pide el térmio decimosexto, etoces 6 y c) d 5 ( 8) 3, por lo que 8 + ( ) Como os pide el térmio vigesimocurto, etoces 4 y ) Hllr l sum de los térmios de u progresió ritmétic e los siguietes csos: ) De 5 e 3, 8, 3,... b) De e 4, 39, 36,... c) De 40 e, 5, 3, olució: Lo que hy que hcer es hllr el térmio geerl y luego plicr l fórmul de l sum cd u de ls progresioes. ) d 8 3 5, por lo que 3 + ( ) Como os pide el térmio 5, etoces 5 y Ahor itroducimos l 5 expresió que os permite hllr l sum de l progresió y sustituimos dtos: ( + ) ( + 5) 5 ( 3 +3) Ju J. Pscul 3

4 MATEMÁTICA 3º EO COLEGIO TIMÓN b) d , por lo que 4 + ( ) ( 3) Como os pide el térmio vigésimo segudo, etoces y ustituimos dtos: ( + ) ( + ) ( 4 - ) 3 c) d 8 8 8, por lo que ( ) Como os pide el térmio 40, etoces 40 y 40. L sum de los 8 8 primeros 40 térmios está dd por: ( ) ( ) 3) Cuátos térmios de l progresió 3,,, 3, 5,... se debe tomr pr que l sum se 40? olució: L sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic está dd por: ( + ) () ustituyedo los dtos coocidos llegmos ( 3+ ) 40 () Recordemos que estmos buscdo el vlor de. Usdo el eucido os es posible hllr el térmio geerl: L difereci es d. Así: ( ) ( )( ) + d (3) ustituyedo (3) e () escribimos: ( ( )) ( ) ( ) (5) 4 Ju J. Pscul

5 COLEGIO TIMÓN MATEMÁTICA 3º EO (6) Resolvmos hor l ecució de º grdo (6). Pr ello hy que recordr l fmos expresió que os permite resolver culquier ecució de grdo : b ± b 4c + b + c 0 (7) 4) E ese cso: ( ) ( ) ( ) 4 ± ± ± ± Pero sólo tiee setido si es positivo, por lo que 4. Así que l respuest que buscmos es 4. Teemos que tomr 4 térmios pr que l sum de l progresió que os ocup se 40. Comprueb que, e efecto, l sum de los 4 primeros térmios es 40. 4) Hll l sum de todos los úmeros pres compredidos etre 99 y 00. olució: Como siempre, empleremos ls dos expresioes propis de ls progresioes ritmétics: Expresió del térmio geerl: + ( ) d () Expresió de l sum de los primeros térmios: ( ) +. () Los úmeros pres so, 4, 6,, es decir, l difereci etre ellos es d. Por otro ldo, el primer térmio,, es 00 y el último,, es 000. Etoces: Pr el térmio geerl: ( - ) d ( -) Pr l sum de los 45 primeros térmios: Ju J. Pscul 5

6 MATEMÁTICA 3º EO COLEGIO TIMÓN ( ) ( ) ) El primer térmio de u progresió ritmétic es 3 y el último 39. i l sum de todos los térmios es 0, clculr l difereci d y el úmero de térmios olució: Ls expresioes que teemos que mejr so dos: l del térmio geerl y l de l sum ( + ) de los primeros térmios dds por + ( - ) d y, respectivmete. El primer térmio es 3, el último 39 y l sum 0. ustituymos tles vlores e l expresió de l sum de los primeros térmios: ( ) ( ) de 0 térmios. 4.Teemos pues u progresió Ahor llevemos ésto l expresió del térmio geerl: ( - ) d (0 - ) d d d 4. Así que l difereci etre los 9 térmios es 4. 6) 6) L sum de tres úmeros e progresió ritmétic es 33 y su producto 87. clcúllos. e tres úmeros e progresió ritmétic ddos por, + y +. Cd uo de ellos tiee que cumplir lo siguiete: + ( - ) d + d - d () + + d + d. () ( ) ( ) ( ) d + + d + d + d. (3) + Es más esclrecedor si escribimos cd uo de los térmios e fució de uo sólo, por ejemplo, del térmio cetrl +. De este modo () y (3) tom l siguiete form: + ( ) d ( + d) d d (4) + 6 Ju J. Pscul

7 COLEGIO TIMÓN MATEMÁTICA 3º EO ( ) ( ) ( ) + + d + + d + d + d + d (5) + + L sum de estos tres úmeros es 33, es decir: ( - d ) + + ( + d ) (6) Por otro ldo, el producto de estos tres úmeros es 87, es decir: (7) Recorddo que + y usdo (4) y (5) escribimos l siguiete iguldd: 87 ( d) ( + d) 87 d d 7 7 d d 7 d 4 d±. Etoces, está clro que l solució buscd es 9, y 3, idepedietemete de si d es positivo o egtivo. Comprueb que eso es sí. 7) e l progresió: 3,, 48, ) Rzo si es ritmétic o geométric. b) Hll el térmio geerl. c) Clcul el térmio oveo. d) Hll l sum de los ueve primeros térmios. olució: L difereci etre los térmios cosecutivos o es costte, mietrs que el cociete sí 48 lo es. E cocreto, r 4. Así que l serie es geométric. 3 El térmio geerl de u progresió geométric es que os d: - - r 3 4. Este es el térmio geerl. - r. Itroduzcmos los dtos El térmio oveo es el que correspode 9: L sum de los ueve primeros térmios es: r r Ju J. Pscul 7

8 MATEMÁTICA 3º EO COLEGIO TIMÓN 8) El 6º térmio de u progresió geométric es 97 y l rzó es 3. Hll el primer térmio. olució: El térmio geerl de u progresió geométric es expresió los dtos ddos obteemos: r 6 r r. ustituyedo e est 9) Clcul l rzó de l progresió geométric cuyo primer térmio es 9 es 54. y el 6º térmio olució El térmio geerl de u progresió geométric es expresió los dtos ddos obteemos: - r. ustituyedo e est r 6 r 64 r r r 43 ( 3) ) E u progresió geométric el primer térmio es 3 y l rzó 4. co estos dtos, clcul el térmio geerl y l sum de los 5 primeros térmios olució El térmio geerl de u progresió geométric es expresió los dtos ddos obteemos: - r. ustituyedo e est r 3 4. Este es el térmio geerl. El térmio quito será: - - r L sum de los primeros térmios de u progresió geométric está dd por: r. ustituymos dtos: r 5 r r 4 8 Ju J. Pscul

9 COLEGIO TIMÓN MATEMÁTICA 3º EO ) ) Hll l sum de los ifiitos térmios de l progresió dd por olució: 3,,,, L progresió es geométric de rzó 3. Como r es meos que etoces l expresió de l sum tom l siguiete form: r r r r () ) ustituyedo los dtos que os d e () obteemos: r ) Hll tres úmeros e progresió geométric cuy sum se 6 y su producto 6. olució: Esos tres úmeros h de ser de l form, r y r. L sum de estos tres úmeros es 6, es decir: + r +r 6. () Por otro ldo, si su producto es 6 eso implic que r r 6, o lo que es lo mismo: 3 r 6. () Teemos u sistem de ecucioes () y (). De () despejmos r: r 6 r r r (3) Ahor llevmos (3) (): r +r Resolvmos est ecució de grdo : ( 0) ± ( 0) ± ± Ju J. Pscul 9

10 MATEMÁTICA 3º EO COLEGIO TIMÓN ± i 8 etoces, teiedo e cuet (3), r. 3 E este cso, plicdo () obteemos 8, 6 y. i etoces, teiedo e cuet (3), r 3. E este cso, plicdo () obteemos, 6 y 8. Así que hemos obteido lo mismo pr los dos vlores de. 0 Ju J. Pscul