UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES.

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1 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles UNIDAD. LOS NÚMEROS RACIONALES. Unidad : Los números racionales Al final deberás haber aprendido... Usar y operar con fracciones positivas y negativas. Representar en la recta numérica fracciones positivas y negativas. Comparar y ordenar fracciones. Realizar operaciones combinadas con fracciones. Resolver problemas de la vida diaria en los que intervengan fracciones. El examen tratará sobre... Aplicar las fracciones para resolver situaciones de la vida cotidiana. Operar con fracciones con números positivos y negativos. Representar fracciones en la recta numérica y ordenarlas. Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas en diferentes contextos. Pasar de fracción a decimal y viceversa. - Unidad. Página / -

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3 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles Supongámonos que nos encontramos en el cumpleaños de Matilde, una amiga nuestra. Ha organizado una merienda para celebrarlo, para la que su madre ha hecho tres tartas diferentes, una de galletas, otra de chocolate y otra de manzana. Todas tienen el mismo tamaño porque ha utilizado el mismo molde. En la merienda también hay botellas de litro de batidos de distintos sabores: vainilla, fresa y chocolate. Además hay galletas de coco. Como es natural, podemos comer algunas galletas (por ejemplo ), pero tenemos que comérnoslas completas; está feo darle un bocado a una y dejar el resto de la galleta. Pero no podremos comernos ninguna tarta entera; sí que podremos probar de las tres tartas, pero cortando alguna porción de cada una; de la misma manera también podremos tomar algunos vasos de batidos, pero no un litro completo. Como puedes observar hay cosas en las que sí es posible utilizar los números enteros que ya conocemos (como en el caso de las galletas), pero existen otros en los que este tipo de números no son los adecuados, ya que las unidades completas son muy grandes. Es preciso tener otro tipo de números para representar porciones, trozos de una parte completa, etc. Estos números son las fracciones, de las que trata esta unidad. Fracción.- Cuando las cosas son tan grandes que para manejarlas, utilizarlas, etc. nos interesa una parte, utilizamos las fracciones, que ya has utilizado en cursos anteriores. Una cosa importante que hay que tener en cuenta es que una fracción es una única cantidad, aunque para expresarla se utilizan dos números. El denominador (abajo) indica los trozos en los que partimos cada unidad (cada una de las tartas, por ejemplo, o en la cantidad de vasos que repartimos cada litro de batido); el numerador (arrib indica la cantidad de esos trozos que utilizamos (en nuestro ejemplo representaría la cantidad de trozos de tarta que nos comemos o la cantidad de vasos de batido que tomamos). Por ejemplo, si hemos tomado dos trozos de tarta y cada una de las tartas se había partido en trozos iguales lo representaríamos con la fracción: Hemos comido Una fracción, a efectos prácticos a la hora de hacer operaciones, también es un conjunto de dos operaciones: el numerador multiplica y el denominador divide. - Unidad. Página / -

4 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles.- Cuántas porciones amarillas hay en cada uno de los siguientes rectángulos? Qué fracción representa la parte azul en cada uno?.- Representa mediante rectángulos las fracciones: 6 6 Fracción de una cantidad.- Supongamos que estamos en una tienda de comestibles y alguien pide que le sirvan los / de un queso que pesa,70 kg. Cuánto pesará el trozo que le darán?. Qué tendrá que hacer el tendero para no tener que partir el queso en ocho partes iguales para darle tres de esos trozos. Esto no le es rentable, ya que el resto del queso se queda troceado. Nos encontramos aquí con un problema en el que se nos pide que calculemos la fracción de una cantidad conocida. El tendero no tiene que preocuparse, ya que aprenderemos cómo hacerlo sin necesidad de trocear el queso, tan solo haciendo unas operaciones. Calcular la fracción de una cantidad es igual que dividir esa cantidad en tantas partes iguales como indica el denominador y tomar tantas partes de las que nos han dado como indica el numerador. Es decir, se divide la cantidad por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador o, viceversa, se multiplica primero por el numerador y se divide el resultado por el denominador. Ejemplo: Para calcular los / de,70 kg se hace así: de,70=,70 =,0 =,0kg Pero ten cuidado: Hay ejercicios en los que no se pide que calcules la fracción de una cantidad conocida, sino, al contrario, lo que se conoce es el resultado de haber calculado la fracción de una cantidad pero no se sabe cuál era dicha cantidad. En estos casos se hace multiplicando la cantidad que representa la porción por el denominador y el resultado se divide por el numerador. Veamos un ejemplo: Patricio se ha gastado / de sus ahorros en un viaje a París. Si el viaje le ha salido por 900, cuánto dinero tenía ahorrado? 900 de?=900 ; entonces.?= =00 De la misma manera se puede calcular la fracción de otra fracción. Entonces se hará multiplicando ambas fracciones tal y como se explicará un poco más adelante. - Unidad. Página / -

5 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles.- Calcula: de de de e) de 00 f) 7 de 7 de 0.- Cuántos gramos son? de kilo de kilo de kilo de kilo.- Qué fracción de kilo son? 0 gramos 00 gramos 00 gramos 0 gramos 6.- Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 700 millas. Cuántas millas le faltan todavía por recorrer? 7.- Marina ha acertado preguntas de un test. Cuál era el número total de preguntas si los aciertos suponen los 7/ del total?.- Tres cuartas partes de un metro de cinta cuestan,0. Cuánto cuestan dos metros y medio? 9.- Ernesto ha recorrido en su paseo las dos quintas partes del camino, que en total tiene una longitud de km. Cuánto le falta para llegar al final? 0.- Un tren ha recorrido ya tres quintos de su itinerario. Si aún le faltan km hasta el final, cuál es la longitud total del recorrido? Fracciones equivalentes.- Qué vale más euros o 00 céntimos de euro?. Piensa un poco antes de contestar! Efectivamente son cantidades que tienen el mismo valor, son equivalentes; la única diferencia está en que de una manera hay menos monedas, pero de más valor, mientras que de la otra hay más monedas, pero de menor valor. Podemos escribir entonces: euros = 00 céntimos de euro Fíjate ahora en los dibujos siguientes: Representan a dos tabletas iguales de chocolate que se encuentran divididas de distintas maneras. La primera se ha dividido en 6 trozos, mientras que la segunda se ha dividido en. - Unidad. Página / -

6 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles En la primera están cuadriculados dos de los seis trozos, que son los que se ha comido, por ejemplo, Ángel; mientras que en la segunda son los cuadriculados de los que tenía la tableta, que son los que se ha comido Esther. Cuál de los dos ha comido más cantidad de chocolate? Fíjate bien y observarás que los /6 que se ha comido Ángel es la misma cantidad que los / que ha cogido Esther. De la misma que teníamos en el caso anterior, podemos decir que ambas cantidades son equivalentes, es decir, que tienen el mismo valor, lo que representamos así: 6 = Resumiendo, fracciones equivalentes son varias fracciones que, aún teniendo diferentes números, representan la misma cantidad. Por ejemplo, si una unidad la troceamos en partes y tomamos es igual que si la troceamos en 6 porciones y tomamos 6. Esto se escribiría así: = 6 Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplican los numeradores y denominadores en cruz; si dan el mismo resultado, sí son equivalentes. En cambio, si el producto del primer numerador por el segundo denominador es mayor que el del segundo numerador por el primer denominador, la primera fracción es mayor que la segunda. Ejemplos: Serán equivalentes y 0? x 0 = 0; x = 0. Como los dos resultados son iguales, Comprobar si son equivalentes y 6 = 0 x 6 = ; x = 0. Como el segundo resultado es mayor, 6 Pero no te vayas a creer que para que sean equivalentes siempre tienen que ser los dobles de la otra fracción. Veamos otro ejemplo: Comprobar si son equivalentes o no las siguientes fracciones x = 0; 6 x = 0. Sí son equivalentes. 6 y.- Comprueba si son equivalentes: 0 y y 6 9 y 7 y Calcula el término que falta: = x = 7 x x = 0 x 6 = 7 - Unidad. Página 6/ -

7 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles e) 6 = x 9 f) 0 = 6 x x = 6 9 h) x =7 7.- Escribe tres fracciones equivalentes, pero con números más grandes, a: Escribe una fracción equivalente, pero con números más pequeños, a: Escribe: Una fracción equivalente a / que tenga por numerador 0 Una fracción equivalente a /0 que tenga por denomindor 0. Una fracción equivalente a /0 que tenga 6 por numerador. Ya sabemos cuando dos fracciones son equivalentes y cuando una es mayor que otra, pero si tenemos varias fracciones, no sólo dos, para ordenarlas según su valor no es necesario comprobarlas por parejas. Hay otra forma más fácil. Para ordenar varias fracciones es mejor reducir a un mismo denominador todas ellas. Esto se consigue multiplicando los dos términos de cada una de ellas por todos los denominadores de las demás fracciones. Entonces se ordenan según sus numeradores. Ejemplo: Ordenar las siguientes fracciones:, 6 y 7. = =6 0 ; 6 = = 0 0 ; 7 = = 60 0 Ya tenemos todos los denominadores iguales, pues entonces tan sólo tendremos que comparar los numeradores Por tanto: Ordena de menor a mayor:, 6 y 7 0,, 9 0 y 0 e),, y 6,, 7 0 y, y 7 0 f), 6, y 7 De todos los ejercicios anteriores hemos podido aprender que para obtener fracciones equivalentes a una dada se multiplican o dividen el numerador y el denominador por una misma cantidad. Si lo que hacemos es multiplicar ambos números por una misma cantidad obtendremos una fracción equivalente, pero con números más grandes; mientras que si lo que hacemos es dividirlos por una misma cantidad, - Unidad. Página 7/ -

8 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles obtendremos una fracción con números más sencillos, es decir, una fracción más simple, por eso simplificar una fracción es buscar otra equivalente pero que sus términos sean más pequeños. La fracción que no se pueda simplificar más recibe el nombre de fracción irreducible. Esto es muy interesante a la hora de hacer ejercicios y en la vida real, ya que es más fácil hacer operaciones con números más sencillos (imagínate que viene un gracioso a nuestra supuesta tienda de comestibles y nos pide que le demos los del queso del que habíamos tratado en un ejemplo anterior; si no sabemos simplificar tendríamos que partir el queso en 00 trocitos para darle, cosa que no nos vendría nada bien) La forma de buscar la fracción irreducible de una dada es ir dividiendo el numerador y el denominador por la misma cantidad hasta que no haya ningún número que pueda dividir a los dos. Pero la forma más rápida de hacerlo es dividiendo los dos términos por su M.C.D.. Recuerda que para calcular el M.C.D. de dos o más cantidades se descomponen en sus factores primos y se cogen sólo los comunes elevados al menor exponente. Veamos un ejemplo: Obtener la fracción irreducible de. Se busca primero el MCD (,) y después dividiremos el numerador y el denominador por ese MCD = = MCD (,) = = 6 Habrá que dividir por 6 :6 = :6 = es la fracción irreducible 7.- Simplifica: e) f) Obtén en cada caso la fracción irreducible mediante el MCD: 0 6 e) 0 0 f) 7 00 i) 0 j) k) h) l) Aprenderemos ahora a hacer operaciones con fracciones. - Unidad. Página / -

9 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles Suma (o rest de fracciones.- Hay que distinguir dos casos: Si tienen igual denominador y si los tienen diferentes. Si las fracciones tienen el mismo denominador es muy fácil. Piénsalo. Si, por ejemplo en el cumpleaños de Matilde, Juan ha comido / (recuerda que eso significa trozo de los en los que estaba partida cada una de las tartas); Ana ha comido /, y Pedro, /. Cuánto han comido entre los tres? Si Juan ha comido trozo de los, Ana trozos y Pedro, entre los tres han comido 6 trozos de los que había. Todo esto escrito en forma de fracciones sería así: = 6 En resumen: Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador se suman (o restan) sus numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplos: =. = Si tienen distinto denominador hay que hacerles una transformación. Hay que tratar de buscar otras fracciones que sean equivalentes a las dadas pero que tengan el mismo denominador, ya que así sí sabemos sumarlas (o restarlas). Esto se llama reducir a común denominador. La mejor manera de hacerlo es buscar el m.c.m. de los denominadores y multiplicar los términos de cada fracción por la cantidad que resulte de dividir el m.c.m. por el denominador. Así conseguiremos que las fracciones tengan el mismo denominador y entonces se hará la operación como ya sabemos. Veamos todo el proceso con un ejemplo. Recuerda que para calcular el m.c.m. se descomponen en sus factores primos y se cogen los comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: Para calcular 0 se hace así: En primer lugar habrá que buscar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Después se dividirá cada uno de ellos por ese mcm y se multiplicará el numerador por el resultado que vaya dando. 0 0= = m.c.m. (0,)= =0 En la ª fracción habrá que multiplicar sus términos por 0:0= En la ª fracción habrá que multiplicar sus términos por 0:= Tendremos entonces los siguientes valores: 0 = 0 = 0 ; = = 0 Con esto tenemos dos fracciones equivalentes a las anteriores pero con igual denominador. Y ya sabemos sumarlas (o restarlas)! 0 0 = 0 Ahora tan solo queda simplificar la fracción obtenida. Recuerda que para ello hay que buscar el M.C.D. del numerador y del denominador y dividir ambos por él. Sería así: - Unidad. Página 9/ -

10 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles 0 = 0= MCD(,0)= De forma resumida, todo el proceso sería así: 0 = 0 = 0 0 = 0 = : 0: = 0 = : 0: = En conclusión: Para sumar o restar fracciones con distintos denominadores se reducen a común denominador y se suman o restan después los numeradores, dejando el mismo denominador común. 9.- Opera: Calcula: e) 6 f) 6 6 h).- Calcula y simplifica: e) 7 9 f) Calcula y simplifica (recuerda que puedes hacerlo de dos formas: quitando paréntesis o resolviéndolos antes): e) f) 6 [ ] h) [ ] [ ] i) [ ] [ ] [ 6 ] - Unidad. Página 0/ -

11 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles Producto de fracciones.- Para calcular el producto de dos fracciones se multiplican los numeradores de ambas fracciones y el resultado se pone como numerador y se multiplican los denominadores y se pone como denominador. Ejemplo: 7 = 7 = Repasa ahora el punto titulado Fracción de una fracción que estaba al principio de esta unidad y que dejamos un poco en el aire. Ya sabes como se multiplican fracciones! División de fracciones.- Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda; o, lo que es lo mismo, se multiplican los numeradores y denominadores en cruz. Ejemplo: : 7 = 7 = 7 = ; o mejor directamente: : 7 = 7 =.- Calcula y simplifica: 9 e) f) 7 7 j) 9 h) 0 6 k) 9 i) l) 7.- Opera y simplifica: 0 : : : e) : 0 7 : 0 h) 7 : j) : k) 9 : 7 m) : n) : 9 f) i) : : 9 6 : 6 l) 6 : ñ) : Potencia de una fracción.- Para hacer estas operaciones hay que recordar que una potencia es una multiplicación de una misma cantidad (en este caso, una fracción) un número determinado de veces. Por tanto se resuelven como las multiplicaciones, dando que la potencia de una fracción es igual que la potencia del numerador partida por la potencia del denominador. - Unidad. Página / -

12 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles Ejemplo: = = = = Pero en la mayoría de los casos este tipo de operaciones tan sólo se utiliza para simplificar la escritura, no para calcular el resultado final. En el ejemplo anterior se podría quedar así: = = = O más resumidamente: = Resumiendo: La potencia de una fracción es igual a la fracción de las potencias de su numerador y su denominador..- Calcula: Operaciones combinadas con fracciones.- En la unidad de los Números Enteros estudiamos qué había que hacer cuando nos encontramos una operación en la que hay sumas, restas, multiplicaciones, etc.. Ahora con este tipo de números se hace de la misma manera, siguiendo un orden que habíamos resumido en un podium, pero como ahora tenemos más tipos de operaciones, el podium hay que ampliarlo. En primer lugar se resuelven los paréntesis, después las potencias, después los productos y las divisiones y por último las sumas y restas. Para recordarlo te puede servir este podium, más completo que el que vimos en las operaciones con enteros: Pot. y raices ( ) [ ] X : + - Ejemplo (es un poco lioso, pero fijándote despacio de dónde sale cada número lo entenderás bien): 6 : = 6 = 6 = = 7 = 7 = 60 = = 0 60 = 7 - Unidad. Página / -

13 IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles 6.- Haz estos ejercicios, pero recuerda que antes debes resolver los paréntesis cuando hay varios tipos de operaciones: e) 7 f) : h) : 0 i) : 7 j) : k) : l) : A continuación hay una serie de problemas con fracciones: 7.- Raquel se ha gastado euros, cuánto tenía?.- Cuántas botellas de litros? 0 de su dinero en un cómic. Si aún le quedan de litro se pueden llenar con una garrafa de Aurora sale de su casa con. Se gasta / del dinero en un libro y, después, de lo que le queda en un disco. Con cuánto dinero vuelve a casa? - Unidad. Página / -