SUBCONJUNTOS y CONJUNTO POTENCIA. COMP 2501: Estructuras Computacionales Discretas I Dra. Madeline Ortiz Rodríguez 3 de septiembre de 2013

Transcripción

1 1 SUBCONJUNTOS y CONJUNTO POTENCIA COMP 2501: Estructuras Computacionales Discretas I Dra. Madeline Ortiz Rodríguez 3 de septiembre de 2013

2 2 Material de Estudio Libro de Koshy: páginas 71-72, Vídeos sobre el Triángulo de Pascal. Colabora con tus compañeros de clase en la construcción de soluciones de los ejercicios de práctica.

3 3 El prefijo sub Cómo se define el prefijo sub? Entra al Diccionario de la Real Academia Española (RAE) y estudia su definición ( Cuándo dices subdirector, a qué te refieres? Entra al Diccionario de la RAE y estudia su definición. Qué otras palabras conoces que comienzan por el prefijo sub? Busca sus significados en el diccionario. Qué tal Subcelular, subcomisión, subestación, subíndice?

4 4 Subconjunto La definición de este término se ofrece para las matemáticas, no importa que lo busques en el diccionario de la RAE. Compara las definiciones de subconjunto, según las ofrecen los siguientes recursos: RAE Diccionario matemático Libro de Koshy Escribe tu propia definición o escoge aquella que mejor entiendas.

5 5 Subconjunto Todo aquel conjunto que se puede construir seleccionando elementos de un conjunto dado que está bajo estudio. Por ejemplo, si estudiamos el conjunto V: V = { a, e, i, o, u } Podemos construir subconjuntos que: Tengan algunas de las vocales: { a, e } *Todas las vocales: { a, e, i, o, u } *Ninguna de las vocales, el conjunto nulo: { } = Ø *Observa que entre los subconjuntos se incluyen los extremos: todos los elementos o ningún elemento.

6 6 Subconjuntos Debemos comenzar por estudiar el conjunto dado: Digamos que A = { x x < 10, x N } Entonces A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Un subconjunto podría ser el de los números pares en A: P = { 2, 4, 6, 8 } Si P A, entonces P A. P se conoce como subconjunto propio de A. Otro subconjunto podría ser el de los números impares: S = { 1, 3, 5, 7, 9 }. S A. Si consideráramos el conjunto T, en comparación con A: T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Podemos decir que A = T. Además, T A.

7 7 Cómo se relacionan A, P y T? En resumen, la notación de subconjuntos se establece de la siguiente manera: Si P es un subconjunto de A y P A P A, P se conoce como un subconjunto de A que algunos de sus elementos. Si T es un subconjunto de A y T = A T A, T se conoce como un subconjunto de A que incluye los mismos elementos. Ver libro de Koshy (2004), pág. 69.

8 8 Cuántos subconjuntos hay? Será posible determinar cuántos subconjuntos se pueden construir, dado un conjunto finito? Existe alguna fórmula o algún método que me pueda ayudar a encontrar la solución de manera lógica?

9 9 Conjunto Potencia: P (x) El conjunto potencia incluye todos los subconjuntos del conjunto dado. Para encontrar su cardinalidad (el número total de subconjuntos) se utiliza la siguiente fórmula: P (x) = 2 n

10 10 Conjunto Potencia: P (x) Así, si volvemos al ejemplo anterior, en donde: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } La cardinalidad de A es: A = 9 Entonces, el conjunto potencia de A es: P (A) = 2 9 Esto significa que del conjunto A podemos construir subconjuntos. Serán 18 subconjuntos? Serán 512 subconjuntos? Por qué?

11 11 Otro ejemplo Si B = {2, 3, 7, 9} Cuántos subconjuntos tendrá B? PRIMERO se determina la cardinalidad de B: B = 4. SEGUNDO se determina la cardinalidad del conjunto potencia: P (B) = 2 4 En total tendremos: 2 4 = 2 se multiplica por sí mismo 4 veces 2 4 = 2 x 2 x 2 x = 16 Entonces el conjunto B tendrá 16 subconjuntos.

12 12 Los subconjuntos de B = {2, 3, 7, 9} Seguiremos un patrón: PRIMERO: Comenzamos por el subconjunto vacío sin elementos Hay un subconjunto: { } SEGUNDO: identificamos los subconjuntos de un elemento Hay cuatro subconjuntos: { 2 }, { 3 }, { 7 }, { 9 } TERCERO: identificamos los subconjuntos de dos elementos Hay seis subconjuntos: { 2, 3 }, { 2, 7 }, { 2, 9 }, { 3, 7 }, { 3, 9 }, { 7, 9 } CUARTO: identificamos los subconjuntos de tres elementos Hay cuatro subconjuntos: { 2, 3, 7 }, { 2, 3, 9 }, { 2, 7, 9 }, { 3, 7, 9 } QUINTO: identificamos el subconjunto de cuatro elementos, todos los elementos de B. Hay un subconjunto de cuatro elementos: { 2, 3, 7, 9 }

13 13 Total de subconjuntos de B Si contamos todos los subconjuntos o sumamos cuántos hay de cero elementos, un elemento, dos elementos, tres elementos y cuatro elementos: Encontramos que B tendrá 16 subconjuntos, tal y como nos indica la fórmula. Veamos otra vez el proceso: Si B = {2, 3, 7, 9} entonces B = 4 y P (B) = 2 4 = 16

14 14 Para encontrar los subconjuntos Esto es sencillo cuando tenemos pocos elementos, pero puede llegar a ser complejo si tuviéramos muchos elementos. Una alternativa es utilizar el Triángulo de Pascal.

15 15 El Triángulo de Pascal Esta construcción sencilla nos permite identificar cuántos subconjuntos habrán por número de elementos. Compara la cuarta línea, con los valores 1, 4, 6, 4, 1 al total de subconjuntos de B en las diapositiva 11 y12. Imagen obtenida de:

16 16 Entendiendo el Triángulo de Pascal Línea 0 La primera línea se conoce como la línea 0, para un conjunto de 0 elementos. Esto es, el conjunto nulo o vacío sólo tiene un subconjunto, él mismo. Esto es 2 0 es igual a 1.** ** Ver diapositiva

17 17 Entendiendo el Triángulo de Pascal Línea 1 La segunda línea se conoce como la línea 1, para un conjunto de un elemento. Esto es, el conjunto con un elemento tiene dos subconjuntos, un conjunto vació y otro con un elemento. Si sumas 1 + 1, en total tendrás 2, o sea dos subconjuntos (2 1 ).

18 18 Entendiendo el Triángulo de Pascal Línea 2 La tercera línea se conoce como la línea 2, para un conjunto de dos elementos. Esto es, el conjunto con dos elementos tiene cuatro subconjuntos, uno vacío, dos con un elemento y otro con todos los elementos. Si sumas tendrás 4, o sea cuatro subconjuntos (2 2 ).

19 19 Para crear el Triángulo de Pascal Suma los dos elementos superiores para encontrar el de abajo, en forma triangular. En los extremos escribe un uno. Mira el ejemplo en la línea 3, para construir la línea 4.

20 20 Construyendo el Triángulo de Pascal Sigue le patrón presentado para construir las próximas líneas del Triángulo de Pascal, hasta llegar a la línea 9. Suma los elementos de la novena línea. Deberás obtener 512. Este sistema te permitirá saber cuántos subconjuntos de un 5 elementos tendrías, sin tener que identificarlos con los elementos. Puede ayudarte a confirmar si tienes todos los subconjuntos cuando te los solicitan.

21 21 Vídeos sobre el Triángulo de Pascal Los vídeos que aparecen a continuación te ayudarán a entender y construir el Triángulo. Dos de sus usos principales en matemáticas son: Expansión del Binomio en álgebra Combinaciones en estadísticas Determinar el número de subconjuntos (en nuestra clase) pascal triangle animation. (2007). Binomial Expressions & Pascal's Triangle (Part 1). (2010). =related

22 22 Otros ejercicios Ejercicio #1: Dado K = { 1, 2, 3, 5. 8 } Encuentra todos los subconjuntos de K. Confirma tu respuesta construyendo el Triángulo de Pascal hasta la línea 5. Ejercicio #2: Dado T = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 } Determina la cardinalidad del conjunto potencia ( cuántos subconjuntos tiene T?). Utiliza el Triángulo de Pascal para confirmar tu respuesta.

23 23 Qué significa la potencia 0? Muchas veces confundimos el significado de la potencia 0 con la multiplicación por cero. Estamos conscientes de que: x 0 pero aun así no estamos seguros si la solución debe ser cero. La solución correcta de cualquier número elevado a la cero es uno, incluyendo variables. 2 0 = 1 (-5) 0 = 1 x 0 = 1

24 24 Interpretación de la potencia cero Tal vez la manera más fácil de entender este concepto es trabajar con la simplificación de potencias. Así si tenemos el cociente (división) de 2 5 / 2 3 Sabemos que se cancelan los dos que se repiten al multiplicar o siguiendo la regla de álgebra, se restan los exponente y la solución debe ser 2 2 = 4.

25 25 Interpretación de la potencia cero Si la división fuera entre potencias iguales entonces, podríamos tener: 7 2 / 7 2 Al solucionar las potencias tenemos: 49/49 = 1 Si restamos los exponentes, siguiendo la regla de división de potencias, tendremos: = 7 0 Siendo el mismo ejercicio, las mismas potencias, entonces podemos concluir que: 7 0 = 1.