Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios

Transcripción

1 Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Polinomios Definición: P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de números reales que, en x, admite una representación de la forma : Donde: P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n a 1 x 1 +a 0 a n,a n 1,...,a 0 son números reales llamados coeficientes. n es un número natural {1,2,3,4,...}. Por ejemplo, son polinomios en x, las siguientes expresiones: P(x) = 5x 5 +x 4 3x 2 7. T(x) = 7x 6 4x 3 6x 2 x. Qué debo saber para realizar operaciones con polinomios? Operatoria con números reales(suma, resta, multiplicación y división). Reducción de términos semejantes. Factorización de expresiones algebraicas. Operatoria con polinomios Evaluar un polinomio Evaluar un polinomio P(x), consiste en determinar qué valor toma el polinomio cuando x se sustituye por un número real. Si al evaluar x en el polinomio da como resultado cero (P(x) = 0), se dice que x es una raíz o cero del polinomio. Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 1

2 Ejemplo Evaluar el polinomio P(x) = 3x 3 2x 2 +3 en x = 2 Sustituyendo x = 2 en P(x) tenemos : P( 2) = 3( 2) 3 2( 2) 2 +3 = = 29 Entonces, el valor que toma P(x), cuando x = 2 es 29 Suma de polinomios Consiste en sumar aquellos términos algebraicos que son semejantes, esto es, mismo exponente y mismo factor literal. Ejemplo Se tiene P(x) = 5x 3 +3x 2 +x+4 y Q(x) = x 2 +4x+1. Obtener P(x)+Q(x) P(x)+Q(x) = ( 5x 3 +3x 2 +x+4 ) + ( x 2 +4x+1 ) = 5x 3 +(3+1)x 2 +(1+4)x+(4+1) = 5x 3 +4x 2 +5x+5 Resta de polinomios Consiste en restar aquellos términos algebraicos que son semejantes, pero debemos considerar que si existe un signo negativo delante de un paréntesis, éste cambia el signo de los términos al interior. Ejemplo Sean los polinomios P(x) = 5x 4 3x 3 +4x 2 +2x+3 y Q(x) = x 3 +5x+7. Obtener P(x) Q(x) P(x) Q(x) = (5x 4 3x 3 +4x 2 +2x+3) (x 3 +5x+7) = 5x 4 3x 3 +4x 2 +2x+3 x 3 5x 7 = 5x 4 3x 3 x 3 +4x 2 +2x 5x+3 7 = 5x 4 4x 3 +4x 2 3x 4 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 2

3 Producto de polinomios El producto de dos polinomios se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en forma reiterada. En caso de ser necesario se deben reducir términos semejantes. Ejemplo Sean los polinomios P(x) = x 2 1 y Q(x) = x 3 +5x+7. Obtener P(x) Q(x) P(x) Q(x) = (x 2 1) (x 3 +5x+7) = x 2 x 3 +x 2 5x+x x 3 1 5x 1 7 = x 5 +5x 3 +7x 2 x 3 5x 7 = x 5 +4x 3 x 3 +7x 2 5x 7 División de polinomios En toda división de polinomios se verifica que : Dividendo = divisor cociente+resto. En polinomios, esto es: P(x) = Q(x) C(x)+R(x) Observaciones Importantes 1. Para realizar la división de P(x) con Q(x), el grado de Q(x)(mayor exponente de x ) debe ser menor o igual al grado de P(x). 2. Se debe tener en cuenta que cuando el grado del resto es inferior al del divisor, la división de polinomios se termina. Cuando se quiere expresar un polinomio en factores lineales, se emplea la Regla de Ruffini o División Sintética. Esta regla dice que un polinomio tiene por factor (x±α) si al reemplazar el valor x por α en el polinomio, el resultado es cero, P(α) = 0. Un polinomio (de grado n) factorizado linealmente se expresa de la siguiente manera: P(x) = a n (x α 1 )(x α 2 )... (x α n ) Donde α 1,α 1,...,α n, son raíces de P(x) y α n es el coeficiente enésimo. Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 3

4 Ejemplo Divida el polinomio P(x) = 5x+x 3 +2x 2 6 con Q(x) = x+1.usando la regla de Ruffini. Además exprese P(x) en tres factores lineales. En primer lugar, ordenamos (respecto de su grado) los polinomios en cuestión. P(x) = 5x+x 3 +2x 2 6 = x 3 +2x 2 5x 6 Identificamos los coeficientes del polinomio P(x), esto es: a 3 = 1; a 2 = 2; a 1 ; a 0 = 6 Se debe construir una tabla, donde se colocan los coeficientes del polinomio en primera fila. Luego, el primer término se debe mantener y multiplicar por el α = 1, dejando su resultado en la segunda fila debajo del segundo coeficiente (debajo de dos) y sumar estos números (2 + ( 1) = 1). Este proceso se repite hasta llegar a la última columna Si el resultado de última columna es cero, esto quiere decir que 1 es raíz de P(x). (α 1 = 1). Así, el polinomio P(x) queda expresado como P(x) = (x+1)(x 2 +x 6) Note que los coeficientes de (x 2 +x 6) son los mismos que aparecen en la última fila del cuadro De la expresión cuadrátic x 2 +x 6, obtenemos sus raíces α 2 = 2 y α 3 = 3 Finalmente P(x) queda expresado en tres factores lineales como : P(x) = (x+1)(x 2)(x+3) Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 4

5 Ejercicios Propuestos En los siguientes ejercicios propuestos, resuelva según sea el caso: 1. Factorice 3 4x+x 2 2. Factorice x 3 6x 2 +11x 6 3. Calcule (x 1)(x 2)(x 3) 4. Sea P(x) = x 2 +x 1 y Q(x) = 2x 3 x+1, calcule P(x)+Q(x) 5. Sea P(x) = x 2 +x 1 y Q(x) = 2x 3 x+1, calcule P(x) 3Q(x) 6. Realice la división entre P(x) = 6+11x 6x 2 +x 3 y Q(x) = x 4 7. Calcule el resto de la división entre x 2 3x 1 y x 2 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 5

6 8. Divida x 2 +2x+1 x 1 9. Sea P(x) = x 2 +x 1 y Q(x) = 2x 3 x+1 P(x) P(x)+2Q(x) 10. Sea P(x) = x 2 +x 1, evalúe Q(x) = P(x) P(x) en x = 2 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 6