CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

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1 CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347

2 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió Si f : N R es ua sucesió y f) = a, N, represetamos la sucesió por {a } N o simplemete {a } y a se llama térmio geeral o -ésimo) de la sucesió Ua sucesió {a } es covergete cuado existe y es fiito lím a Si dicho límite es ifiito, la sucesió es divergete, y si o existe, la sucesió es oscilate Las propiedades de los límites de fucioes se aplica a sucesioes e forma directa Por tato, para estudiar la covergecia de ua sucesió so válidos los mismos métodos utilizados e el cálculo de límites de fucioes Tambié se puede aplicar las equivalecias etre ifiitésimos ombradas allí ver capítulo 3) Tambié es válida aquí la fórmula lím + u ) /u = e, cuado u 0 Si embargo existe otros criterios específicos para las sucesioes que euciamos a cotiuació: ) Media aritmética: Si lím a = a, etoces a + + a lím = a 2) Media geométrica: Si lím a = a y a > 0,, etoces lím a a = a a 3) Cociete-Raíz: Si a > 0, y lím = L, etoces lím a a = L 4) Stolz: Si {a } es ua sucesió arbitraria, {b } es ua sucesió creciete tal que lím b a a a = + y lím = L, etoces lím = L b b b Aparte de estos criterios, es útil la fórmula de Stirlig: lím! e 2π =, es decir,! y e 2π so ifiitos equivaletes E los problemas que sigue se desarrolla distitos métodos para los diferetes casos de idetermiació e el cálculo de límites de sucesioes 348

3 PROBLEMA 8 a = Multiplicamos y dividimos por el cojugado y se obtiee: L ) ) / + / = 5 2 PROBLEMA 82 a = Como teemos ua idetermiació, multiplicamos y dividimos por el cojugado: L ) ) ) / + / + / 2 + = 2 PROBLEMA 83 a =

4 Multiplicamos y dividimos dos veces por el cojugado y obteemos: ) 2 2 L ) ) ) ) = 0 PROBLEMA 84 a = Debido a la idetermiació, procedemos así: L ) lím lím = PROBLEMA 85 a =

5 Teiedo e cueta la factorizació a 3 b 3 llamamos a = y b = 3 3, resulta: L a b) a 3 b 3 a 2 + ab + b 2 = a b)a 2 + ab + b 2 ), si ) 2/ ) /3 3 ) /3 + 3 ) 2/ / = 2 3 PROBLEMA 86 a = Teiedo e cueta que L 9 + 2) ) 3, si llamamos a = ) 2, b = ) 3, aplicamos la fórmula y obteemos a b = L a b) a 6 b 6 a 5 + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + ab 4 + b ) ) ) ) ) = = 7 2 PROBLEMA 87 a =

6 E primer lugar, trasformamos la idetermiació e 0 : [ 3 L 3 + 5/ 3 ) /8 3 ) 3] [ ] + 5/ 3 ) / /2) /3 3 [ ] + 5/ 3 ) / /2) /3 3 Aplicamos ahora la fórmula de Newto: ) /3 = /3 ) ) / = /3/3 ) + 3 2! ) /3 ) /3 /3 = = + 3 /3/3 ) + 2 2! = ) Sustituyedo e la última expresió de L: [ L [ 3 ] = ] ] = lim [ = 3 PROBLEMA 88 a = a a + a a a a, a N E primer lugar sacamos factor comú e cada sumado: L a + ) a ) 352

7 Desarrollamos ahora cada térmio e serie de potecias: + ) /a = + ) /a = /a ) + /a 2 ) 2 + = + a /a/a ) + 2! = + a + a 2a 2 /a ) 3 + a) 2a) + 2 6a ) ) /a /a /a = a + a a) 2a) 2a 2 2 6a /a/a )/a 2) + 2 3! ) 3 + Sustituyedo ahora e la última expresió del límite, resulta: [ ] 2 L a) 2a) + a 3a [ ] 2 a) 2a) + a 3a = 2 a 3 + PROBLEMA 89 a = ) Comparado los grados del umerador y deomiador, resulta: L 2 = PROBLEMA 80 a = 3 2) + 3)2 5) )3 5) 353

8 Comparado de uevo los grados del umerador y del deomiador, obteemos: ) ) L ) 6 4 = 2 + PROBLEMA 8 a = Aplicamos la fórmula = + )/2 Resulta: ) + L = 2 PROBLEMA 82 a = ) a, a N a Al desarrollar a) resulta directamete: L ) 2) a + ) = a a! a! a + lím a = a! 354

9 PROBLEMA 83 a = + + Si dividimos umerador y deomiador por, teemos: L / + = / PROBLEMA 84 a = ) Para comparar los grados del umerador y deomiador escribimos: L ) ) = =

10 PROBLEMA 85 a = ) Si racioalizamos umerador y deomiador, teemos: L ) ) 2 + ) ) ) 3 + ) ) ) ) debido a que los grados del umerador y deomiador so iguales = 3 2, PROBLEMA 86 a = Debido a la idetermiació /, dividimos umerador y deomiador por 5 : debido a que 3/5) 0 3/5) + 7/5 ) L 4/5 = 0 ) = 0, PROBLEMA h 4 + k a = 3 + h 3 + k 2 + j 356

11 E primer lugar teemos: 4 + h/) 4 + k/) L 3 + h/) 3 + k/) 2 + j/) /4 [ + h/) /4 + k/) /4] [ /3 + h/) /3 + k/) /3] /2 + j/) /2 + h/) /4 + k/) /4 + h/) /3 + k/) /3 + j/)/2 Desarrollamos ahora las potecias de los biomios: + h ) /4 = + + h ) /3 = + /4 ) h + ) /4 h = + 4 h /4/4 ) + 2! ) ) /3 h /3 h h2 2 + = + h 4 3h = + 3 h /3/3 ) + h2 2! 2 + = + h 3 h ) j /2 ) ) /2 j /2 j 2 = = + 2 j /2/2 ) + j2 2! 2 + = + j 2 j Sustituimos e la fórmula del límite y teemos: + h 4 3h2 + + k 32 L 2 + h 3 h2 + + k j ) 2 j h k = 4 4 3h2 k 2 ) h k 3 h2 k 2 h k) 3 h k) = k2 3 k2 ) ) j ) 2 j

12 PROBLEMA 88 a = /22 ) + cos / 4 Operado directamete resulta L = 0/ = 0 PROBLEMA 89 a = l ) l ) Por las propiedades de los logaritmos, teemos: l 4 5 4/ + 6/ 2 + 3/ 3 2/ 4 ) L l / 5/ 2 + 7/ 3 ) l 4 + l5 4/ + 6/ 2 + 3/ 3 2/ 4 ) l 3 + l6 + 4/ 5/ 2 + 7/ 3 ) 4 l + l5 4/ + 6/ 2 + 3/ 3 2/ 4 ) 3 l + l6 + 4/ 5/ 2 + 7/ 3 ) 4 + l5 4/ + 6/ 2 + 3/ 3 2/ 4 )/ l 3 + l6 + 4/ 5/ 2 + 7/ 3 = 4 )/ l 3 PROBLEMA 820 a = se π 2 se π

13 Debido a que se π se π/2 =, y teiedo e cueta la equivalecia 2 de ifiitésimos se π 4 2 π 4 2, resulta: L se π 2 π π = 4 π PROBLEMA 82 Sabiedo que 2 se A se B = cosa + B) + cosa B), calcular el límite de la sucesió de térmio geeral a = se 2 + se se se 2 Multiplicado y dividiedo el térmio geeral de la sucesió por 2 se 2 2 : [ a = 2 se/2 2 ) 2 se 2 se + 2 se 2 2 se se 2 se ] Si aplicamos ahora la fórmula dada, teemos: a = = [ cos ) cos [ cos 2 se/2 2 ) = 2 se/2 2 ) 2 se/2 2 ) 2 se se 2 2 cos cos 2 2 ] cos Etoces, debido a la equivalecia se u u cuado u 0: L 2 /2 2 ) = 2 )] 359

14 PROBLEMA 822 a = tg π Por ua parte, L tg π 2 π 4+2 ) π 4+2 cotg / tg π Teiedo e cueta la equivalecia tg L π π / π 3 + 2/ 2 / = 4 3 π π, podemos escribir π PROBLEMA a a = l a Debido a la equivalecia l + a a + a, teemos: a L 2 l + a a 2 + a + a a + a 2 a ) 2a 2 2a = a 360

15 PROBLEMA 824 a = 4 + 3) m l + ) m dode m R 2 Aplicamos la equivalecia l y resulta: L [ = [ 4 + 3) l + ] m = 2 lím 4 + 3) 3 2 [ ] m = 2 m )] + m lím 4 + 3) 2 PROBLEMA 825 a = a, siedo a > 0 Aplicaremos la equivalecia a / /) l a: L a/ ) a/ ) l a = l a PROBLEMA 826 a = a + ) ) 36

16 Si tomamos logaritmos y utilizamos la equivalecia l + u ) u, cuado u 0, resulta: ) a + l L l ) l a + ) + lím ) l ) a + = l lím + lím ) = l + ) = Por tato, L = e PROBLEMA 827 a = /3) l + a) + b) + c) l Teemos ua idetermiació que operamos del siguiete modo: [ ] L /3) l + a) + b) + c) l /3 /3 /3 ) [/3) l + a) + /3) l + b) + /3) l + c) /3) l /3) l /3) l ] + a + b /3) l + lím /3) l + lím + b /3) l 3 a + lím = a 3 + b 3 + c 3 = a + b + c 3 3 b + lím 3 c PROBLEMA 828 a = 34 se 2 /) l + /) + 5) cos π

17 Debido a las equivalecias se / / y l+/) /, teemos: 3 4 L + 5 /2 / 2/ ) = 6 = PROBLEMA 829 a = 2 l seπ/2 + 2/) l cos /) Nuevamete, por la equivalecia l u u, cuado u, resulta: L = seπ/2 + 2/) seπ/2 + 2/) cos / lím 2 l 2 cos / cos / = cos 2/ cos / cos/ + /) cos / lím 2 2 cos / cos / 2 cos2 / se 2 / cos / cos / 2 cos /cos / ) lím cos / 2 se2 / cos / 2 )/) 2 lím 2 cos / = 2 = 3 2 E la última líea aplicamos las equivalecias se/) / y cos/) /) 2 /2 PROBLEMA 830 a = 32 + ) cos/) 2 2) l[ + / 2 )] 363

18 Teiedo e cueta las equivalecias de los ifiitésimos cos /)2 2 y l + u ) u, cuado u 0, teemos: L 2 2 lím cos/) l + / 2 )) = 3 lím / 2 2 / 2 = 3 2 PROBLEMA 83 ) 2 +3 a = 2 Calculado directamete los límites de la base y el expoete, teemos que ) 2/3 L = /2 = 3 2 PROBLEMA 832 ) + 3 a = Teemos ua idetermiació del tipo Tomamos logaritmos y utilizamos la equivalecia l u u cuado u : l L = ) + lím 3) = 3) + + ) 2 6 lím = 2 = L = e2 364

19 PROBLEMA ) )/ a = De forma similar al aterior, teemos: 2 [ 2 ] + 3 l L ) ) 2 + 4) = 4 = L = e 4 PROBLEMA ) a = 2 + Como la idetermiació es del tipo, teemos: l L Por tato, L = e = e l =

20 PROBLEMA 835 a = [ ] l Co la misma idetermiació aterior, deberemos aplicar dos veces la equivalecia l u u cuado u : l L + l ) )2 2 3) 2 9) + ) = 2 = L = e 2 PROBLEMA 836 [ ] l + a) l a = l Debido a que l + a) l = l + a/) l = l + l + a/) l = + l + a/) l, teemos ua idetermiació del tipo Por tato, si llamamos L al límite de la sucesió, resulta l L = [ ] l + a) lím l + a/) l l + a/) a/) = l e a = a 366

21 Queda e defiitiva que L = e a PROBLEMA 837 a = [ + l ) l )] 2 5 Debido a que a = [ ] l , resulta: l L = lím ) ) = 2 5) 8 + 8) lím 2 = E defiitiva, L = e 6 PROBLEMA 838 a = [ ) 2 ] Calcularemos e primer lugar la expresió ) 2 utilizado la fórmula k 2 kk + )2k + ) =, k N: ) 2 = ) 2 + 2) 2 [ ) 2 ] = ) 2 + 2) ) = 22 + )4 + ) )2 + ) =

22 [ ] 2+ 3 De este modo a = = 6 Etoces hacemos [ 4 2 ] [ 4 2 ] 2 + ) l L 2 + ) = 0 Por tato L = e 0 = PROBLEMA 839 ) 3 4 a = / Teemos u límite de la forma Llamado L a, si utilizamos la equivalecia l u u, teemos: l L = 2 lím / ) 3 6 ) ) / ) 3 6 ) ) 2 Si llamamos ahora a = ) 3 y b = ) 2 y utilizamos la idetidad a 6 b 6 = a b)a 5 + a 4 b + + b 5 ), teemos l L = 2 lím = 2 lím E defiitiva, L = e 25/ ) ) ) ) ) ) = = 6 230/6 24

23 PROBLEMA 840 [ ] cosa + /) a = cos a Como teemos ua idetermiació, hacemos: [ ] cosa + /) l L cosa + /) cos a cos a cos a Aplicamos la fórmula cos A cos B = 2 se A + B 2 ) 2 se a + 2 se 2 l L cos a = 2 se a cos a Queda e defiitiva L = e tg a se A B 2 2 se a + 2 cos a lím = 2 tg a = tg a 2 2 y teemos: ) lím se 2 PROBLEMA 84 [ a = cos ] Aálogamete al aterior teemos: [ l L cos ] Utilizaremos la fórmula cos 2x = cos 2 x se 2 x = 2 se 2 x = cos 2x = 2 se 2 x y resulta: [ ] 2 se 2 l L 2 4 = ) 2 2) 2

24 E defiitiva, L = e /2 PROBLEMA 842 [ ] + tg / a = tg / Como teemos ua idetermiació del tipo, hacemos lo siguiete: [ ] [ ] + tg / 2 tg / l L tg / tg / Como / 0, podemos sustituir tg / por / Así: Por tato, L = e 2 l L 2/ tg / 2 tg / = 2 PROBLEMA 843 a = cos φ/ + a se φ/) Como teemos u límite de la forma, usamos las equivalecias l u u, cos u u 2 /2, se u u, cuado u 0 y resulta: l L cos φ/ + a se φ/) cos φ/ ) + lím a se φ/ φ lím a φ/) = φ a 370

25 Luego L = e φa PROBLEMA 844 a = / + se / + cos /) cotg / Tomado logaritmos, y usado las equivalecias tg / /, cos / /) 2 2, teemos: l L cotg // + se / + cos / ) = / + se / + cos / lím tg / de dode L = e 2 / tg / + lím se / tg / + lím cos / tg / / / + lím /) 2 cos / + lím 2/) = + 0 = 2 PROBLEMA 845 ) / a + + a / k a = k Debido a la idetermiació, usamos la equivalecia a / /) l a co lo que: [ ] / a l L + + a / a/ k ) + + a / k ) k k /) l a + + /) l a k k 37 = la a k ) k

26 De dode, L = k a a k PROBLEMA 846 ) + 2 a a = + b Procediedo como e el problema aterior, teemos: 2 + a b) 2 a b) l L + b + b a ) b ) a b / + b/ 2 / + b/ lím 2 / + b/ 2 /) l a / + b/ lím /) l b 2 / + b/ 2 Por tato, L = a/b l a + b/ lím l b + b/ = l a l b = l a b PROBLEMA a = ) p p 372

27 Utilizaremos la equivalecia a u u l a, cuado u 0: l L l p p [ ) + 2 ) + + p ] p ) p ) + + lím p p ) p l + + lím p l p l + + l p l p) = = = l p p! p p Por tato, L = e l p p! = p p! PROBLEMA 848 [ ] p a / + q b / + r c / a = p + q + r Como teemos u límite de la forma, hacemos lo siguiete: [ l L p a / + q b / + r c / p + q + r [ = p + q + r ] ] pa / ) + qb / ) + rc / ) p + q + r [ ] p lím a/ ) + q lím b/ ) + r lím c/ ) Tal como hemos visto e el problema aterior, lím a/ ) = l a, lím b/ ) = l b, 373 lím c/ ) = l c

28 Luego, l L = = p l a + q l b + r l c) p + q + r p + q + r lap b q c r ) = la p b q c r ) p+q+r y fialmete L = p+q+r a p b q c r PROBLEMA 849 ) / l3/) a = E este caso teemos ua idetermiació 0 0 Así pues: l L = l lím Como l L = = L = e l l 3 l ) / l3/) l3/) l l / l l 3/ l l / l = PROBLEMA 850 ) + 2 / l 4 3) a =

29 Debido a la idetermiació 0 0, tomamos logaritmos y aplicamos las equivalecias l 4 3) l 4 y l l 3 = l 2 : l L Se deduce etoces que L = e /2 l 4 3) l l 4 l = 2 l 2 l 4 PROBLEMA 85 ) + /+l ) a = Tomado logaritmos, teemos: l L l 2 l + l l l + ) l ) + l l + /) l 2 + / + 5/ 2 ) + l l + l + /) 2 l l + / + 5/ 2 ) + l l + /) l + / + 5/ 2 ) + lím + l + l l + l + 0 / l + = = L = e = e PROBLEMA 852 a = ) /[3+2 l+)] 375

30 La idetermiació es e este caso del tipo 0 Así pues: l L l + ) l ) Teiedo e cueta las equivalecias l ) l 4 y l + ) l, resulta: Por tato, L = e 2 l L 4 l l 4 3/ l + 2 = 2 PROBLEMA 853 a = /2 2 ) /3 2 ) / 2 ) Desarrollado cada factor y simplificado, teemos: 2 2 L )2 + ) = 2 3 )3 + ) 3 2 ) + ) 2 PROBLEMA 854 a = ) + + ) 376

31 Si descompoemos cada fracció e fraccioes simples teemos: kk + ) = A k + B Ak + ) + Bk = k + kk + ) Etoces A =, B =, de dode = = Ak + ) + Bk kk + ) = k k + Aplicado lo aterior a cada sumado de la sucesió dada teemos: a = ) ) ) + ) = + + Es evidete etoces que L a = PROBLEMA 855 Demostrar que l que 0 cuado Deducir de lo aterior l Por ser l > 0 y > 0, etoces lím 0 Por otro lado, si llamamos a = l, teemos: l L a a a a lím a e a a + a 2 ) + a3 ) + lím a a a a )/2! = lím a l Esto prueba etoces que lím = 0 a a 2 a a a2 ) 2 a = 0 Si ahora aplicamos la fórmula a b = e b l a, podemos calcular: lím / = e lím / l = e 0 = 377 a + ) a

32 PROBLEMA 856 a = + a ) Teiedo e cueta la equivalecia a / /) l a y sabiedo que, resulta: L +)/ a / ) +)/ l a +)/ l a l a = l a PROBLEMA 857 a = 3 + a 2 + b + c Debido a que lím a a 3 + a 2 + b + c ) 3 + a ) 2 + b ) + c =, se deduce por el criterio del cociete-raíz que L = PROBLEMA 858 a =

33 Por el mismo criterio aterior, si escribimos 3 3 = 3 como lím ) 3 =, etoces lím ) /3, 3 3 = Por tato, L = PROBLEMA 859 a + )a + 2) a + ) a =! Calculamos tambié el límite del cociete etre dos térmios cosecutivos: L a+)a+2)a+)! a+)a+2)a+ ) )! a + ) = PROBLEMA 860 a = + a ) Por el criterio del cociete-raíz, teemos: L + a ) ) a ) ) = + e = + + ) 379

34 PROBLEMA 86 a = l l a Utilizamos el mismo criterio de los problemas ateriores y teemos: L = l a lím l = l a lím l ) l ) Teiedo e cueta la equivalecia l l ), resulta: L = ) l l a lím = l a e lím + l = l a e lím l = l a e0 = l a PROBLEMA 862 a = + /) p + /) p Por el criterio del cociete-raíz uevamete, resulta: + /) p + /) p L [ + / )] p [ + )/ )] p 380

35 Escribimos ahora = = = = = + ) + ) ), + 2 ) + ) + 2) ), + 3 ) + 2) + 3) ), + 2 ) 2 3) 2 2) ), + ) 2 2) 2 ) ), y obteemos L = [ + /) + )/) + /) 2 2) + /) +) ) + )/) p + /) +)2 3)2 2) ) +)+2)2 ) lím + /) )2 ) ) ] p 2 = 4e ) p = 4/e) p p PROBLEMA 863 a = Por el criterio de la media aritmética E geeral lím L p p ) p = = 38

36 PROBLEMA 864 a = l!) Por el criterio de Stolz o el de la media aritmética), teemos: l + l l L l = PROBLEMA 865 a = ! + +! 2 Aplicamos el criterio de Stolz y utilizamos la fórmula de Stirlig: ! + +! ! + + )!) L 2 ) 2! e 2π 2 e2 ) lím 2π 2e e lím 2π = 2e PROBLEMA 866 a = l! + 382

37 Aplicamos el criterio de Stolz por dos veces: L [ l[!/ )!] l! l )! l ] [ l l ) / l/ ) l ) l e = ] PROBLEMA 867 l[arc tg/ k) + ] k= a = / 3k + 2 k= Aplicamos e primer lugar el criterio de Stolz: L k= l[arc tg/ k) + ] k= l[arc tg/ k) + ] / 3k + 2 / 3k + 2 k= Teiedo e cueta que arc tg / 0 y lu + ) u cuado u 0, teemos l[arc tg/ ) + ] L / / / = 3 k= 383

38 PROBLEMA 868 a = + + ) Por el criterio de Stolz teemos directamete: L / + = ) PROBLEMA 869 a = Nuevamete por el criterio de Stolz teemos: L 2 ) ) 2 ) 4 ) 4 ) 4 + ) ) = PROBLEMA 870 [ l ] 2 a = se + se/2) + + se/) 384

39 Aplicamos el criterio de Stolz y teemos e cueta la equivalecia se / /: l l l + 2 L se + se/2) + + se/) l + 2 /) l + 2 / ) se/) se/) /) l + 2 / ) /) l + 2/ ) = l 2 PROBLEMA 87 a = l l 2 + l 3 + l2 ) l2) l Por el criterio de Stolz y la equivalecia l u u, cuado u, teemos: l2 ) l2) L l l ) = 2 l2 )/2) l / ) PROBLEMA 872 a = ) + ) ) 385

40 Recordado que 2 = + ) = ) k k y aplicado sucesivame- k te el criterio de Stolz, teemos: k= L + ) ) = /2) ) PROBLEMA ) + 2) a = 2 Por el criterio de Stolz se obtiee directamete: L + ) + 2) 2 ) ) 2 ) 5 ) ) 5 4 =

41 PROBLEMA 874 Sabiedo que lím u = a, calcular u + 2u 2 + 3u u a) L 2 b) L 2 u / + u 2 /2 + + u / l a) Por el criterio de Stolz, L u 2 ) 2 u lím b) Si aplicamos uevamete el criterio de Stolz, u / L 2 l l ) u lím l ) = a 2 = a 2 l u l e = a PROBLEMA 875 a = [ ] ) Por el criterio de Stolz teemos: L +) 2 ) lím 387 ) + 2 ) = 2 e = e 2

42 PROBLEMA 876 a = 2 e Tomado logaritmos, resulta: l L [2 l [ ] 2 l ] Aplicamos ahora el criterio de Stolz para resolver el límite de c = 2 l : lím c 2 l 2 l ) = 2 lím + ) l = 2 lím l + 2 l ) + = 2 lím ) ) + = 2 l e lím + = 2 l e 0 = 0 Resulta etoces que l L = lím [c ] = y L = e = 0 l ) + PROBLEMA 877 a = l )2 388

43 Aplicado el criterio de Stolz teemos: l ) 2 [l )] 2 L ) l[ )] l l 2 ) l2 ) Aplicamos uevamete el criterio de Stolz, y obteemos: [l l )][l + l )] ) l 2 ) l[ ) 2 )] L 2) l 2 2 = l = PROBLEMA 878 a = cos x), 0 < x < π/2 E el itervalo 0 < x < π/2, 0 < cos x < y cos x) 0, por lo que teemos u límite idetermiado de la forma 0 Resulta: [ ] l l L l cos x) [l + l cos x] + l cos x [ ] l lím + l cos x Por ua parte, segú el criterio de Stolz, l lím l l ) ) l = 0 Por otra parte, como 0 < cos x <, etoces < l cos x < 0, co lo que 389

44 [ ] l lím + l cos x = k < 0 y [ ] l l L lím + l cos x = + k = E defiitiva, L = e = 0 PROBLEMA 879 a = l + l l l Aplicado el criterio de Stolz, Como L l l ) l ) l l l ) l l + l l ) ) l l l ) + l l ) = + ) e, L = +0 = ) PROBLEMA 880 a = + ) + 2) + ) 390

45 E primer lugar tomamos logaritmos: l L = + ) + 2) + ) lím = + ) + 2) + ) lím l Aplicamos ahora el criterio de Stolz y resulta: l +)+2)+) l +) + ) l L ) ) [ + ) + 2) 2) l ) ] + ) 2 2) [ ] 2 )2 l ) [ ] 2 )2 l ) 2 ) 2 )2 = l lím 2 + l lím = l 4 + l e = l4e ) Queda por tato, L = 4e PROBLEMA 88 a = l ) ) + 3) Agrupado térmios y aplicado las propiedades de los logaritmos, ) 2 2 ) 3 3 ) 4 4 ) L l [ ) 2 2 ) 3 3 ) ] l + l + + l [ 2 l l 3 ] l )

46 Aplicado ahora el criterio de Stolz, obteemos: L +3 l ) l + 3 ) = 3 PROBLEMA 882 ) ) ) a = 2 2 Tomamos logaritmos y aplicamos el criterio de Stolz: Sabiedo que l l L ) 2) ) 2 l ) 2) l k) ) = k l l L ) l 2 ) 2 ) 2) ) ) 2 ) ) 2 ) 2! k)!k! )! k )!k! = k y ) 2 ) ) =, resulta: l )! 2 l /!) 2 Aplicamos ahora la fórmula de Stirlig! e 2π y teemos: l l L e 2π 2 l e l 2π 2 l 392 e 2π 2 2 lím ) l 2π 2

47 Volvemos a aplicar el criterio de Stolz: l L = 2 lím l 2π l 2π ) 2 2 3) = 2 2 lím l Teemos etoces L = e /2 = e = 2 2 l = 2 = 2 lím 2 l 2π 2π ) PROBLEMA 883 a = [ )]2 [ )] 2 Escribiremos la sucesió e térmios de factoriales y aplicaremos la fórmula de Stirlig: [ ) L 3 2 ) ] 2 [ 2 2 ) ) 2 [ 2 ] 2 [ )! )! )! 2 ] 2! 2)! [ ] )!! 2)! [ 2 2 ) e + 2π ) e 2π ) 2 e 2 π 2 = π2 e 2 4 2) 2 e 2 2π 2 [ ) e π ] 2 ) e 2 π 2 ) ) ) 2 π 2 e ) 2 = π2 e 2 e 2 = π2 4 4 lím ] 2 ] 2 393

48 PROBLEMA 884 ) 2 a = 4 Por la fórmula de Stirlig, teemos: 2)! 4 2) 2 e 2 4π 4 L!) 2 2 e 2 2π 4 2 e π 2 e 2 2π = π π PROBLEMA 885 [ ] ) 2 a = 3 2 ) Aplicado uevamete la fórmula de Stirlig, L 2 [ )! 2 2 [ )!] )! 2 )! 2 )! [ e 2+2 ) 2 2 [ 2π )] 2 e 2+ 2 ) 2 2π2 ) [ ] e ) 2 2π 2 ) 2 2π2 ) [ 2 2 ) 2 ] 2 2 ) 2 [ ) ] lím 2 = e ) 2 e 2 π2 4π = π 4 e 2 π 2 4π 2π 394 e 2 π 2 4π 2π ] 2 ] 2

49 PROBLEMA 886 a = 22!) )! Utilizamos la fórmula de Stirlig e el umerador y deomiador: 2 2 e 2 2 2π L e ) 2+ 4π + 2π = e e π e 2 + ) 2+ 4π + 2π ) 2 2 e lím 2 + 2π 2 4π = π 2 2π 2 + ) 4π + 2π PROBLEMA 887 a = 2!)2 e /!) 2 ) = 0, resulta la equivale- Debido a que A!) 2 2 e 2 2π cia de ifiitésimos e /!) 2!) 2 Luego 4!) 2 L!) 2 = 4 395

50 PROBLEMA 888! a = Si aplicamos la fórmula de Stirlig, teemos: L e 2π e 2 2π e 2 2π Ahora bie, como lím 2 2π 2 2π =, resulta que L = e PROBLEMA 889 a = 22!) 2 [2)!] Aplicado la fórmula de Stirlig teemos: L 2 2 e 2π) 2 2) 2 e 2 2π2) 2π = π 2 π e 2 2π e 2 4π PROBLEMA 890 Dada la sucesió {a } defiida por a = 2, a = 5a + 3, calcular a lím 5 396

51 Vamos a obteer el térmio geeral de la sucesió dado valores a : a = 5a + 3; a = 5a = 5a = 5 2 a ; a 2 = 5a = 5 2 a 2 = 5 3 a ; a 3 = 5a = 5 3 a 3 = 5 2 a ; a 2 = 5a + 3 = 5 2 a 2 = 5 a Sumado miembro a miembro, a = 5 a ) El último parétesis correspode a la suma de los térmios de ua progresió geométrica, co lo que a = = Etoces, a L 5 5 [ ] 4 5 =

52 B EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular el límite de las sucesioes de térmio geeral - a = ) Resp: L = e 2 2- a = [ 3 2 ] p Resp: L = p/3 3- a = 2 ) Resp: L = 4 4- a = 2 + )3 2 ) Resp: L = 8 5- a = π 24 3 ) Resp: L = 2 6- a = a a 2 Resp: L = 2a/3 7- a = Resp: L = 0 costg ) 8- a =! Resp: L = 0 398

53 9- a = seπ/) Resp: L = π 0- a = 2 + Resp: L = - a = 4 + 3) l Resp: L = 4 ) a = ) Resp: L = / a = 2! Resp: L = 0 4- a = Resp: L = 4/e + ) + 2) 2 5- a =! Resp: L = /e 6- a = m + 2 m + + m m+, m > ) Resp: L = / + m) 7- a = veces) Resp: L = 2 8- a = veces) Resp: L = 2 399

54 9- a = + 2! + 3 3! + +! 2 Resp: L = /e 20- a = Resp: L = 400