PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Transcripción

1 Matemáticas 1º CCSS 1 RESUMEN PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Algunas definiciones La probabilidad es una medida de la posibilidad de que acontezca un suceso aleatorio determinado, asignándosele un número, comprendido entre 0 y 1. Un experimento se dice aleatorio cuando no se conoce con antelación lo que puede suceder. Espacio muestral E. Es el conjunto de sucesos elementales a que da lugar la realización de un experimento aleatorio. a) Al lanzar un dado con caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) Al extraer una carta de una baraja española, el espacio muestral está formado por 40 sucesos, uno por cada una de las cartas de la baraja: 10 de cada palo (oros, copas, espadas y bastos). Un suceso es todo subconjunto de E. Si está determinado por un solo resultado se llama elemental; si está formado por varios se llama compuesto. Los sucesos suelen denotarse por letras mayúsculas A, B, C,... Suceso seguro: es el que ocurre siempre. Suele denotarse por E, como el espacio muestral. Suceso imposible, denotado por : no ocurre nunca. Suceso contrario del suceso A, se denota por A c (o también A ). Está compuesto por los elementos de E que no pertenecen a A. Por tanto, si ocurre A c no ocurre A, y viceversa. Operaciones con sucesos Unión de A y B, A B, es un suceso que se cumple cuando lo hace alguno de los dos sucesos que lo componen. Esto significa que sucede A o B. Intersección: A B, es el suceso que se cumple cuando lo hacen los dos sucesos que lo componen: formado por los elementos comunes a A y a B. Cuando A B =, los sucesos A y B se dicen incompatibles. La diferencia, A B, es el suceso formado por los elementos de A que no son de B (se cumple A pero no B). Regla de Laplace. Si todos los sucesos elementales son equiprobables, la número de casos favorables a A probabilidad de un suceso A es: P( A ) = número total de casos posibles Propiedades de la probabilidad. 1. Probabilidad del suceso contrario de A: P(A c ) = 1 P(A). 2. Probabilidad de la unión de dos sucesos: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Si los sucesos son incompatibles: P(A B) = 0 y P(A B) = P(A) + P(B) Probabilidad condicionada. La probabilidad de un suceso A puede verse modificada si ha ocurrido previamente otro suceso B. En este caso se habla de probabilidad de A condicionada por B, y se denota por P(A/B). P( A B) Se calcula mediante la fórmula: P( A / B). PB ( ) P( A B) Análogamente, P( B / A). De donde se deduce que: P( A B) P( A) P( B / A). P(A)

2 Matemáticas 1º CCSS 2 Si de una urna con 4 bolas blancas (B) y 6 negras (N) se extraen dos bolas consecutivamente, la probabilidad de que la primera bola sea blanca es P(1ª B) = 4/10; pero la probabilidad de que la segunda bola sea blanca se ve condicionada por el resultado de la primera extracción. Si la primera fue blanca, entonces la P(2ª B/1ª B) = 3/9: quedan 9 bolas, de las cuales 3 son blancas. Pero si la primera bola fue N, entonces la P(2ª B/1ª N) = 4/9. Para el estudio de estos experimentos puede ser útil elaborar un diagrama de árbol. Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Por tanto, si A y B son independientes: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B). En consecuencia, si los sucesos A y B son independientes se cumple: P(A B) = P(A) P(B) Probabilidad total Si un suceso B está condicionado por otros A i, incompatibles dos a dos y tales que A 1 A 2... A n = E, entonces, la probabilidad total del suceso B es: P(B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) + P(A 2 ) P(B/A 2 ) P(A n ) P(B/A n ) Fórmula de Bayes: Da la probabilidad condicionada de un suceso relacionado con la probabilidad total. Por ejemplo, si se ha cumplido B, cuál es la P(A i) P(B/A i) probabilidad de que haya sucedido en A i, P(A i /B). Su valor es: P(A i /B)=. P(B) Una fábrica de chocolates cuenta con tres máquinas de envasado. La máquina A envasa el 45% del total de cajas que salen al mercado; la máquina B, el 35% de las cajas; la C, el 20%. El 1% de las cajas de chocolate envasadas en la máquina A tiene defectos en el envase; en el caso de la máquina B, las defectuosas son del 2%; en la C, salen defectuosas el 3%. Si se elige una caja de esa fábrica: a) Cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A y tenga defecto en el envase? b) Cuál es la probabilidad de que tenga defecto en el envase? c) Si la caja tiene defecto, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina C? Solución: En el diagrama de árbol adjunto se resume la información del problema. En él, las letras A, B y C indican los sucesos la caja de chocolate ha sido envasada en la máquina A, B o C, respectivamente. La letra D, indica el suceso tener defecto en el envase; No D, lo contrario. a) La probabilidad de que una caja proceda de A y tenga un defecto en el envasado es P(A D). Su valor es: P(A D) = P(A) P(D/A) = 0,45 0,01 = 0,0045 b) Por la probabilidad total, P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) = = 0,45 0,01 + 0,35 0,02 + 0,20 0,03 = 0,0175 c) La probabilidad de que una caja con defecto en el envase proceda de C se designa por P(C/D) y, por el fórmula de Bayes, vale: P(C) P(D/C) P(C/D) = 0,20 0, ,343. P(D) 0,

3 Matemáticas 1º CCSS 3 Algo de combinatoria Factorial de un número: n! n ( n 1) ( n 2) ! = Por convenio, factorial de cero se define como 1: 0! = 1 (También 1! = 1). Números combinatorios: n n! (se lee n sobre r) r r!( n r)! ! 4!(15 4)! 15! 4! 11! = 1365 La distribución binomial Es una distribución de probabilidad discreta asociada a un experimento aleatorio definido por las siguientes características: 1) El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones, que podemos llamar: Si o No; éxito (E) o fracaso (F); se cumple o no se cumple.. 2) Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. 3) La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p; esto es, P(E) = p. (La probabilidad de fracaso también es constante: vale 1 p = q. Esto es, P(F) = q). 4) La variable aleatoria X, cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1,, n. Una variable binomial queda determinada por los parámetros n y p se denota por B(n, p). Probabilidad de r éxitos Para la distribución de la variable binomial X = B(n, p), la probabilidad de r éxitos en los n intentos n r n-r realizados, P(X = r), r = 0, 1,, n, viene dada por: P( X r) pq r Supóngase que (en la Comunidad de Madrid ) el número de forofos del Real Madrid C.F. es del 60%; siendo el otro 40% no forofo. Si se pregunta a n individuos de Madrid para determinar cuántos de ellos son forofos del RM, tal experimento puede estudiarse como una B(n, 0,6). En el supuesto de que se pregunte a 8 individuos, será una B(8, 0,6). Si se llama éxito al suceso ser forofo del RM, podemos preguntarnos por el número de forofos entre los 8, resultando: La probabilidad de r forofos, r = 0, 1, 2,, 8, es: PX ( 0) 0,6 0, 4 1 0, ; PX ( 1) 0,6 0, 4 8 0, , PX ( 5) 0,6 0, , , Media y varianza: B(n, p) Media: = n p Varianza: 2 = n p q Desviación típica: n p q. Con los mismos datos del ejemplo anterior: forofos del RM; B(n, 0,6). Si se pregunta a n personas de Madrid, elegidas al azar, la media y la desviación típica de esa muestra serán: = 100 0,6 = 60 cada esperar que 60 de los 100 individuos preguntados sean del RM ,6 0, 4 4,9 Observación: Ampliación de probabilidad. Ampliación de la binomial (p. 294 a 296).

4 Matemáticas 1º CCSS 4 Probabilidad PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Al extraer una carta de una baraja de 40 cartas calcula la probabilidad de que sea a) Un rey b) El rey de copas c) No sea una figura 2. Si se consideran familias con tres hijos, cuál es la probabilidad de que una elegida al azar tenga, al menos, una niña? 3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado (con las caras numeradas del 1 al 6) se obtenga: a) Al menos un as. b) Dos ases. c) Dos números distintos 4. Calcula la probabilidad P A B sabiendo que P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 y P(A/B) = 0,2. 5. En un IES, los alumnos se clasifican según su sexo y práctica de la natación, según muestra la siguiente tabla: Nadador No nadador TOTAL Hombre Mujer TOTAL A la vista de estos datos, calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar: a) Sea no nadador. b) Sea mujer y no nadadora. c) Sea nadadora sabiendo que es mujer. d) Sea hombre si el alumno elegido no practica natación. 6. Se lanzan dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de que: a) Uno a de los resultados sea par y el otro impar. b) Uno de los resultados sea par sabiendo que la suma de los dos es 7. c) Uno de los resultados sea 4 sabiendo que la suma de los dos es mayor que De una urna que contiene 10 bolas blancas y 8 negras se hacen dos extracciones sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de sacar: a) Dos bolas blancas b) Sólo una negra c) Del mismo color Halla las mismas probabilidades si las extracciones se hicieran con reemplazamiento. Distribución binomial 8. Un examen consta de 10 preguntas del tipo verdadero/falso. Se aprueba con 8 o más preguntas acertadas. Si se responden al azar las cuestiones, qué probabilidad hay de aprobar? 9. Se han reunido 1000 familias con 3 hijos. En cuántas se podrán contabilizar 2 chicas? Y en cuántas al menos una chica? (Toma la probabilidad de nacimiento de niña 0,5). 10. Un laboratorio farmacéutico ha comprobado que un 40% de los que toman un analgésico sufren efectos secundarios. De 5 usuarios, halla la probabilidad de que sufran efectos secundarios: a) Más de 3 b) Al menos 2.

5 Matemáticas 1º CCSS En un proceso de fabricación se producen un 5% de piezas defectuosas. Si se examinan 6 de ellas al azar, qué probabilidad existe de que: a) Haya a lo sumo 4 defectuosas. b) Haya una o dos defectuosas. 12. Una familia se compone de los padres y 6 hijos. Suponiendo igual la probabilidad de nacimiento de niño o niña, calcula: a) Probabilidad de tener más de una niña. b) Al menos un niño. c) Como máximo dos niños. d) El número medio de hijas. 13. Cuatro personas de edades y estado de salud semejantes, han contratado una póliza de vida. Las tablas de mortalidad prevén un 0,7 de probabilidad de que esos asegurados vivan dentro de 25 años. Encuentra la probabilidad de que dentro de 25 años: a) Vivan los 4. b) No viva ninguno. c) El número medio de supervivientes. Otros problemas 14. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades: PA ( ) 0,4 ; PB ( ) 0,5 y P( A B) 0,7. a) Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta. b) Son sucesos independientes? Razona la respuesta. 15. Sean A y B dos sucesos tales que P A B 0,9, P A B 0,2 el suceso contrario de A. Calcular las siguientes probabilidades: P B, / P A B, P A B, P A B., P A 0,4, donde A es 16. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que el 24% de las mujeres y el 16% de los hombres están en el paro. a) Halla la probabilidad de que una persona, elegida al azar, esté en el paro y sea hombre. b) Halla la probabilidad de que una persona en paro, elegida al azar sea hombre. 17. En un Centro Comercial el 35% de los consumidores utiliza el coche para hacer la compra. Si se eligen al azar 7 consumidores que hayan realizado la compra en dicho Centro Comercial, cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos hayan ido en coche a comprar? 18. Un examen de preguntas con respuestas múltiples, consta de 8 preguntas con 4 opciones de contestación. Si un alumno respondiera al azar halla, con la ayuda de la tabla binomial, la probabilidad de que: a) Responda correctamente a 6 b) Responda al menos 6 correctamente c) El número medio de respuestas acertadas. 19. Un examen consta de 8 preguntas con 3 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Si un estudiante responde al azar marcando las respuestas aleatoriamente, calcula la probabilidad de que: a) No acierte ninguna respuesta correcta. b) Acierte 6 o más preguntas.