Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba

Transcripción

1 Soluciones Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba Si no se dice otra cosa, no debe considerarse el efecto del roce con el aire. 1.- Un objeto de masa m cae libremente de cierta altura. En qué lugar de la trayectoria será máxima la energía: cinética, potencial y total?, y mínimas? La energía cinética es máxima en el momento de llegar al suelo, eso si la caída la hace sin tropiezos. La energía potencial es máxima en preciso instante antes de caer, si es que se considera como referencia el nivel del suelo. Si se escogiera otro nivel de referencia habría que examinar de nuevo la situación. La energía total mecánica, al no haber disipación de energía por efecto de roce, en todo momento tiene un mismo valor, que equivale a la suma de la energía cinética y potencial para un mismo instante o una misma posición. La energía cinética es mínima en el preciso instante antes de caer, debido a que en ese momento su velocidad es nula. La energía potencial es mínima en el momento de llegar al suelo (h = 0 m), si acaso se escoge el suelo como nivel de referencia. Si se escoge otro nivel de referencia, habría que examinar nuevamente esta respuesta. 2.- Se puede afirmar que la energía potencial de un cuerpo depende del sistema de referencia que se escoja, estableciendo un nivel para U = 0 J, se puede decir, también, que la energía cinética de un cuerpo depende del sistema de referencia que se escoja? Si es afirmativa su respuesta, dé un ejemplo que lo muestre claramente. Sí, también depende del sistema de referencia que se escoja. Un ejemplo. Supongamos que Antonio y María van en un automóvil que se desplaza a razón de 20 m/s, respecto al suelo, en una carretera. Esto lo observa otra persona, Juan, que está en reposo en la orilla de la carretera. Entonces, Juan estima que la energía cinética de Antonio la debe calcular con la velocidad que lleva el automóvil, debido a que él (Antonio) va moviéndose junto al vehículo, por lo tanto obtendrá cierto valor. Sin embargo, María observa a Antonio siempre a su lado, por lo tanto no lo verá moverse, ya que ambos van en el vehículo y, uno respecto al otro no se mueve, y tampoco respecto al vehículo, por lo tanto, para María, Antonio tiene una velocidad nula, y su energía cinética será nula. Si Antonio tuviera una masa de 70 kg. Energía cinética de Antonio respecto a Juan: K = (70 kg x (20 m/s) 2 / 2 = J Energía cinética de Antonio respecto a María: K = (70 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J Y ambos tienen razón, la diferencia de los resultados se debe a que usan diferentes sistemas de referencia. 3.- Si se considerara el efecto del roce con el aire, en la caída de un cuerpo. Cómo se comportaría la energía mecánica a medida que cae? Refiérela a cada tipo de energía. A medida que cae la energía potencial va disminuyendo hasta hacerse nula en el momento de llegar al suelo o donde caiga. En relación a la energía cinética. Como el roce con el aire hace que la velocidad disminuya, la velocidad que va adquiriendo es menor que la que tendría, en un mismo instante, si cayera en caída libre (en este caso su velocidad no se vería afectada). El roce hace que la aceleración con que cae el objeto no sea exactamente la aceleración 1

2 de gravedad. Bueno, si bien es cierto la energía cinética del objeto aumenta a medida que cae, debido al aumento de velocidad, no aumenta en la misma medida que si cayera libremente, por lo que hay una perdida de energía cinética. Esa pérdida de energía cinética en realidad es una transformación, hay una transformación a energía térmica. Tanto el objeto como el ambiente aumentan su temperatura, aunque probablemente sea difícil detectar ese aumento. La energía total, entonces, también se ve disminuida, ya que en cada instante corresponde a la suma de las energías cinética y potencial. Y como la cinética va perdiendo algo a medida que cae (en realidad va transformándola a energía térmica), entonces la total también disminuye en la misma cantidad. Hay que considerar incluso que podría ocurrir que por efecto del roce, o fricción, con el aire, el objeto alcance un momento en que su velocidad con que sigue cayendo es uniforme, ya no aumenta más. Esto ocurre cuando la fuerza de roce que afecta al objeto se equipara con su peso. En este caso, a partir del momento en que ocurre eso, la energía cinética ya no disminuiría más. 4.- Si se deja caer una pelota desde cierta altura. Entonces ocurrirá que empezará a dar botes en el lugar que caiga y poco a poco irá alcanzando menos altura y finalmente se detendrá. Qué ocurre con la energía mecánica de la pelota en este caso? Parte de la energía cinética, a medida que el objeto cae y/o sube, irá transformándose en energía térmica. Y, además, cada vez que impacta en el suelo parte de su energía mecánica es transferida a la Tierra. Este proceso poco a poco irá provocando una disminución de la energía mecánica de la pelota hasta que al final quedará en reposo sobre el lugar donde está dando botes. La pelota, y cualquier otro objeto, no es un cuerpo perfectamente elástico, por lo tanto es imposible que no pierda energía al colisionar con el suelo. 5.- Un globo aerostático está ascendiendo con cierta velocidad. Si mientras sube se suelta un objeto y este cae. En qué lugar de la trayectoria, respecto al suelo, la energía potencial del objeto será máxima?, cuál es esa energía? Al momento de empezar a caer el objeto, éste tiene la altura en que se encuentra el globo, pero como el globo está ascendiendo, el objeto también está ascendiendo. Por lo tanto el objeto alcanzará una altura superior a aquella en que se encontraba al momento de ser soltada del globo, entonces la energía potencial máxima la tendrá en esa altura que alcance antes de empezar a caer. En cuánto a la energía potencial que tendría en ese lugar, tendríamos lo siguiente: v Altura al momento de soltarse del globo Lugar donde tendrá la energía potencial máxima Altura que alcanza antes de empezar a caer Desde la posición inicial del objeto trayectoria sube una distancia y, que se puede obtener de v 2 f = v 2 i + 2gy, y como v f es 0 m/s en la parte más alta del recorrido, se tendrá que y = - v 2 i /2g (con g = - 9,8 m/s 2 ). Y, desde el suelo, la altura máxima que alcanzará el objeto será: H = h + y 2

3 H = h v i 2 /2g Por lo tanto, la energía potencial, en la parte más alta de la trayectoria del objeto, es: U = mgh U = mg(h v i 2 /2g) 6.- Desde lo alto de un puente, que tiene 8 metros hasta el agua que circula bajo él, se deja caer una piedra de 2 kg. Determine la energía potencial, cinética y total: a) antes de que la piedra caiga, b) al momento de impactar en el agua, c) cuándo aún le faltan 3 m por llegar al agua. m = 2 kg a) h a = 8 m; v a = 0 m/s U a = mgh a = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 8 m = 156,8 J K a = mv 2 /2 = 2 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J E a = K a + U a = 0 J + 156,8 J = 156, 8 J b) h b = 0 m; v b =?; y b = 8 m Para determinar la velocidad que tiene la piedra al momento de impactar en el agua, hay que considerar que cae en caída libre, por lo tanto, con la ecuación de caída libre v f 2 = 2gy (con y como el camino recorrido en la caída), y considerando v b = v f en este tramo, se tendrá: v b 2 = 2 x 9,8 m/s 2 x 8 m = 156,8 m 2 /s 2 (no se extraerá la raíz ya que se necesita la velocidad al cuadrado y eso fue lo que se calculó). U b = mgh b = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J K b = mv b 2 /2 = 2 kg x 156,8 m 2 /s 2 / 2 = 156,8 J E b = K b + U b = 156,8 J + 0 J = 156,8 J Nota, sabiendo que la energía mecánica se conserva, podríamos haber usado la relación E b = E a para haber calculado la energía cinética, sin necesidad de haber calculado la velocidad al momento de llegar al suelo. E b = E a K b + U b = 156,8 J K b = 156,8 J U b = 156,8 J 0 J = 156,8 J c) h c = 3 m; v c =?, y c = 5 m v c 2 = 2gy c = 2 x 9,8 m/s 2 x 5 m = 98 m 2 /s 2 U c = mgh c = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 3 m = 58,8 J K c = mv c 2 /2 = 2 kg x 98 m 2 /s 2 / 2 = 98 J E c = K c + U c = 98 J + 58,8 J = 156,8 J 7.- Un globo aerostático está en reposo a una altura de 120 m del suelo. Un pasajero del globo deja caer un saco con arena, que sirve de contrapeso, de 20 kg. Determine la energía cinética, potencial y total del saco, cuando: a) aún no cae, b) está llegando al suelo, c) le faltan 40 m por llegar al suelo, d) lleva una rapidez de 20 m/s. m = 20 kg a) h a = 120 m; v a = 0 m/s U a = mgh a = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 120 m = J K a = mv 2 /2 = 2 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J E a = K a + U a = 0 J J = J 3

4 b) h b = 0 m; v b =?; y b = 120 m v b 2 = 2 x 9,8 m/s 2 x 120 m = m 2 /s 2 U b = mgh b = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J K b = mv b 2 /2 = 20 kg x m 2 /s 2 / 2 = J E b = K b + U b = J + 0 J = J c) h c = 40 m; v c =?, y c = 80 m v c 2 = 2gy c = 2 x 9,8 m/s 2 x 80 m = m 2 /s 2 U c = mgh c = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 40 m = J K c = mv c 2 /2 = 20 kg x m 2 /s 2 / 2 = J E c = K c + U c = J J = J d) h d =?; v d = 20 m/s; y d =? v c 2 = 2gy d y d = v c 2 /2g = (20 m/s) 2 / (2 x 9,8 m/s 2 ) = 20,4 m h d + y d = 120 m h d = 120 m 20,4 m = 99,6 m (se aproximó) U d = mgh d = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 99,6 m = J = J K d = mv 2 d /2 = 20 kg x (20 m/s) 2 / 2 = J E d = K d + U d = J J = J (se aproxima) 8.- Un jugador de fútbol patéa una pelota, de 400 g de masa, y la arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad de 16 m/s. Determine, con conceptos de energía mecánica, la altura que alcanza. m = 0,4 kg v i = v ab = 16 m/s hacia arriba h abajo = h ab = 0 m h arriba = h ar =? En la parte más alta, la velocidad es v f = v ar = 0 m/s Entonces, como hay conservación de la energía mecánica: E arriba = E abajo K ar + U ar = K ab + U ab mv 2 ar /2 + mgh ar = mv 2 ab /2 + mgh ab considerando que v ar = 0 m/s y que h ab = 0 m mgh ar = mv 2 ab /2 h ar = v 2 ab /2g h ar = (16 m/s) 2 / (2 x 9,8 m/s 2 ) h arriba = 13,06 m Entonces, la pelota alcanza una altura de 13,06 m. 9.- Un arquero lanza, desde el reposo, verticalmente hacia arriba una flecha de 50 g. Si la flecha alcanza una altura de 50 m. Determine la energía cinética con que fue lanzada. Es similar al problema anterior, en cuanto al razonamiento. m = 0,05 kg h ar = 50 m v ar = 0 m/s h ab = 0 m 4

5 E arriba = E abajo K ar + U ar = K ab + U ab mv ar 2 /2 + mgh ar = K ab + mgh ab mgh ar = K ab K ab = 0,05 kg x 9,8 m/s 2 x 50 m = 24,5 J Entonces, la flecha es lanzada con una energía cinética de 24,5 J Una persona se ducha y sin darse cuenta deja goteando el grifo que está a 2 m de altura. Caen gotas a intervalos de 0,16 s. Si cada gota tiene una masa 0,02 g, determinar la energía cinética de cada gota que cae, en el momento que la primera en caer está llegando al suelo. Solución: Debemos conocer cuántas gotas salen del grifo, y qué rapidez tiene cada una, en el momento que la primera está llegando al suelo. Primero se determinará el tiempo que tarda la primera gota en llegar al suelo, con ello se puede saber cuántas gotas salen del grifo en ese tiempo. y = 2 m 2y 2x2m y = gt 2 /2 t = = = 0,64s (el tiempo está aproximado) g m 9,8 2 s Como cada gota cae en un intervalo de 0,16 s con la anterior, se tiene que han caído 0,64 s / 0,16 s = 4 gotas. Y, ordenándolas a medida que van saliendo del grifo, se tendrá: Primera gota: t 1 = 0,64 s Segunda gota: t 2 = t 1 0,16 s = 0,64 0,16 s = 0,48 s Tercera gota: t 3 = t 2 0,16 s = 0,48 s 0,16 s = 0,32 s Cuarta gota: t 4 = t 3 0,16 s = 0,32 s 0,16 s = 0,16 s La quinta gota saldría tendría un tiempo de caída de t 4 0,16 s = 0,16 s 0,16 s = 0 s, es decir, aún no sale del grifo, está en el instante previo a la caída. Como cada gota cae libremente, su velocidad se calcula con la expresión v f = gt y la energía cinética con K = mv f 2 /2, además se usa m = 0,00002 kg El cuadro siguiente muestra las respuestas finales al problema: Gota t (s) v (m/s) K (J) Primera 0,64 6,272 3,93x10-4 Segunda 0,48 4,704 2,21x10-4 Tercera 0,32 3,136 0,98x10-4 Cuarta 0,16 1,568 0,25x10-4 Quinta Una pelota saltarina, de 1 kg se suelta desde 2 m de altura y cae en una superficie plana y lisa. En el rebote con la superficie disipa el 10% de su energía mecánica, y así ocurre en los demás botes que da. Determine a qué altura llega la pelota luego del cuarto rebote. Solución: 5

6 m = 1 kg h = 2 m Inicialmente tiene una energía potencial que es U i = mgh. Al llegar abajo, al suelo, su energía potencial es 0 J, y toda su energía potencial que tenía antes de caer se ha convertido en energía cinética, por lo tanto, si no hay pérdida de energía inicia el movimiento luego del rebote con la energía con que llega al suelo, es decir, con U i. Pero, como en este caso la energía total sufre una disminución del 10% en cada bote, el movimiento de subida, luego de cada bote, lo empieza con una energía que equivale al 90% de la energía con que empezó a caer en forma previa. En el primer rebote disminuye su energía en un 10%, por lo tanto queda con el 90% (0,9) de la inicial, es decir, queda con U 1 = 0,9U i. Al dar el segundo bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda con el 90% (0,9) de la anterior, es decir, queda con U 2 = 0,9U 1 = 0,9 x 0,9 U i = 0,81 U i. Al dar el tercer bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda con el 90% (0,9) de la anterior, es decir, queda con U 3 = 0,9U 2 = 0,9 x 0,81 U i = 0,729 U i. Y, al dar el cuarto bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda con el 90% (0,9) de la anterior, es decir, queda con U 4 = 0,9U 3 = 0,9 x 0,729 U i = 0,6561 U i. Entonces, al empezar a subir luego del cuarto bote, tiene una energía cinética que equivale a 0,6561 U i. Por lo tanto, la energía potencial que alcanza después del cuarto bote, sería: U = 0,6561 U i mgh 6 = 0,6561 mgh i h 6 = 0,6561 h i h 6 = 0,6561 x 2 m h 6 = 1,3122 m Otro procedimiento con que podría resolverse el problema sería ir determinando bote a bote la altura que alcanza, cuidando que cada vez que rebota, la pelota inicia el movimiento de subida con el 90% de la energía con que había llegado al suelo Un durazno tiene frutos que en promedio tienen masas de 150 g. Debido a que uno de ellos estaba muy maduro, cae hasta el suelo situado a 1,8 m. Determine la energía cinética al momento de llegar al suelo. m = 0,15 kg h = 1,8 m Recordemos que en la parte más alta la velocidad de los duraznos, antes de caer, es nula, por lo tanto, en la parte más alta la energía total del durazno es: E ar = K ar + U ar = U ar, y al llegar al suelo, la altura es nula y la velocidad es máxima, entonces la energía total al llegar al suelo, es: E ab = K ab + U ab = K ab. Entonces: E ab = E ar K ab = U ar K ab = mgh K ab = 0,15 x 9,8 m/s 2 x 1,8 m K ab = 2,646 J 13.- Un niño está jugando al famoso juego de la payaya y lanza, desde el suelo, hacia arriba una pequeña piedra de 5 g de masa. La piedra alcanza una altura de 30 cm sobre el suelo. Determine la energía cinética, potencial y total que tiene la piedra: a) al momento de ser arrojada, b) al llegar a la parte más alta. 6

7 m = 0,005 kg a) h a = 0 m; v a =? Si la piedra alcanza una altura de 0,3 m, entonces se puede determinar la rapidez con que fue lanzada con la ecuación: v f 2 = v i 2 + 2gy, donde v f = 0 m/s, por llegar a la parte más alta. Entonces, v i 2 = v a 2 = - 2gy = - 2 x (- 9,8 m/s 2 ) x 0,3 m = 5,88 m 2 /s 2 (se ha considerado negativa la aceleración de gravedad debido a que desacelera la velocidad de la piedra). Ya que se ha determinado v i 2 no se extraerá raíz ya que precisamente se usará ese valor para determinar la energía cinética. U a = mgh a = 0,005 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J K a = mv a 2 /2 = 0,005 kg x 5,88 m 2 /s 2 / 2 = 0,0147 J E a = K a + U a = 0,0147 J + 0 J = 0,0147 J b) h b = 0,3 m; v b = 0 m/s U b = 0,005 kg x 9,8 m/s 2 x 0,3 m = 0,0147 J K b = mv b 2 /2 = 0,005 kg x 0 m 2 /s 2 / 2 = 0 J E b = K b + U b = 0 J + 0,0147 J = 0,0147 J 14.- Un mono, de unos 10 kg de masa, se deja caer de una rama situada a cierta altura. Si llega al suelo con una energía cinética de 720 J. Determine: a) la velocidad con que llega al suelo, b) la altura desde la que cae. m = 10 kg K = 720 J a) v =? Abajo, en el suelo, la altura es 0 m, por lo tanto su energía es solo energía cinética (respecto al suelo), por lo tanto: a) h =? K = mv 2 /2 = 720 J 2K 2x720J m v = = = 12 m 10kg s En la altura máxima la velocidad es cero, por lo tanto, toda su energía es potencial, entonces: U = 720 J mgh = 720 J h = 720 J / mg = 720 J / (10 kg x 9,8 m/s 2 ) = 7,35 m 15.- Un objeto de 2 kg cae desde cierta altura y tarda 4 s en llegar al suelo. Determine la energía cinética, potencial y total en cada segundo de caída (desde 0 a 4 s). m = 2 kg 7

8 Primero se determina la velocidad que tiene al llegar al suelo, a los 4 s, en ese lugar la energía potencial es nula, debido a que ahí h = 0 m, entonces, la energía total, en todo momento, es equivalente a la energía cinética al llegar al suelo. La velocidad en cada instante se determina con v f = gt y la energía potencial se determina con U = E K. El siguiente cuadro muestra los resultados. t (s) v (m/s) K (J) U (J) E (J) 4 39, , , ,4 864,36 671, , ,8 392, ,64 1 9,8 96, , , , Un joven lanza, verticalmente hacia arriba, una pelota de tenis, de 60 g. Si la pelota tarda 4 s en retornar al punto de partida. Determine la energía cinética, potencial y total al momento: a) de ser lanzada, b) de llegar al punto más alto. m = 0,06 kg El tiempo de subida y bajada es 4 s, por lo tanto, el tiempo en subir es solo 2 s. Hay que recordar que el tiempo que tarda un objeto en subir es el mismo tiempo que tarda en bajar, considerando que hay ausencia de roce. Por lo tanto, la velocidad con que es lanzada la pelota la podemos determinar con la ecuación v f = v i + gt, con v f = 0 m/s y g = - 9,8 m/s 2. a) h a = 0 m; v i =? v i = v f gt = 0 m/s (-9,8 m/s 2 ) x 2 s = 19,6 m/s U a = mgh a = 0,06 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J K a = mv i 2 /2 = 0,06 kg x (19,6 m/s) 2 / 2 = 11,525 J E a = K a + U a = 11,525 J + 0 J = 11,525 J b) h b =? v f = 0 m/s La altura máxima se puede calcular con la ecuación v f 2 = v i 2 + 2gy, con v f = 0 m/s, g = - 9,8 m/s 2. Con h b = y. y = (v f 2 v i 2 )/2g = (0 m 2 /s 2 (19,6 m/s) 2 ) / (2 x ( 9,8 m/s 2 )) = 19,6 m U b = mgh b = 0,06 kg x 9,8 m/s 2 x 19,6 m = 11,525 J K b = mv b 2 /2 = 0,06 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J E b = K b + U b = 0 J + 11,525 J = 11,525 J 17.- Un niño de 40 kg, de 1,2 m de altura, está en el tercer piso de un edificio. Si cada piso tiene 3 m de altura. Determine la energía potencial del niño respecto al suelo del: a) primer piso, b) segundo piso, c) tercer piso, d) cuarto piso. m = 40 kg a) Nótese que cuando el niño está en el piso del tercer piso, está parado a 6 m de altura. En estricto rigor deberíamos considerar la altura desde el piso del primer piso hasta el centro de gravedad del niño, y si suponemos que su centro de gravedad está a la mitad de su altura, a 0,6 m arriba desde donde está parado, entonces, hay que fijarse en ese detalle a la hora de determinar la altura respecto al nivel de referencia que se escoja. h 1 = 6,6 m 8

9 U 1 = mgh 1 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 6,6 m = 2.587,2 J b) h 2 = 3,6 m U 2 = mgh 2 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 3,6 m = 1.411,2 J c) h 3 = 0,6 m U 3 = mgh 3 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 0,6 m = 235,2 J d) h 4 = - 2,4 m U 4 = mgh 4 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 2,4 m = - 940,8 J 18.- Un globo asciende a una velocidad constante de 5 m/s. En un momento que se encuentra a 100 m de altura, respecto al suelo, se deja caer, desde el globo, un objeto de 5 kg. Determine: a) la energía potencial máxima que adquiere el objeto, respecto al suelo, b) la energía cinética que tiene el objeto al llegar al suelo. v i = 5 m/s h i = 100 m m = 5 kg Aquí hay que considerar que el objeto al momento de ser soltado se mueve hacia arriba con el globo, por lo tanto seguirá subiendo hasta que su velocidad llegue a 0 m/s, luego caerá libremente. Entonces, primero se determina a qué altura llega, respecto a la posición inicial del globo, con la ecuación v f 2 = v i 2 + 2gy y = (v f 2 v i 2 )/2g = (0 m 2 /s 2 (5 m/s) 2 ) / (2 x ( 9,8 m/s 2 )) = 1,28 m Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el objeto, respecto al suelo, es h = 100 m + y h = ,28 m = 101,28 m a) U = mgh = 5 kg x 9,8 m/s 2 x 101,28 m = 4.962,72 J b) La energía cinética al llegar al suelo, ha de ser la misma potencial que tenía en la altura máxima. Pero, si se determina la velocidad con que llega al suelo, se tendrá: v f 2 = 2gy = 2 x 9,8 m/s 2 x 101,28 m = 1.985,088 m 2 /s 2 K = mv 2 /2 = 5 kg x 1.985,088 m 2 /s 2 / 2 = 4.962,72 J Que es, como se esperaba, la misma potencial en la altura máxima. 9