FUNCION LINEAL. TEOREMA: Toda recta en el plano coordenado es la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables

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1 FUNCION LINEAL TEOREMA: Toda recta en el plano coordenado es la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables Toda ecuación de primer grado suele designarse como una ecuación lineal. Toda ecuación de primer grado en dos variables es la ecuación de una recta: para construir gráficamente es suficiente, en virtud de que dos puntos determinan una recta, encontrar dos pares ordenados de números reales que satisfagan la ecuación. La ecuación A + B +C = 0 recibe el nombre de forma general de la ecuación de la recta Llamaremos Función Lineal a la función cua gráfica corresponde a una recta, su criterio es una ecuación lineal, de la forma = m + b, que recibe el nombre de forma pendiente intersección. Observe el siguiente ejemplo: Representar gráficamente la f: IR IR, tal que = +. Lo primero determinaremos dos pares ordenados. - f() (,5) (-,-) - - Cuando deseamos graficar una función lineal basta con tener dos puntos para representar toda su gráfica. Definición Sea f: A B una función tal que A IR B IR. Se dice que f es una función lineal si f()= m + b, con m IR b IR que f()= + por lo tanto m= b= En el ejemplo anterior teníamos

2 El criterio de una función lineal también se puede denotar de la siguiente forma: = m + b, a que f() =. Determine si los siguientes criterios corresponden al de funciones lineales A) = Si, a que 5 5 m=, b= B) 5 = 0 5 = Si, a que 5 = 0 - = = = + 5 = + es decir 5 Podemos decir que m=, b= 5 que multiplica a más, podemos decir que Para identificar cual es el valor de m b la epresión debe detener la forma = m + b, por lo que si en algún caso se nos presenta de forma distinta, debemos de ordenar la epresión. EJERCICIO A) Observe los siguientes criterios de funciones determine cuales corresponden a función lineal, además identifique m b, de las que son lineales. ) ) ) 6 8 = 5) = = 6) = 6 9 = 7) ) = 8) = 8 9 =

3 B) Ordena las siguientes rectas de la forma = m + b, complete el espacio con los valores de m b ) + 5 = 0 b = ) 5 + = 0 b = ) = 0 b = ) - 8 = 0 b = 5) = 0 b = 6) + 0 =0 b = 7) + = b = 8) 5 0 = 5 b = 9) = 0 b = 0) 6 8 = 0 b = PENDIENTE DE LA FUNCION LINEAL Dada una función lineal de la forma =m + b, el valor de m recibe el nombre de pendiente representa la inclinación de la recta. Si la recta de la gráfica se inclina hacia arriba, a la derecha la función es estrictamente creciente, en este caso la pendiente es maor que cero, la pendiente es positiva Se la recta de la gráfica se inclina hacia abajo a la derecha la función es estrictamente decreciente, en este caso la pendiente es menor que cero, la pendiente es negativa

4 Si la recta de la gráfica, es paralela al eje, la función es constante, la pendiente es igual a cero Al valor m de la epresión = m + b, también se le conoce con el nombre de tangente. En un triángulo rectángulo se define la tangente como la razón entre el cateto opuesto el cateto adacente. Nota: es importante aclarar que cuando la recta es paralela al eje de las ordenada (eje ), no es una función lineal, es mas pertenece a una epresión que no es función Dados dos puntos de una función lineal se puede determinar la pendiente de está. Se define pendiente de esa función así: - Si dos puntos que pertenecen al gráfico de una función lineal son (-,-) (,) Calcule la pendiente de dicha función. Recuerde que un par ordenado siempre es (,), por lo que podemos afirmar que: (, ) = (-,-) = - =- (, ) = (, ) = =

5 Entonces: 5 5 La pendiente es. Es importante señalar que el orden como escojamos los pares ordenados no interfiere en el resultado. Verifiquemos tomando los mismos pares ordenados del ejemplo anterior, pero en otro orden: (, ) = (, ) = = (, ) = ( -, -) = - =- Entonces: 5 5 La pendiente es. Teniendo la representación gráfica es posible determinar la pendiente de una función lineal. Determinar la pendiente de la función lineal representada gráficamente: Al observar la gráfica son identificables dos pares ordenados, la intersección con el eje (,0) la intersección con el eje (0,). Con esta información podemos determinar el valor de la pendiente: 0 0

6 Dado que la intersección con el eje siempre es (,0) la intersección con el eje siempre es (0,) podemos decir que: 0 0 Teniendo la gráfica, podemos decir que la pendientes es la razón entre el opuesto del valor de en el par ordenado de la intersección, de dicha gráfica, con el eje, el valor de del par ordenado de la intersección de dicha función con el eje. Determinar la pendiente de la grafica siguiente: R/. Dado que la gráfica interseca a los ejes en los puntos (-,0) (0, -6) podemos decir que: 6 m= - () m= Teniendo la ecuación de la recta de la forma general, el valor de la pendiente corresponde al cociente del valor del opuesto del valor de A el valor de B, es decir que: A B El valor de la pendiente de la ecuación + 5 corresponde a ( ) = 5 5 EJERCICIO

7 A) Determine el valor de la pendiente, además anote si las funciones corresponden a una función lineal estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante. ) = ) = 7 ) + + = 0 9) = ) = 0) = 0 ) -5 + = 0 ) 7 =0 5) =0 ) = 7 6) + = ) 5 0 = 5 7) 6 +8 = 0 ) 6 8 = 0 B) Encuentre la pendiente determinada por los pares ordenados, pertenecientes a gráficos de funciones lineales. ) (,5) (,5) 7) (,) (,) ) (-5, ) ( -,) 8) (,5) (0,-) ),, 6 9), ) (a+5, b-) (5, -) 0) (-, ) ( 5, ), 5 5) (0, 0) (-, 5) ) (, -5) ( -, -) 6) (-, 5) ( -, ) ) (0,0) (7, 7) C) Determine el valor de la pendiente para cada una de las siguientes gráficas:

8 INTERSECCIÓN CON EL EJE Y En una función lineal = m + b, el punto donde su gráfica interseca al eje de las ordenadas (eje ), corresponde al punto (0, b).

9 Teniendo un punto la pendiente es posible determinar el valor de b, en una función lineal, dado que: b = m Determinar el punto de intersección de una función lineal con el eje de las ordenadas, si su pendiente es uno de sus pares ordenados es (, 5). R/. Para determinar el punto de intersección de una función lineal con el eje, basta con determinar el valor de b, dado que dicha intersección corresponde al punto (0,b). Como, tenemos el par ordenado (,5) solo aplicamos la formula: b = 5 b = 5 b = 7 Por lo que podemos afirmar que la función descrita, interseca al eje en el punto (0, 7). Observe: La gráfica anterior corresponde a una función de la forma = m + b. Cuál es valor que corresponde a b, según la gráfica? R/. Puesto que esta gráfica interseca al eje en el punto (0,) podemos decir que el valor de b =. Dada una función lineal tal que f() = 5 +. Determinar el punto en que la recta interseca el eje de las ordenadas.

10 R/. Ya anotamos que la función lineal interseca al eje, en el punto (0,b), dado que en la función lineal = 5 +, 5 b=, podemos afirmar que f() interseca al eje en el punto (0,) Es importante anotar que el punto INTERSECCIÓN EJE X b, 0 m intersección de su gráfica con el eje de las abscisas (eje ). de la función = m + b, corresponde a la Determinar el punto de intersección con el eje la intersección con el eje, de la función dada por = + 6. b R/. La intersección con el eje, corresponde al punto, 0 m por lo que en este ejemplos ese 6 punto corresponde a:,0, dado que b=6. Por lo tanto el punto de intersección con el eje es el punto (-,0). La intersección con el eje, corresponde al punto (0,6), puesto que b = 6. EJERCICIO A) Determinar el punto de intersección con el eje el eje de cada una de las siguientes ecuaciones: ) = +9 ) = 6 - ) = ) = - 5 5) + -0 = 0 6) 5 5 = 0 7) - 6 = 0 8) + = 5 B) A continuación se le dan la pendiente un par ordenado pertenecientes a una función lineal, determine la ecuación de la recta. ) m= (, 5) 5) - (, 7) ) 5 (-,-) 6) (, 5)

11 ) (, 8) 7) 5 (-, 9) ) (0,0) 8) (,6) C) Determine la ecuación de la recta perteneciente a las siguientes gráficas ECUACIÓN DE LA RECTA Determinar la ecuación de la recta es determinar en base a dos puntos o a un punto a la pendiente cual es la forma de la ecuación de la recta. Para ello es necesario saber:. El valor de la pendiente. El valor de la intersección con el eje, b = m. Utilizar esos dos valores para dar la forma de la ecuación de la recta. A una compañía le cuesta 75 dólares, producir 0 unidades de cierto producto al día, 0 dólares producir 5 unidades del mismo artículo al día. Determinar la ecuación de costo, suponiendo que es lineal.

12 R/. Del problema anterior son identificables dos pares ordenados, (0, 75) (5,0). Es importante aclarar que el costo de producir los artículos depende de la cantidad que se hagan por día, por sea razón 75 0 corresponden a valores dependientes.. Determinar el valor de m Determinar el valor de b b = 0 5 b = 0 75 b = 5. Dar forma a la ecuación de la recta = m + b = + 5 EJERCICIO A. Determinar la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos:. (, ) (,5) 5. (-, 7) (9, ). (,6) (7, ) 6. (-, ) (5, 8). (-, -) (-5, -) 7. (, ) (, 5). (7, ) (9, ) 8. (,5) (, 5) B. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:. Supongamos que el peso en kilos la edad en meses de un bebé están relacionados por una función lineal hasta los 6 meses. Si el bebé al nacer pesa Kg. Y en tres meses aumentó a 5,8 Kg. Determine la ecuación de dicha función. Cuál es el peso esperado a los 5,5 meses?. EL diámetro de ciertas conchas marinas se puede escribir en función de l altura por medio de una función lineal, un científico recolecta los datos en cm. de la altura el diámetro de 5 conchas, obteniendo:

13 (altura) 6,5 7,8 7,7 7,6 7, (diámetro) 8,5 9, 9, 9,5 8,6 Note que estos datos no corresponden a una función lineal, pero puede encontrarse una función lineal que ajuste los datos para predecir el diámetro de una concha de 7,5 cm.. La compañía de mudanzas Ramírez, cobra $70 por transportar cierta máquina 5 millas $00 por transportar la misma máquina 5 millas. a- Determina la ecuación, suponiendo que es lineal, de pago de transporte de esa máquina Cuál es la tarifa mínima por transportar esa máquina?. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 0000 paquetes a la semana cuando el precio es de $, por paquete, pero que la venta se incremente a 000 cuando el precio se reduce a $, por paquete. Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. 5. Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas asciende a 000 televisores por mes. Sin embargo a $50 por televisor, las ventas son de 00 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. 6. Aplicar los hechos de que F corresponde a 0 C que 00F corresponde a 00C con objeto deducir la fórmula para convertir la temperatura Fahrenheit, a la temperatura Celsius C(). 7. En un pequeño Hotel se gasta por recibir 0 turista 65 por recibir 5 turistas. Cuál es la ecuación de costo? Cuánto se gasta en recibir 5 turistas? 8. La Le de Hooke, sobre la relación del estiramiento la fuerza, dice que el estiramiento es proporcional a la fuerza Úsese este hecho para resolver los siguientes ejercicios. (a) Un resorte de 0 cm de longitud se cuelga de una viga; si se coloca un peso de Kg. El resorte se estira 5 cm. Determine cuánto medirá con un peso de,7 Kg. Si el largo del alambre que forma el resorte es de 5 cm. Determine cuál es el peso máimo que puede soportar. (b) Si a un resorte se le cuelga un peso de Kg. este se estira hasta alcanzar 7,5 cm, al colgarse, Kg. El resorte mide ahora 9 cm. Cuál es la longitud del resorte?

14 RELACIÓN ENTRE RECTAS Dadas dos rectas en un mismo plano estas rectas se INTERSECAN por lo que son llamadas NO INTERSECAN por lo que son llamadas PERPENDICULARES Se intersecan formando un ángulo de 90º OBLICUAS Se intersecan formando un ángulo diferente de PARALELAS Rectas Paralelas: Sea f() g() dos funciones lineales tal que f() = m + b, g() = m + b. Diremos que f() es paralela a g(), si m, los que se simboliza: f() g() Las rectas dadas por =+ 0 = -5 podemos afirmar que son dos rectas paralelas, a que en ambas. Rectas Perpendiculares: Sea f() g() dos funciones lineales tal que f() = m + b, g() = m + b. Diremos que f() es perpendicular a g(), si m m =, los que se simboliza: f() g()

15 Las rectas dadas por = + = + podemos afirmar que son dos rectas perpendiculares, dado que, que = Rectas oblicuas: Sea f() g() dos funciones lineales tal que f() = m + b, g() = m + b. son oblicuas si m m son distintas además m m es un número distinto a. Las rectas dadas por g() = + f()=+ podemos afirmar que son dos rectas oblicuas, dado que m =, que = 6. EJERCICIO. Para cada par de rectas, determinar si son perpendiculares, oblicuas o paralelas: a) 0 = 0 ; = 0 b) 5 =0 ; + 8 =0 c) = 0 ; +8 = 0 d) 0 + = ; 0 + = -6 f) + = 0 ; 6 = 5 g) + = ; + 6 = 0. Determine una recta paralela a la recta = - +5, que pasa por el punto (0, ). Determine una recta perpendicular a +5 = 0 que pasa por el punto (, 5). La grafica de la función f pasa por los puntos (7,) (0,5), la gráfica de la función lineal g pasa por los puntos (,6) (0,5). Determine la ecuación de la recta de las funciones f g. Anote si son paralela, perpendiculares u oblicuas. 5. Determine una ecuación de la recta a la cual pertenece el punto (, -) que es perpendicularmente a la recta 6 =. 6. Determine una ecuación de la recta a la cual pertenece el punto (-, ) que es paralela a la recta 6 =.

16 7. Determinar una ecuación de la recta perpendicular a la ecuación 5 =0 que pasa por el punto (,5). 8. Determinar una ecuación de la recta paralela a la recta = +5 pasa por el punto (,) 9. Determinar la ecuación de una recta cua pendiente es, pasa por el punto (0, - ) INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS Definiremos intersección como un punto común a dos líneas. Por lo que determinar el punto de intersección entre dos rectas, es encontrar un punto que satisfaga a las dos ecuaciones lineales. Eisten varios métodos para determinar el par ordenado que satisface dos ecuaciones (sustitución, igualación, suma resta, Cramer, Gauss, etc.) Si embargo el de más aceptación es el de suma resta, es el que emplearemos para resolver estos ejercicios. Para aplicar este método las ecuaciones deben tener la forma: A + B = C El fundamento de este método consiste en lograr que al sumar las dos ecuaciones, alguna de las dos variables será eliminada, pues esto nos permitiría despejar la restante fácilmente. Determinar el punto de intersección de las siguientes rectas: = + ; = 5 6 Para obtener esto eisten varios métodos, no obstante el más sencillo consiste en multiplicar la primera ecuación por el coeficiente de la de la segunda ecuación, multiplicar la segunda ecuación por el opuesto del coeficiente de la de la primera ecuación: - + = = 6 De esta manera al sumar 0 5 = = - - = - 7 ambas ecuaciones llegamos a: - = - 7, o bien = 9 - Para hallar el valor de, sustituimos = en cualquiera de las ecuaciones originales (utilice la que le parezca más simple). 9 = + 9 = 6 = 6 = =

17 El punto de intersección de las rectas corresponde al par (, 9). Podemos comprobar que satisface las dos ecuaciones: = + 9 = + 9 = 9 = = = 9 En la presente ante el eceso de información es necesario agilizar los cálculos, de ahí que el uso de la tecnología específicamente, la calculadora, resultan mu valiosos. Recuerde que la calculadora agiliza los procedimientos algorítmicos, los mecanismos se llevan a cabo sin ningún razonamiento. La calculadora no resuelve problemas, no piensa ni razona, solamente agiliza los cálculos. A la luz de lo anterior, otro método para determinar el punto de intersección entre dos rectas es mediante el uso de la calculadora. Para este método, también como el de la suma resta, se debe ordenar la ecuación de la forma A + B = C. Debe usar el modo ecuación simultánea de su calculadora. Llegar a ese modo varia según el modelo de la calculadora. Lea el manual de su calculadora. Dentro de la plantilla que usa la calculadora las ecuaciones se ordenan de la forma: a + b = c a + b = c Por lo que su calculadora solicitara los datos en ese orden. Determinar el punto de intersección entre las rectas: 5 + = 7 ; =7 A medida que la calculadora solicite los datos debe dárselos en ese orden La intersección corresponde al punto (-5, ) a =5 b = c =7 a =0 b =9 c =7

18 EJERCICIO Determine el punto de intersección entre las siguientes rectas. Las primeras realícelas con el método de suma resta, verifique con la calculadora. Las otras con el método que usted desee. ) 9-6 =0 ; 0 + 0=0 ) -7-9 =0 ; 6 =0 ) - +9 = 0 ; = 0 ) = 0 ; 8 +0 = 0 5) + 6 =0 ; -7 = 0 6) =0 ; b +8 = 0 7) - 5 b +0 = 0 ; = 0 8) = 0 ; = 0 9) -6 + = 0 ; - + = 0 0) 6 5 = 0 ; = 0 ) = 0 ; = 0 BIBLIOGRAFIA. Corrales Mario Obando Álvaro, Matemática funciones, 98. Howard E. Talor Thomas L. Wade, Geometría analítica bidimensional, 97. Howard E. Talor Thomas L. Wade, Matemáticas básicas con vectores matrices, 980. Ramond A. Barnett, Precalculo funciones graficas, 999. Reinaldo Jiménez Santamaría, Introducción a la teoría de las funciones, Serigrafiaos, 00. Roanna Meneses Rodríguez, Enseñanza aprendizaje, 0 mo. 99. Valverde Fallas, Luis Matemática elemental con aplicaciones, 997. William Wernick, Geometría analítica 970. Wooton Beckenbach Fleming, Geometría analítica moderna, 977.