A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.

Transcripción

1 ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos rozamiento entre las dos superficies (entre el cubo el plano inclinado). Vamos a hacer un estudio de las ecuaciones desde el punto de vista dinámico por supuesto cinemático. Ha que recordar la Le Cero de la Dinámica, esto es, lo que estamos utilizando son modelos matemáticos, por lo que estamos despreciando, por ejemplo, la fuerza de rozamiento con el aire, la posibilidad que ruede el cubo sobre el plano inclinado, etc. Primero vo a hacer un sencillo dibujo de la situación: A continuación vo a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema. N a He añadido el vector aceleración, r P indicando su dirección (paralelo al plano inclinado) su sentido (hacia abajo). En este caso el sentido del vector aceleración es fácil identificarlo. Sin embargo, no es siempre así de fácil. íjate que las fuerzas Normal Peso, las he colocado en el Centro del cubo, que es su punto de aplicación. Sin embargo, la fuerza Rozamiento el punto de aplicación lo he situado en el contacto entre el cubo la superficie. 1

2 ísica El siguiente paso, consiste en colocar el Sistema de Referencia. En este caso, como el movimiento es en un plano sólo necesitamos dos ejes, estos pueden ser el eje X el Y. Lo más razonable es colocar el eje X paralelo al plano inclinado, porque es por donde transcurre el desplazamiento el eje Y perpendicular al plano inclinado, porque ha fuerzas en esta dirección, como es la fuerza Normal al plano. Y X El sentido del eje X lo he dibujado hacia la derecha para hacerlo coincidir con el sentido del movimiento. El sentido del eje Y lo he dibujado hacia arriba, porque está la fuerza normal, aunque este eje es indiferente porque no ha movimiento en esta dirección. A partir de ahora, todos los vectores que coincidan en el sentido de los ejes los tomaré como positivo, si tiene sentido contrario al sentido del eje los tomaré como negativo. Este es el criterio de signo que ha que seguir en cualquier caso. Por este motivo es importante elegir un buen Sistema de Referencia. Vo a dibujar los vectores junto con el Sistema de Referencia: r N Y P X íjate que tanto la fuerza Normal como Rozamiento son paralelas a algún eje del Sistema de Referencia, mientras que el Peso no es paralelo a ningún eje. Cuando esto ocurre, tenemos que descomponer el vector Peso sobre los dos ejes del Sistema de Referencia.

3 ísica P P P Bien, para poder escribir la descomposición en ecuaciones, necesito encontrar el ángulo de inclinación del plano inclinado con el plano horizontal, en el esquema del vector Peso: P P Ese es el ángulo fi del plano inclinado con respecto al plano horizontal, por la perpendicularidad de las rectas: 3

4 ísica En este caso el vector Peso, lo podemos descomponer, utilizando trigonometría del siguiente modo: P P Psen P cos La primera ecuación es consecuencia que la componente X del vector Peso es el cateto opuesto al ángulo fi. La segunda ecuación es consecuencia que la componente Y del vector Peso es el cateto continuo al ángulo fi. P P P Llegados a este punto, esto preparado para utilizar le Segunda Le de Newton. La utilizaré tanto en el eje X como en el eje Y por separado, puesto que puedo descomponer la ecuación vectorial en sus dos componentes: ma ma ma En el problema particular, se traduce en lo siguiente: ma ma 0 Porque la única aceleración que ha está en el eje X. En el eje Y, no ha movimiento. Ahora vo a descomponer esas sumatorias en los vectores que ha en cada dirección: 4

5 ísica r N Y P P X P ma 0 Como se puede ver he utilizado el criterio de signos. Esto es, en el eje X, los vectores que tienen el mismo sentido que el eje positivo, esto es hacia la derecha son positivos, los que tienen sentido contrario son negativos. En el eje Y, es indiferente. Vo a desarrollar las ecuaciones anteriores, descomponiendo los vectores que la forman: r N P P sen N ma N P cos 0 Llegados a este punto, tengo que plantear el sistema de dos ecuaciones: Psen N N Pcos ma Con este sistema de ecuaciones podemos calcular cualquier cuestión dinámica que se nos presente siempre que tengamos los datos necesarios. 5

6 ísica Vamos a suponer que nos interesa encontrar la aceleración que adquiere el cubo, así poder abordar el problema cinemático. Supongo que el peso (P), el coeficiente de rozamiento (μ), el ángulo fi () son datos, sin embargo no lo vamos a sustituir por ningún valor, puesto que lo interesante es seguir operando con las letras hasta que despeje la aceleración. Es importante que en los problemas de física, no se sustituan los datos hasta que no se ha despejado la incógnita en la ecuación, por varias razones: 1. Porque quién te corrige el eamen es físico, a los físicos les encantan las ecuaciones con letras.. Aunque pienses lo contrarios es más fácil operar con letras olvidarse de los números, la calculadora, además es menos probable que te equivoques. 3. Es típico en los problemas hacer preguntas teóricas, de manera que la respuesta sólo la podremos dar observando la ecuación resultante. Es imposible dar una respuesta teórica con un resultado numérico. Repito mejor sustitue al final, cuando tengas la incógnita despejada. Puede ocurrir que te cueste despejar ecuaciones, pues practica, empieza ho mismo. Dedícate a despejar ecuaciones, aunque no signifiquen nada. Para ello visita el módulo de Matemáticas. Bien, en mis dos ecuaciones, tengo dos incógnita, una de ellas es la aceleración (a) que me interesa, la otra (N) la Normal, es habitual que no te la pidan en los problemas. Así que lo correcto es sustituir la N de la segunda ecuación en la primera: Psen P cos ma A continuación, descompongo el peso (P) que es la masa por la aceleración de la gravedad, luego despejamos la aceleración (a): mgsen mg cos ma mgsen mg cos a m gsen g cos Y sacando factor común a la aceleración de la gravedad (g), obtengo la aceleración: a g( sen cos ) 6

7 ísica Ya tenemos nuestra aceleración. Como puedes ver, este razonamiento es típico se repite en muchísimos problemas. Evidentemente el resultado no será el mismo, porque dependerá de las condiciones iniciales, pero obtendrás algo parecido. Vamos a mirar un poco la ecuación que tenemos: 1. Tiene unidades de aceleración, porque tenemos la aceleración de la gravedad (g) multiplicando un paréntesis que es adimensional. Las funciones trigonométricas son adimensionales el coeficiente de rozamiento tampoco tiene unidades.. La aceleración es más pequeña que la aceleración de la gravedad, como debe ser, puesto que no se trata de una caída libre. 3. Si no hubiera fuerza de Rozamiento, el coeficiente de rozamiento (μ) sería cero, por tanto la aceleración sería: a gsen En este caso la aceleración sólo dependería del ángulo entre el plano inclinado el plano horizontal. 4. Si además, el ángulo de inclinación fuera cero, esto es un plano horizontal, entonces el seno de cero es cero, por tanto la aceleración sería cero. 5. Si volvemos a la ecuación general, la que está encuadrada, llevamos el ángulo de inclinación a 90 grados, en este caso el seno de 90 es uno, el coseno de 90 es cero, así la aceleración sería la aceleración de la gravedad, esto es una caída libre. 6. Todas estas consideraciones las podemos hacer, porque hemos deducido una ecuación matemática con letras, sin sustituir los valores de las magnitudes físicas. En caso contrario, tendríamos un resultado para la aceleración, pero no podríamos deducir nada más. Podríamos avanzar un poco más en nuestro estudio. Ahora vo a estudiar el problema desde el punto de vista cinemático. Esta parte es necesaria porque en los problemas de dinámica que vaas a hacer es mu común completarlos con un apartado de cinemática. Supongamos que el plano inclinado tiene una altura con respecto al plano horizontal de h. nos piden que calculemos con que velocidad llega al final del plano inclinado. Supongamos también que la aceleración es un dato que hemos obtenido de la ecuación anteriormente calculada. Bien entonces, a estamos en condiciones para encontrar la velocidad. El Sistema de Referencia lo vamos poner justo en el punto de partida del cubo, en la misma disposición que indicamos anteriormente. Esto es eje X hacia la derecha del plano inclinado, el eje Y perpendicular al plano inclinado hacia arriba. Veamos que tipo de movimientos tengo por eje: 1. Eje X: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.. Eje Y: No ha movimiento. Por tanto mis Ecuaciones generales son las siguientes: 7

8 ísica v v 0 0 v 0 at t 1 at Estos son las Ecuaciones generales para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado. Sin embargo, tengo desarrollarlas para mi problema en particular. Veamos: 1. El Sistema de Referencia está justo en el punto de partida del cubo, por tanto 0 =0. Porque no ha ninguna distancia desde el punto de partida del objeto con respecto al Sistema de Referencia.. El cubo parte del reposo. Esto es la velocidad inicial es cero, v 0 =0. 3. La aceleración como hemos dicho antes, es un dato que hemos calculado. Por tanto las ecuaciones serían las siguientes: 1 at v at Ya tenemos preparadas nuestras ecuaciones para calcular lo que nos pidan desde el punto de vista cinemático. En concreto queremos calcular la velocidad que tendrán el cubo una vez haa recorrido el plano inclinado, sabiendo que el cubo parte desde una altura h, el ángulo de inclinación es fi. Para ello necesitamos hacer un pequeño cálculo de trigonometría, por la distancia que recorre el cubo por el plano inclinado no la conocemos, sin embargo conocemos la altura el ángulo. h sen d h d El seno de un ángulo es el cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa. Si despejamos d, que es lo que nos interesa obtenemos: h d sen En la ecuación anterior tenemos la distancia, la sustituimos en la ecuación del movimiento en el lugar de la. Y después despejamos el tiempo que tarda en recorrer la distancia d: 8

9 ísica d t h sen h asen 1 at Este tiempo ha que sustituirlo en la ecuación de la velocidad: v at a h asen 9